2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区光谷实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区光谷实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区光谷实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 平行四边形中，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 在下列由线段，，的长为三边的中，不能构成直角三角形的是(    )A.
B. ：：：：
C. ，，
D. ，，下列命题中错误的是(    )A. 平行四边形的对边相等
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线相等
D. 对角线相等的四边形是矩形如图，▱中，对角线、相交于点，交于点，连接，若▱的周长为，则的周长为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中，顶点，，，则顶点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 如图，四边形中，点、、分别为边、、的中点，若的面积为，则四边形的面积为(    )A.
B.
C.
D. 如图，四边形中，，以，，为边向外分别作等边三角形，其面积分别是、、，且，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18分）化简二次根式： ______ ．在中，，，，为边上的中点，则的长是______．已知，则代数式的值是______ ．一竖直的木杆在离地面米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端米处，木杆折断之前的高度为______米．在▱中，平分交边于，平分交边于，若，，则______．如图，在平行四边形中，，连接，且，平分交与于点点在边上，，若，线段点在点的左侧在线段上运动，，连接，则的最小值为______．
  三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算
；
．本小题分
已知：如图，在▱中，、是对角线上的两点，且，
求证：四边形是平行四边形．
本小题分
如图，在矩形中，对角线、交于点，平分交于点，连接，且．
求证：；
求的度数．
本小题分
如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．
请判断的形状为______三角形；
在图中作的高，则求出的长为______；
若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，在图中画出平行四边形，并写出点的坐标______．
 
本小题分
如图，有两条公路、相交成角，沿公路方向离点米处有一所学校当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以为圆心米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车沿道路方向行驶的速度为千米时．
求对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离；
求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
本小题分
在四边形中，、分别是边、的中点，点为四边形内部一点．
如图，连接，若为的中点，连接、、，，，，则的长为______请直接写出答案．
连接、，
如图，若为对角线、的交点，且
求证：；
如图，若连接、，且，求线段与的位置关系．
 
本小题分
问题背景：小伟遇到一个这样问题：如图，两条相等的线段，交于点，，连接，，求证：．
通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题，
证明：过点作且使连接．
四边形为平行四边形，则______．
，
______．
又，
为等边三角形，
______．
，即．
请完成证明中的两个填空．并参考小伟同学思考的方法，解决下列问题：
类比运用：如图，与相交于点，，，，，，求线段的长．
联系拓展：如图，的三条中线分别为，，若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积等于______请直接写出答案．
 
本小题分
在平面直角坐标系中，已知矩形点，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形地转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
如图，当点恰好落在边上时，则的长为______请直接写出答案；
如图，所在直线与、分别交于点、，且求线段的长度．
如图，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由在实数范围内有意义，得
，
解得，
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，就可以求解．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 2.【答案】 【解析】【分析】
直接利用二次根式的性质分别化简计算即可．
此题主要考查了二次根式的加减，二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、无法计算，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．  3.【答案】 【解析】解：，，，只有为最简二次根式．
故选：．
利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
 4.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故选：．
先根据平行四边形的性质得出，，再由可求出的度数，进而可求出的度数．
本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：、，，故能构成直角三角形；
B、：：：：，
，
是锐角三角形，故不能构成直角三角形，
C、，故能构成直角三角形；
D、，故能构成直角三角形．
故选：．
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 6.【答案】 【解析】解：根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：选项A、、均正确．中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
故选：．
根据平行四边形和矩形的性质和判定进行判定．
本题利用了平行四边形和矩形的性质和判定方法求解．
 7.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
▱的周长为，
，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故选：．
先判断出是的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由▱的周长为，即可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的中垂线．
 8.【答案】 【解析】解：设直线的解析式为、直线的解析式为，把点、代入上式得，，解得，
直线的解析式为；四边形是平行四边形，，，直线的解析式为，把代入上式得，，
直线的解析式为，
同理求得直线的解析式为，
将直线与直线的解析式联立得，
，
解得，
点的坐标为．
故选：．
由点和点的坐标可求出直线的解析式，同理求出的解析，根据直线平行的条件和点的坐标，可分别求出直线和的解析式，再求和的交点坐标即可．
本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式和平行四边形的性质，解题关键是数形结合思想的运用，根据直线平行得到解析式中的值相等而解决问题．
 9.【答案】 【解析】解：记，，，的面积分别为，，，，四边形的面积为连接．
，，，，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，同理可得，
，
同法可得，
，
，
．
故选：．
记，，，的面积分别为，，，，四边形的面积为连接只要证明，，即可解决问题．
本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，记住中点四边形的面积是四边形的面积的一半．
 10.【答案】 【解析】解：过点作交于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
以、、为斜边向外作等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，即，
故选：．
过点作，根据，求证四边形是平行四边形，再利用，求证为，再利用勾股定理得出，根据等边三角形的性质分别求出三个等边三角形的面积，计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质直接化简开平方求出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方得出是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：，，，
，
为边上的中点，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，由直角三角形的性质可得出答案．
此题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，

．
故答案为：．
直接把的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 14.【答案】 【解析】解：一竖直的木杆在离地面米处折断，顶端落在地面离木杆底端米处，
折断的部分长为米，
折断前高度为米．
故答案为：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 15.【答案】或 【解析】解：如图，在▱中，，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，

