山东省济宁市嘉祥县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省济宁市嘉祥县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市嘉祥县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．反比例函数y＝的图象经过点（1，12），若点（m，6）在反比例函数图象上，则m等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．12
2．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
3．在函数y＝（k＞0）的图象上有三个点的坐标分别为（1，y1），（2，y2），（﹣2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝＝（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（　　）

A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
6．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）

A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
7．如图，一块含30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，若AB的长为30cm，那么顶点B从开始到结束经过的路径长为（　　）

A．20πcm B．30πcm C．20πcm D．40πcm
8．如图所示，已知⊙O过B，C两点，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝2，BC＝8，则⊙O的半径为（　　）

A．5 B．2 C．3 D．2
9．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30
10．二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置判断a，b，c的正负，则a　 　0，b　 　0，c　 　0．（选用“＜”“＞”及“＝”号填写）

12．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S1+S2＝10，则S阴影＝　 　．

13．抛物线y＝﹣（x+1）2+2关于原点对称的抛物线的解析式为 　 　．
14．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，△ABC的周长为19．若⊙O与BC，AC，AB三边分别相切于点E，F，D，则DF的长为 　 　．

15．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 　 　．

三、解答题：（本大题共7个小题，共55分）
16．（1）解方程：﹣x2+2x+3＝0；
（2）计算：2tan45°sin60°﹣6tan30°cos60°．
17．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，4），C（4，1），请以O为位似中心，把△ABC的边长放大为原来的2倍．要求画出满足条件的所有图形并写出放大后三角形各自的顶点坐标．

18．已知二次函数y＝﹣x2+10x﹣9．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤7时，函数的最大值和最小值分别为多少？
19．小明和大白做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）判断下列说法是否正确，在后面括号内正确打“√”号，错误打“×”号；
①根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大．（ 　 　）
②如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．（ 　 　）
（3）小明和大白各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之积为3的倍数的概率．
20．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．



参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．反比例函数y＝的图象经过点（1，12），若点（m，6）在反比例函数图象上，则m等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．12
【分析】把点（1，12）代入y＝求出k，得出函数的解析式，再把（m，6）代入，即可求出m．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，12），
∴k＝1×12＝12，
即y＝，
把（m，6）代入y＝得：m＝2，
故选：A．
2．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1＝﹣3，
解得：x1＝﹣2．
故选：A．
3．在函数y＝（k＞0）的图象上有三个点的坐标分别为（1，y1），（2，y2），（﹣2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
解：∵k＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜1＜2，
∴点（﹣2，y3）在第三象限，点（1，y1），（2，y2）在第一象限
∴y3＜0，0＜y2＜y1．
∴y3＜y2＜y1．
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝，
∴cosB＝＝．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（　　）

A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
【分析】由DE都是中点，可得DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，则△ADE∽△ABC，且相似比是1：2，则△ADE的面积和△ABC的面积比是1：4，则△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，结合已知条件，可得结论．
解：如图，
在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，
∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，
∵△ADE的面积是3cm2，
∴四边形BDEC的面积是9cm2，
故选：B．
6．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）

A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．
解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选：D．

7．如图，一块含30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，若AB的长为30cm，那么顶点B从开始到结束经过的路径长为（　　）

A．20πcm B．30πcm C．20πcm D．40πcm
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得AB＝BC＝30，∠ACB＝60°，从而得出点B经过的路径是圆心角120°，半径为30cm的弧，代入弧长公式计算即可．
解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，AB＝30cm，
∴AB＝BC＝30，∠ACB＝60°，
∴BC＝30cm，
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，
∴∠BCB'＝120°，
∴点B经过的路径是圆心角120°，半径为30cm的弧，
∴点B从开始到结束经过的路径长为＝20π（cm），
故选：A．
8．如图所示，已知⊙O过B，C两点，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝2，BC＝8，则⊙O的半径为（　　）

A．5 B．2 C．3 D．2
【分析】连接OB、OC，根据AB＝AC，OB＝OC可得OA是BC的垂直平分线，从而延长AO，根据垂径定理即可得出半径的长度．
解：连接OB、OC，延长AO交BC于D，

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，AB＝AC，
∵OB＝OC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴∠ADB＝90°，BD＝，
∴∠BAD＝45°，
∴DA＝DB＝4，则2+OD＝4，
∴OD＝2，
在Rt△OBD中，OB＝．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
10．二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x＝4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0），然后把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）可求出a的值．
解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4＝0，解得a＝1．
故选：A．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置判断a，b，c的正负，则a　＜　0，b　＞　0，c　＞　0．（选用“＜”“＞”及“＝”号填写）

