人教版数学八年级上册专项培优练习六《等腰三角形的性质与判定》（含答案）

人教版数学八年级上册专项培优练习六

《等腰三角形的性质与判定》

一              、选择题

1.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(    )

A.55°，55°      B.70°，40°或70°，55°

C.70°，40°        D.55°，55°或70°，40°

2.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)

A.∠EBC=∠BAC    B.∠EBC=∠ABE    C.AE=EC    D.AE=BE

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则其顶角为(     )

A.45°                     B.135°                     C.45°或67.5°                      D.45°或135°

4.如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为(      )

A.12           B.4              C.8                D.不确定

5.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为(        )

A.48°                         B.36°                         C.30°                          D.24°

6.如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是(       )

7.在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0，2)，若点C在第一象限内，CO=CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为(　　)

A.1         B.2         C.3         D.4

8.如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是(    )

A.70°      B.110°    C.140°       D.150°

9.如图,△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P,则△PBC面积为(   )

A.0.4cm2                    B.0.5cm2                    C.0.6cm2                  D.0.7cm2

10.在平面直角坐标系中，已知点A(2，﹣2)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有(      )

A.1个                        B.2个                    C.3个                     D.4个

11.如图，已知AD为△ABC的高，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，EF∥AD，交AC于F，连ED，EC，

有以下结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥AB；③BD=2EF；④S△BDE=S△ACE

其中正确的是(　　)

A.①②③        B.②④        C.①③        D.①③④

12.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.

下列结论：

①∠ACB=2∠APB；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CPF.

其中，正确的有(　　)

A.1个       B.2个       C.3个       D.4个

二              、填空题

13.如图，△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，则∠C=　  　.

14.一等腰三角形，一边长为9cm,另一边长为5cm,则等腰三角形的周长是     .

15.如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1=30°，则∠2=　   　.

16.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　   　.

17.在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b(如图1).

求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b.

小姗的作法如下：如图2，

(1)作线段BC=a；

(2)作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；

(3)在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC.所以，△ABC就是所求作的等腰三角形.

老师说：“小姗的作法正确”.

请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：　   　.

18.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是         .

三              、解答题

19.在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长.

20.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，

(1)尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若∠C=30°，求证：DC=DB.

21.在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°

(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)在(1)的条件下，∠BDC=　   　.

22.如图，△ABC中，AB=AD=DC，设∠BAD=x，∠C=y，试求y与x的关系式.

23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE.

(1)求∠DBE的大小；

(2)求证：AD=2BE.

24.直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F.

(1)如果∠AFE=65°，求∠CDF的度数；

(2)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形.

25.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.

(1)求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE.

(2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明.

参考答案

1.D

2.A

3.D

4.C

5.A

6.B

7.D

8.D

9.B

10.D

11.D

12.D

13.答案为：20°.

14.答案为：23cm或19cm

15.答案为：75°.

16.答案为：120°或75°或30°.

17.答案为：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形.

18.答案为：12°.

19.解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠CAD=∠ADE，

∴∠BAD=∠ADE，

∴AE=DE，

∵AD⊥DB，

∴∠ADB=90°，

∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，

∴∠ABD=∠BDE，

∴DE=BE，

∵AB=5，

∴DE=BE=AE=AB=2.5.

20.解：(1)射线BD即为所求；

(2)∵∠A=90°，∠C=30°，

∴∠ABC=90°﹣30°=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABC=30°，

∴∠C=∠CBD=30°，

∴DC=DB.

21.解：(1)如图所示，BD即为所求；

(2)∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，

∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣140°=40°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠ABC=×70°=35°，

∵∠BDC是△ABD的外角，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=40°+35°=75°，

故答案为：75°.

22.解：∵AD=DC，

∴∠DAC=∠C=y，得∠ADB=∠DAC+∠C=2y，

∵AB=AD，

∴∠B=∠ADB=2y，

在△ABD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180°，

∴x+2y+2y=180°，即y=－x+45°，

即y与x的关系式是y=－x+45°.

23.解：(1)∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠BAC=45°，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠BAC=22.5°，

∵AE⊥BE，∴∠BED=90°，

∴∠ACD=∠BED=90°，

∵∠ADC=∠BDE，

∴∠DBE=∠CAD=22.5°.

(2)延长AC、BE交于点G.

∵AE⊥BG，

∴∠AEB=∠AEG=90°，

在△AEB和△AEG中，

，

∴△AEB≌△AEG，

∴BE=EG，

在△ACD和△BCG中，

，

∴△ACD≌△BCG，

∴AD=BG=2BE，

∴AD=2BE.

24.解：(1)根据翻折不变性可知：∠AFE=∠DFE=65°，

∴∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，

∵∠C=90°，

∴∠CDF=90°﹣50°=40°.

(2)∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，

∴CF=CD，

∴∠CFD=∠CDF=45°，

设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD， AE=DE，

∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，

分类如下：

①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，

由∠CDE=∠DEB+∠B，

得45°+22.5°+x=4x，解得：x=22.5°.

此时∠B=2x=45°；

见图形(1)，说明：图中AD应平分∠CAB.

②当BD=BE时，则∠B=(180°﹣4x)°，

由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°﹣4x，解得x=37.5°，

此时∠B=(180﹣4x)°=30°.

图形(2)说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°.

③DE=BE时，则∠B=(90-x)°，

由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+90-x，此方程无解.

∴DE=BE不成立.

综上所述∠B=45°或30°.

25.解：(1)①∵AD∥BE，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD；

②∵AD∥BE，

∴∠ADC=∠DCE，

由①知AB=AD，

又∵AB=AC，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∴∠ACD=∠DCE，

∴CD平分∠ACE；

(2)∠BDC=∠BAC，

∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，

∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，

∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，

∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，

∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，

∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，

∴∠BDC=∠BAC.