，
，
；
在▱中，，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，

，
，
；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据平行四边形的性质得到，，得出，分两种情况，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出．
 16.【答案】 【解析】解：在上截取，连接，过点作，使，
连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当点在线段上时，的最小值为，
的最小值为，
，，
的最小值为，
故B的最小值为．
故答案为：．
在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，应用平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明≌，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解本题的关键．
 17.【答案】解：

；

． 【解析】根据二次根式的加减法可以解答本题；
根据二次根式的乘除法可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
 18.【答案】证明：连接，交于点．
四边形是平行四边形，
，．
又，
，即．
又，
四边形是平行四边形． 【解析】连接，交于点由“平行四边形的对角线互相平分”推知，；然后结合已知条件证得，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，得证．
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
 19.【答案】证明：四边形是矩形，平分，
；
，
又，
；
又矩形的对角线互相平分且相等，
；
是等边三角形；
，
．

解：是等边三角形，
，；
平分，，
，
，
；
，
． 【解析】只要证明是等边三角形，是等腰直角三角形即可解决问题；
根据，计算即可；
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
 20.【答案】直角    或或 【解析】解：，，，
，，，
，
是直角三角形，
故答案为：直角；
如图，取格点，则为的高，

是直角三角形，
，
，
故答案为：；
解：如图，分三种情况：

为对角线时，四边形是平行四边形，点的坐标为；
为对角线时，四边形是平行四边形，点的坐标为；
为对角线时，四边形是平行四边形，点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
根据三角形的面积可得出答案；
画出图形，分三种情况，即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定、坐标与图形性质、勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 21.【答案】解：过点作于点，
，，
，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离为米；

由图可知：以为半径画圆，分别交于，两点，，，，
在中，，
，
在中，，，由勾股定理得：，
故BC米，即重型运输卡车在经过时对学校产生影响．
重型运输卡车的速度为千米小时，即米分钟，
重型运输卡车经过时需要分钟秒．
答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为秒． 【解析】直接利用直角三角形中所对的边等于斜边的一半求出即可；
根据题意可知，图中，，且，，；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．
此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是卡车在哪段路上运行时对学校产生影响．
 22.【答案】 【解析】解：是边的中点，为的中点，
是的中位线．
，．
．
同理：为的中位线．
，．
．
，
．
．
．
故答案为：；
证明：取的中点，的中点，连接，，如图，

是边的中点，为的中点，
是的中位线．
．
同理：．
四边形为平行四边形．
．
，是边的中点，
，．
．
，是边的中点，
，．
，，
，
．
．
，，
，．
．
．
为等边三角形．
为的中点，
，．
，
．
．
解：线段与的位置关系为：理由：
取的中点，的中点，连接，，，，，，如图，

是边的中点，为的中点，
是的中位线．
．
同理：．
四边形为平行四边形．
，，．
，是边的中点，
，．
同理：，．
，．
，
．
．
．
即：．
在和中，
，
≌．
．
为的中点，
．
利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到为直角三角形，利用勾股定理即可求得结论；
取的中点，的中点，连接，，利用三角形的中位线定理判定四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理得到；利用直角三角形斜边上的中线的性质得到，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值以及直角三角形的边角关系即可得出结论；
取的中点，的中点，连接，，，，，，利用中的方法得到，；利用平行四边形的性质和三角形的内角和定理得到；通过证明≌得到，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．
本题主要考查了三角形的中位线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，取边的中点，利用三角形的中位线的性质解答是解题的关键．
 23.【答案】       【解析】证明：过点作且使连接．
四边形为平行四边形，则．
，
．
又，
为等边三角形，
．
，即．
故答案为：、、；
解：过作，过作，两直线交于，连接，

则四边形是平行四边形，
所以，，，
，
，
，
是直角三角形，
，，
由勾股定理得：，
，
，
，
由勾股定理得：，
四边形是平行四边形，
．
解：平移到，可得，，

四边形为平行四边形，
与互相平分，即为的中点，
又，为的中点，
为的中点，
为各边中线的交点，
的面积为面积的，
连接，可知与在一条直线上，
的面积是面积的，
所以的面积是，
以、、的长度为三边长的三角形的面积等于，
故答案为：．
根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可；
作，，两线交于，连接，证是直角三角形，得，再证，由勾股定理得，根据四边形是平行四边形可得答案；
由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以，，的长度为三边长的三角形的面积等于的面积的．
本题是四边形综合问题，主要考查平移的基本性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识点．
 24.【答案】 【解析】解：四边形点，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
，
故答案为；
如图，过点作于，过点作于，连接，

，，
四边形是矩形，
，
，，，
≌，
，
又，
≌，
，，
又，
点与点重合，
，，
，
点，点，点三点共线，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，，
；
存在，如图，连接，

当轴于点时，则，此时面积最大，
由题意：，
，，
，
，
，
则，
的面积的最大值为．
如图中，在中，利用勾股定理即可解决问题；
由“”可证≌可得，由“”可证≌，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，由，可求的长，由三角形中位线定理可求解；
存在．连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求出，再根据计算即可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．