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置求解．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
故答案为：＜，＞，＞．
12．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S1+S2＝10，则S阴影＝　2　．

【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义求出S1+S阴影及S2+S阴影的值，进而可得出S阴影的值．
解：∵点A，B是双曲线y＝上的点，
∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝7，
∴S1+S2＝14﹣2S阴影＝10．
∴S阴影＝2，
故答案为：2．
13．抛物线y＝﹣（x+1）2+2关于原点对称的抛物线的解析式为 　y＝（x﹣1）2﹣2　．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．
解：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，
∴抛物线y＝﹣（x+1）2+2关于原点对称的抛物线的解析式为：﹣y＝﹣（﹣x+1）2+2，
即y＝（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣2．
14．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，△ABC的周长为19．若⊙O与BC，AC，AB三边分别相切于点E，F，D，则DF的长为 　3.5　．

【分析】先根据切线的性质得到AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，则利用△ABC的周长为19得到AD+BC＝9.5，则AD＝3.5，然后证明△ADF为等边三角形，从而得到DF的长．
解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别相切于点E，F，D，
∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，
∵△ABC的周长为19．
∴AD+BD+BE+CE+CF+AF＝19，
即2AD+2BE+2CE＝19，
∴AD+BC＝9.5，
而BC＝6，
∴AD＝9.5﹣6＝3.5，
∵∠A＝60°，AD＝AF，
∴△ADF为等边三角形，
∴DF＝AD＝3.5．
故答案为：3.5．
15．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 　13　．

【分析】先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出FG＝CG，设CE＝x，则BE＝12﹣x，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，得出＝，然后求出FG＝12﹣x，再根据三角形的面积公式求出△ECF的面积，再根据函数的性质求最值．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠DCG＝90°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG＝45°，
∵FG⊥BG，
∴∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
∴＝，
∴＝，
∴FG＝12﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（12﹣x）＝﹣（x2﹣12x）＝﹣（x﹣6）2+13，
∵﹣＜0，
∴当EC＝6时，S△ECF最大＝13．
故答案为：13．
三、解答题：（本大题共7个小题，共55分）
16．（1）解方程：﹣x2+2x+3＝0；
（2）计算：2tan45°sin60°﹣6tan30°cos60°．
【分析】（1）先把方程左边分解得到（x﹣3）（x+1）＝0，原方程可化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可；
（2）根据特殊角的三角函数值进行乘法运算后合并即可．
解：（1）﹣x2+2x+3＝0，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）原式＝2×1×﹣6××
＝﹣
＝0．
17．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，4），C（4，1），请以O为位似中心，把△ABC的边长放大为原来的2倍．要求画出满足条件的所有图形并写出放大后三角形各自的顶点坐标．

【分析】把点A、B、C的坐标都乘以2或乘以﹣2得到对应点的坐标，然后描点即可．
解：如图，△A′B′C′和△A″B″C″为所作．A′（2，6），B′（6，8），C′（8，2）或A″（﹣2，﹣6），B″（﹣6，﹣8），C″（﹣8，﹣2）．
18．已知二次函数y＝﹣x2+10x﹣9．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤7时，函数的最大值和最小值分别为多少？
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值．
解：（1）∵y＝﹣x2+10x﹣9＝﹣（x﹣5）2+16，
∴顶点坐标为（5，16）；
（2）∵顶点坐标为（5，16），
∴当x＝5时，y最大值＝16，
∵当1≤x≤5时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当5＜x≤7时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝7时，y最小值＝12．
∴当1≤x≤7时，函数的最大值为16，最小值为0．
19．小明和大白做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）判断下列说法是否正确，在后面括号内正确打“√”号，错误打“×”号；
①根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大．（ 　×　）
②如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．（ 　×　）
（3）小明和大白各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之积为3的倍数的概率．
【分析】（1）根据概率的公式计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）根据随机事件的性质回答；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）“3点朝上”的频率为＝；
“5点朝上”的频率为＝；

（2）“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，①错误；
因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次，②错误；
故答案为：×，×；

（3）列表得：

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
∴一共有36种情况，两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的有12种情况；
∴两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率是＝．
20．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．

【分析】首先分析题干：根据平行四边形可得出ED＝8，再根据垂径定理可得EF的长；再过点E作EG⊥AB、连接OE，从而得矩形，根据勾股定理进一步得EG、AE的长．
解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE＝AC＝8，DE∥AB，
∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，
∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴OG＝EF＝4，
∴AG＝5﹣4＝1，
在Rt△OEG中，EG＝，
在Rt△AGE中，AE＝．