2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 彩民李大叔购买1张彩票中奖．这个事件是( )
A. 必然事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 随机事件
2. 如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换( )
A. 平移
B. 轴对称
C. 旋转
D. 位似
3. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则S△AOB：S△COD为( )
A. 1：2
B. 1：4
C. 2：1
D. 4：1
4. 已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(−2,4)，那么该反比例函数图象也一定经过点( )
A. (4,2)B. (1,8)C. (−1,8)D. (−1,−8)
5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 150(1−x2)=96B. 150(1−x)=96
C. 150(1−x)2=96D. 150(1−2x)=96
6. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为( )
A. 21313
B. 31313
C. 23
D. 32
7. 用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( )
A. 4cmB. 8cmC. 12cmD. 16cm
8. 如图，矩形OABC与反比例函数y1=4x(x>0)的图象交于点M，N，与反比例函数y2=7x(x>0)的图象交于点B，连接OM，ON.则四边形OMBN的面积为( )
A. 3
B. 72
C. 4
D. 92
9. 抛物线的函数表达式为y=(x−2)2−9，则下列结论中，正确的序号为( )
①当x=2时，y取得最小值−9；②若点(3,y1)，(4,y2)在其图象上，则y2>y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=(x−5)2−5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A. ②③④B. ①②④C. ①③D. ①②③④
10. 如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点(与B、C不重合)，将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′.给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD=CD时，△ADD′的积取得最小值.其中正确的结论有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若反比例函数y=−6x的图象上有两点A(−3,m)，B(−2,n)则m与n的大小关系为m n.(填“>”、“=”或“<”)
12. 若关于x的一元二次方程3x2−2x+m=0的两根之积等于−4，则m的值为 ．
13. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系是h=−5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
14. 如图，在矩形ABCD中，AD=2，DC=4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ/​/y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM.若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
(1)解方程：x2−2x−5=0
(2)计算：4sin60°⋅cs60°−tan245°．
17. (本小题6.0分)
如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．

