专题4.1 图形的相似（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份专题4.1 图形的相似（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共17页。

 专题4.1 图形的相似（知识解读）
【直击考点】



【学习目标】
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；
2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；
3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.
【知识点梳理】
考点1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
考点2 黄金分割比

1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：


如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.

考点2 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：
　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；
考点3 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．

【典例分析】
【考点1 比例性质】
【典例1】已知，则的值为（　　）
A． B．2.5 C． D．
【变式1-1】已知，则下列结论一定成立的是（　　）
A．x＝6，y＝7 B． C．y﹣x＝1 D．
【变式1-2】若，则的值等于（　　）
A． B． C． D．5
【变式1-3】已知：x：4＝y：5＝z：6，则（x+y）：（y+z）＝（　　）
A．2：3 B．4：5 C．9：11 D．5：11
【考点2 比例线段】
【典例2】已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4
【变式2-1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
【变式2-1】若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．32cm

【变式2-2】如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（　　）
A． B． C． D．

【考点3 黄金分割比】
【典例3】作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）


【变式3】如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？


【典例4】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（　　）

A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
【变式4-1】已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【变式4-2】P是线段AB上一点（AP＞BP），且满足＝，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），求叶柄BP的长度．设BP＝xcm，则符合题意的方程是（　　）

A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x）
C．x（10﹣x）＝102 D．10（1﹣x）2＝10﹣x
【变式4-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，AB的垂直平分线DE交AC于点E．若AB＝4，则CE的长度为（　　）

A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．6﹣2
【考点4 相似图形】
【典例5】下列图形中，不是相似图形的一组是（　　）
A． B．
C． D．
【变式5-1】下列各组中两个图形不一定相似的是（　　）
A．有一个角是120°的两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
C．有一个角是35°的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
【变式5-2】如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．135° B．90° C．60° D．45°
【变式5-3】如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点5 相似多边形的性质】
【典例6】若两个相似三边形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【变式6-1】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（　　）

A．70° B．80° C．110° D．120°
【变式6-2】若两个相似多边形的面积比为4：9，则它们的对应边的比是（　　）
A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：94
【变式6-3】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2












专题4.1 图形的相似（知识解读）
【直击考点】



【学习目标】
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；
2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；
3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.
【知识点梳理】
考点1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
考点2 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：
　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；
考点3 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．

【典例分析】
【考点1 比例性质】
【典例1】已知，则的值为（　　）
A． B．2.5 C． D．
【答案】A
【解答】解：∵，
∴＝1+
＝1+
＝，
故选：A．
【变式1-1】已知，则下列结论一定成立的是（　　）
A．x＝6，y＝7 B． C．y﹣x＝1 D．
【答案】B
【解答】解：∵，
∴设x＝6k，y＝7k，
A、x＝6，y＝7，故A不符合题意；
B、＝＝，故B符合题意；
C、y﹣x＝7k﹣6k＝k，故C不符合题意；
D、＝，＝，
∴≠，
故D不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】若，则的值等于（　　）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解答】解：∵，
∴＝，
∴＝+1＝+1＝；
故选A．
【变式1-3】已知：x：4＝y：5＝z：6，则（x+y）：（y+z）＝（　　）
A．2：3 B．4：5 C．9：11 D．5：11
【答案】C
【解答】解：设x：4＝y：5＝z：6＝k，则x＝4k，y＝5k，z＝6k，
则（x+y）：（y+z）＝（4k+5k）：（5k+6k）＝9：11；
故选：C．
【考点2 比例线段】
【典例2】已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4
【答案】A
【解答】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，
∴＝，
∵a＝3，b＝0.6，c＝2，
∴＝
解得：d＝0.4．
故选：A
【变式2-1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
【答案】A
【解答】解：A、∵2×6＝3×4，
∴四条线段成比例，故符合题意；
B、∵2×5≠4×3，
∴四条线段不成比例，故不符合题意；
C、∵1×4≠2×3，
∴四条线段不成比例，故不符合题意；
D、∵3×9≠4×6，
∴四条线段不成比例，故不符合题意．
故选：A．
【变式2-2】若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．32cm
【答案】A
【解答】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则c2＝ab，即c2＝2×8，
解得c＝4，（线段是正数，负值舍去）．
故选：A．
【变式2-3】如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴＝．
故选：D．
【考点3 黄金分割比】
【典例3】作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）

【解答】 解：如图，点即为所求．

【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．
【变式3】如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？

【解答】 解：（1）如图，点B为所作；

（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD，
∴DE＝DC，
∵AD=，
∴AE＝AD﹣DE，
∴AB， BC，


即，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
【典例4】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（　　）

A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
【答案】B
【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴＝，
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
经检验，x＝﹣1是原方程的解，
∴x＝﹣1≈1.24，
故选：B．
【变式4-1】已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【答案】D
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故选：D．
【变式4-2】P是线段AB上一点（AP＞BP），且满足＝，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），求叶柄BP的长度．设BP＝xcm，则符合题意的方程是（　　）

A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x）
C．x（10﹣x）＝102 D．10（1﹣x）2＝10﹣x
【答案】A
【解答】解：∵AB＝10cm，BP＝xcm，
∴AP＝（10﹣x）cm，
∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP2＝BP×AB，即（10﹣x）2＝10x，
故选：A
【变式4-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，AB的垂直平分线DE交AC于点E．若AB＝4，则CE的长度为（　　）

A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．6﹣2
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，
∴∠CBE＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CAB，
∴CE：CB＝CB：CA，
∵∠CEB＝∠A+∠ABE＝72°，
∴∠CEB＝∠C，
∴BC＝BE＝AE，
∴CE：AE＝AE：CA，
∴点E是线段AC的黄金分割点，且AE＞CE，
∴AE＝AC＝2﹣2，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，
故选：D．
【考点4 相似图形】
【典例5】下列图形中，不是相似图形的一组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
【变式5-1】下列各组中两个图形不一定相似的是（　　）
A．有一个角是120°的两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
C．有一个角是35°的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
【答案】C
【解答】解：A、有一个角是120°的两个等腰的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；
B、两个等腰直角的三组角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，不符合题意；
C、各有一个角是35°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是35°，而另一个等腰三角形的顶角是35°，则两个三角形一定不相似，符合题意；
D、两个等边三角形的各内角都为60°，所以两等边三角形相似，不符合题意；
故选：C．
【变式5-2】如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．135° B．90° C．60° D．45°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝、AC＝，BC＝5，DE＝、EF＝2，DF＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．
故选：D．
【变式5-3】如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：由题意，两个矩形相似，
∴＝或＝，
解得x＝3或0（0不符合题意舍去），
故选：A．
【考点5 相似多边形的性质】
【典例6】若两个相似三边形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【解答】解：相似多边形的周长的比是1：2，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；
故选：A．
【变式6-1】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（　　）

A．70° B．80° C．110° D．120°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，
∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，
故选：D．
【变式6-2】若两个相似多边形的面积比为4：9，则它们的对应边的比是（　　）
A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：94
【答案】B
【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的对应边的比2：3，
故选：B．
【变式6-3】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
【答案】C
【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为18cm2，
∴较大多边形的面积为32cm2，
故选：C．