2022-2023学年湖南省长沙市雨花区中雅培萃学校九年级（上）第一次入学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区中雅培萃学校九年级（上）第一次入学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区中雅培萃学校九年级（上）第一次入学数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是(    )
 A.  B.  C.  D. 下列图形中，是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是(    )
A. 点与点是对称点 B.
C.  D. 在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是(    )A. 点
B. 点
C. 点
D. 点如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到，若，则线段的长为(    )A.
B.
C.
D. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，将绕点旋转得到，点的坐标为，则点的坐标为(    )A.
B.
C.
D.
 如图，在等边中，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长是(    )
 A.  B.  C.  D. 不确定已知经过点的二次函数的图象如图所示，有以下结论：；；；；其中正确结论的个数是(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，点是等边三角形内一点，且，，，则的度数是(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．已知菱形的周长为，其中一条对角线长为，则该菱形的另一条对角线长为______．在平面直角坐标中，已知点，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为______．
 如图，正方形的边长为，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接，，当点在上运动时，周长的最小值是______．
 抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为______． 三、解答题（本大题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算题：．本小题分
先化简，再求值：其中，．本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
作出关于点对称的图形；
以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，在坐标系中画出．
若将向左平移个单位，求扫过的面积．
本小题分
已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，．
当绕点旋转到如图时，求证：；
当绕点旋转到如图的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．不需要证明
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：五角星可以被中心发出的射线分成个全等的部分，
因而旋转的角度是，
故选：．
根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．
此题主要考查了旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分．
 2.【答案】 【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 3.【答案】 【解析】解：与关于点成中心对称，
点与是一组对称点，，，
，，都不合题意．
与不是对应角，
不成立．
故选：．
根据中心对称的性质判断即可．
本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
连接、、，分别作、、的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】
解：绕某点旋转一定的角度，得到，
连接、、，

作的垂直平分线过、、，
作的垂直平分线过、，
作的垂直平分线过，
三条线段的垂直平分线正好都过，
即旋转中心是．
故选：．  5.【答案】 【解析】解：为直角三角形，，，
，
绕着直角顶点逆时针旋转得到，
，
，
故选：．
由勾股定理可得，由旋转的性质可得，即可求解．
本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是明确旋转前后对应边相等．
 6.【答案】 【解析】解：点关于原点的对称点在第四象限，
点在第二象限，
，
解得：，
故选D．
根据点所在象限确定范围．
本题考查点的坐标的符号，利用对称性确定点所在象限是求解本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：设的坐标为，
和关于点对称．
，，
解得，．
点的坐标．
故选：．
设的坐标为，由于、关于点对称，则，，解得即可．
本题考查中心对称的性质，要根据中心对称的性质，且弄清中心对称的点的坐标特征．
 8.【答案】 【解析】解：将绕点逆时针旋转，得到，
≌，，
，，
是等边三角形，
，
的周长，
故选：．
由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：由图可知，抛物线对称轴是直线，
，即，
抛物线开口向下，
，，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故错误；
由图可得，抛物线上的点在轴下方，
，故正确；
抛物线对称轴是直线，
和时，函数值相等，
而时，
，故正确；
，
错误；
，，
，即，故正确；
正确的有，共个，
故选：．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
 10.【答案】 【解析】解：为等边三角形，
，
如图，将绕点逆时针旋转得，连接，

，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
．
故选：．
根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：如图，

四边形是菱形，
，，，，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：如图，点的坐标为，
故答案为：．

利用旋转变换的性质正确作出图形，可得结论．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题即可．
 14.【答案】 【解析】解：

将绕点旋转到的位置
，

故答案为：
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：连接于交于点，连接，则此时的周长就是周长的最小值，
，，
，，
，
周长的最小值是，
故答案为：．
根据两点之间线段最短和点和点关于对称，即可求得周长的最小值，本题得以解决．
本题考查轴对称最短路线问题、正方形的性质，解答本题的关键是根据点和点关于对称，将转化为，由求得周长的最小值．
 16.【答案】 【解析】解：关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，
抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为：，
即．
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】利用算术平方根的意义，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
 18.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】先算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 19.【答案】解：如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
扫过的面积．
 【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
扫过的面积可以看成平行四边形的面积与三角形的面积和．
本题考查作图旋转变换，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 20.【答案】解：猜想：，
证明如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，

在和中，，
≌，
，，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
又，
；
．
证明如下：
如图，在上截取，连接，

和中，，
≌，
，，
，即，
，
，
在和中，
≌，
，
，
． 【解析】在的延长线上，截取，连接，则可证明≌，可得到，进一步可证明≌，可得结论；
在上截取，连接，可先证明≌，进一步可证明≌，可得到，从而可得到．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质，正确的作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．