(1)在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12；
(2)在(1)的条件下，若P(x,y)是△OAB边上任意一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ．
18. (本小题6.0分)
2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生(用A，B表示)和八年级的两名学生(用C，D表示)获得优秀奖．
(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是______．
(2)从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
19. (本小题8.0分)
如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
20. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=12x−1的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象相交于点A(m,2)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE.求△BDE的面积．
21. (本小题9.0分)
如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△ABD∽△DCP；
(3)若AB=6，AC=8，求点O到AD的距离．
22. (本小题12.0分)
如图①，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B(−3,0)两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q.使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点M从B点以每秒43个单位长度沿BA方向向点A运动，同时，点N从C点以每秒2个单位沿CB方向向点B运动.设运动时间为t秒，当t为何值，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：彩民李大叔购买1张彩票中奖．这个事件是随机事件，
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
根据位似的定义，即可解决问题．
本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
3.【答案】B
【解析】解：∵CD/​/AB，
∴△ABO∽△DCO，
∴ABCD=OAOD=OBOC=12，S△AOBS△COD=(ABCD)2，
∴S△AOB：S△COD=1：4，
故选：B．
证明△ABO∽△DCO，由相似三角形的性质求出AB：CD，再根据三角形的面积关系求得结果．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
4.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(−2,4)，
∴k=−2×4=−8，
A、∵4×2=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵1×8=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、−1×8=−8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、(−1)×(−8)=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
先把点(−2,4)代入反比例函数的解析式求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y=kx(k≠0)中，k=xy为定值是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：第一次降价后的价格为150×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×(1−x)×(1−x)，
则列出的方程是150(1−x)2=96．
故选：C．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=96，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，
∴根据圆周角定理知，∠ADC=∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
tan∠ABC=ACBC=23，
∴tan∠ADC=23，
故选：C．
首先根据圆周角定理可知，∠ADC=∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正切值．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正切值转化成求∠ABC的正切值，本题是一道比较不错的习题．
7.【答案】B
【解析】解：设半圆形铁皮的半径为r cm，
根据题意得：πr=2π×4，
解得：r=8cm，
所以围成的圆锥的母线长为8cm，
故选：B．
求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．
8.【答案】A
【解析】解：∵点M、N均是反比例函数y1=4x(x>0)的图象上，
∴S△OAM=S△OCN=12×4=2，
∴S△OAM+S△OCN=4，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=7x的图象上，
∴S矩形OABC=7，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC−(S△OAM+S△OCN)=7−4=3，
∴四边形OMBN的面积为3．
故选：A．
根据反比例函数系数k的几何意义和矩形的性质，求出四边形OMBN的面积即可．
本题考查了矩形的性质和反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数y=kx图像k的几何意义是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
9.【答案】B
【解析】解：∵y=(x−2)2−9，
∴抛物线对称轴为直线x=2，抛物线开口向上，顶点坐标为(2,−9)，
∴x=2时，y取最小值−9，①正确．
∵x>2时，y随x增大而增大，
∴y2>y1，②正确．
将函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=(x+1)2−5，③错误．
令(x−2)2−9=0，
解得x1=−1，x2=5，
∴5−(−1)=6，④正确．
故选：B．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可判断①②，由二次函数图象平移的规律可判断③，令y=0可得抛物线与x轴交点横坐标，从而判断④．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10.【答案】D
【解析】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度得到AD′，
∴∠DAD′=θ，AD=AD′，
∴∠CAB=∠DAD′，
即∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠BAD′，
∴∠CAD=∠BAD′，
∵AC=AB∠CAD=∠BAD′AD=AD′，
得：△ADC≌△AD′B(SAS)，
故①正确；
∵△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形，
∴△ACB～△ADD′，
故②正确；
∴S△AD′DS△ABC=(ADAC)2，
即AD最小时S△AD′D最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点，
故③正确；
故选：D．
依题意知，△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明△ADC≌△AD′B，可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为ADAC，故最小时△ADD′面积最小，即AD⊥BC，等腰三角形三线合一，D为中点时．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键．
11.【答案】<
【解析】解：把A(−3,m)与B(−2,n)代入反比例解析式得：m=2，n=3，
则m故答案为：<．
把A与B的坐标代入反比例解析式求出值，比较大小即可．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】−12
【解析】解：∵关于x的一元二次方程3x2−2x+m=0的两根之积等于−4，
∴m3=−4，
解得：m=−12．
故答案为：−12．
根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系求出m的值即可．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
13.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
【解答】
解：h=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，
∵−5<0，
∴当t=2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
14.【答案】8−23−4π3
【解析】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE=DC=43，
在Rt△ADE中，
∵cs∠ADE=ADDE=24=12，
∴∠ADE=60°，
∴∠EDC=30°，AE=3AD=23，
∴S扇形EDC=30×π×42360=43π，
∴BE=AB−AE=4−23，
∴S四边形DCBE=(4−23+4)×22=8−23，
∴阴影部分的面积=8−23−4π3，
故答案为：8−23−4π3．
由旋转的性质可得DE=DC=43，由锐角三角函数可求∠ADE=60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．
本题考查了旋转的性质，灵活运用锐角三角函数、矩形的性质、扇形的面积公式等知识是解决问题的关键．
15.【答案】23
【解析】解：过点M作MN⊥x轴于点N，如图，

∵点P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，
∴点P坐标表示为(k2,2)，PQ=2，
由旋转可知，QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=12QM=1，QN=QM2−MN2=3，
∴ON=OQ+QN=k2+3，
∴ON⋅MN=k，即k2+3=k，
解得：k=23．
故答案为：23．
作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
本题主要考查旋转的性质、反比例函数中k的几何意义、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题关键．
16.【答案】解：(1)x2−2x−5=0，
x2−2x=5，
x2−2x+1=5+1，
(x−1)2=6，
x−1=±6，
x−1=6或x−1=−6，
x1=1+6，x2=1−6；
(2)4sin60°⋅cs60°−tan245°
=4×32×12−12
=3−1．
【解析】(1)利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答；
(2)把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】(12x,12y)或(−12x,−12y)
【解析】解：(1)如图，△OA′B′和△OA′′B′′即为所求．

(2)根据题意，当变换后点P的对应点在第一象限时，对应点的坐标为(12x,12y)；
当变换后点P的对应点在第三象限时，对应点的坐标为(−12x,−12y).
故答案为：(12x,12y)或(−12x,−12y).
(1)根据位似图形的定义作图即可．
(2)根据位似性质和坐标即可求出答案．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
18.【答案】12
【解析】解：(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是24=12，
故答案为：12；
(2)列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为812=23．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
19.【答案】解：∵CE/​/AD，
∴∠A=∠ECA=37°，
∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°−53°=37°，CD=90米，cs∠BDC=BDCD，
∴BD=CD⋅cs∠37°≈90×0.80=72(米)，
在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=72米，tanA=BDAB，
∴AB=BDtan37∘≈720.75=96(米)．
答：A，B两点间的距离约96米．
【解析】由三角形内角和定理证得△CBD和△ABD是直角三角形，解直角三角形即可求出AB．
本题主要考查了解直角三角形的应用，证得△CBD和△ABD是直角三角形是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)将y=2代入y=12x−1得x=6，
∴A点坐标为(2,6)，
∵点A在反比例函数y=kx (k≠0,x>0)的图象上，
∴k=2×6=12．
∴反比例函数的表达式为：y=12x(x>0)；
(2)将x=4代入一次函数y=12x−1得y=1，
即点D的坐标为(4,1)，
将x=4代入反比例函数y=12x(x>0)得y=3，
即E点坐标为(4,3)，
∴DE=3−1=2，
∴S△BDE=12DE⋅xD=12×2×4=4．
【解析】(1)将A点坐标代入函数表达式，可得A(6,2)，代入反比例函数解析式求出k值即可；
(2)先把D点代入直线表达式求出点D坐标，进而根据DE两点横坐标一直代入反比例函数表达式求出E点坐标，根据S△BDE=12DE⋅xD可求出答案．
本题属于一次函数、反比例函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，三角形的面积，解第一问的关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出DE的长度．
21.【答案】(1)证明：如图1，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴∠BOD=∠COD=90°，
∵BC//PD，
∴∠ODP=∠BOD=90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵BC//PD，
∴∠PDC=∠BCD．
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠PCD=180°，
∴∠ABD=∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
(3)解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AB=6，AC=8，
∴BC=62+82=10，
∵BD=CD，
∴BD=CD=52，
由(2)知：△ABD∽△DCP，
∴ABDC=BDCP，即652=52CP，
∴CP=253，
∴AP=AC+CP=8+253=493，
∵∠ADB=∠ACB=∠P，∠BAD=∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴ABAD=ADAP，即6AD=AD493，
∴AD2=6×493=98，
∴AD=72，
∵OE⊥AD，
∴DE=12AD=722，
∴OE=OD2−DE2=52−(722)2=22，
即点O到AD的距离是22．
【解析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A(1,0)、B(−3,0)，
∴−1+b+c=0−9−3b+c=0，
解得：b=−2c=3；
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3；
(2)存在，理由如下：
连接BC交抛物线对称轴于Q，连接AC，如图①：

在y=−x2−2x+3中，令x=0，则y=3，
∴C点坐标为：C(0,3)，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴该抛物线的对称轴为：直线x=−1，
∵A(1,0)，C(0,3)，
∴AC=(1−0)2+(0−3)2=10，
∵△QAC的周长=QA+QC+AC=QA+QC+10，
∴△QAC的周长最小，即是QA+QC最小，
∵A，B关于直线x=−1对称，
∴QA=QB，
∴QA+QC=QB+QC，
而此时Q，B，C共线，故此时QA+QC最小，最小值为BC的长度，
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
∵B(−3,0)，C(0,3)，
∴−3k+d=0d=3，
解得：k=1d=3，
∴直线BC的解析式为：y=x+3，
当x=−1时，y=−1+3=2，
∴Q(−1,2)；
(3)在Rt△OBC中，BC=OB2+OC2=32+32=32，
由题意运动t秒时，BM=43t，BN=32−2t，
①当∠BMN是直角时，如图②，

∵△MBN∽△OBC，
∴BMOB=BNBC，即43t3=32−2t32，
解得t=97；
②当∠BNM是直角时，如图③，

∵△NBM∽△OBC，
∴BMBC=BNOB，即43t32=32−2t3，
解得t=95，
综上所述，t为97或95时，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似．
【解析】(1)利用待定系数法将点A(1,0)、B(−3,0)代入y=−x2+bx+c，即可求解；
(2)连接BC交抛物线对称轴于Q，连接AC，由y=−x2−2x+3得C(0,3)，对称轴为直线x=−1，可得AC=10，△QAC的周长最小，即是QA+QC最小，故当Q，B，C共线时，QA+QC最小，利用待定系数法可得直线BC的解析式为：y=x+3，令x=−1得Q(−1,2)；
(3)分别表示出BM、BN的长度，然后分①∠BMN是直角，②∠BNM是直角两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，利用轴对称求线段和的最小值，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的对应边成比例的性质，注意要分情况讨论求解，要注意数形结合思想的应用．
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)