华师大版九年级上册第23章 图形的相似综合与测试随堂练习题

这是一份华师大版九年级上册第23章 图形的相似综合与测试随堂练习题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第23章测试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．
1. （2021·洛阳偃师期中）已知a，b满足，则的值为（　A　）
A． B． C．1 D．2
2. （2021·南阳镇平期中）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（　B　）
A．6 B．8 C．10 D．12
3. （2021·新乡辉县期中）如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（　B　）

A．8 B．9 C．10 D．11
4. （2020·新乡辉县期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为 (B )

A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:6
5. （2020·驻马店新蔡期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）

A． B．C． D．
{答案}C
{解析}本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴，∵EF∥BC，∴，∴因此本题选C．
6. （2020•宛城区一模）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】C
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则由相似三角形（△AOB∽△DOC），根据平行线分线段成比例可得＝，代入计算即可解答．
解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，

∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，即＝，
∴CD＝6cm．
故选：C．
7. （2020秋•舞钢市期末）如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（　　）

A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4）
【答案】A
【分析】连接CF交y轴于点P，根据题意得到点P为位似中心，根据相似三角形的性质求出GP，进而得到答案．
解：连接CF交y轴于点P，
∵C和F是对应点，∴点P为位似中心，
由题意得，GF＝2，CD＝4，GD＝4﹣1＝3，
∵CD∥GF，∴△CPD∽△FPG，∴＝，即＝2，
解得，GP＝1，∴OP＝2，∴位似中心的坐标是（0，2），故选：A．

8. （2020秋•荥阳市期中）某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（　　）米．

A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
【答案】A
【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x﹣0.618x＝1.58，然后解方程即可．
解：设该车车身总长为xm，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，∴x﹣0.618x＝1.58，解得x≈4.14，
即该车车身总长约为4.14米．故选：A．
9. （2020秋•解放区校级期中）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM；④∠CPB＝45°．其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；②通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；③2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证；④根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：由已知：AC＝AB，AD＝AE，∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正确；
∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，所以②正确；
由②MP•MD＝MA•ME，∠PMA＝∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD＝∠AED＝90°，
∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2＝CP•CM，
∵AC＝BC，∴2CB2＝CP•CM，所以③正确；
设BE与AC相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∵△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠BPC＝∠BAC＝45°，所以④正确，
故选：D．


10. （2020秋•郑州期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（　　）

A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】C
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．
故选：C．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．
11. （2020•周口商水期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于　　．

【答案】．
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．

12. （2020秋•孟津县期末）如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，在△APB、△APC、△APD、△ABC、△ABD、△ACD中写出一对相似三角形　　．

【答案】△ABC∽△DBA．
【分析】分别求出AB＝AP，AC＝AP，AD＝AP，由相似三角形的判定定理可求解．
解：∵∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，
∴AB＝AP，AC＝AP，AD＝AP，
∴＝，，∴，
又∵∠ABC＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA，故答案为：△ABC∽△DBA．

13. （2020秋•伊川县期中）如图，在△ABC中，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上，且BC∥DE．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　．（填序号）

【答案】①②③．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
解：∵BC∥DE，∴，，，故①②正确，④错误；
∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴；故③正确；故答案为：①②③．

14. （2020秋•濮阳市期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　　．

【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△CDP，即；当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．
解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即；解得x＝，BP＝14﹣＝8.4；
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，解得x1＝2，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．故答案为：8.4或2或12．

15. （2020春•济源期末）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于　　．
【答案】或﹣4．
【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论．
解：∵点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），∴中点G（，），
∵中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，
∴，解得：，，∴2a+b＝或﹣4；
故答案为：或﹣4．

三、解答题：本大题共8小题，合计75分．第16题8分,第17、18、19、20题每题9分，第21、22题每题10分，第23题11分
16. （2020秋•孟津县期末）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．

【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG＝AC＝4，GF＝CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA）．
∴AG＝AC＝8cm，
∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BG＝2cm．
答：EF的长为2cm．

17. （2020秋•镇平县期末）《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”请你计算：出南门多少步而见木（注：1里＝300步）？

【答案】315步．
【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
解：由题意得，AB＝15里，AC＝4.5里，CD＝3.5里，
∵DE⊥CD，AC⊥CD，
∴AC∥DE，
∴△ACB∽△DEC，
∴＝，即＝，
解得，DE＝1.05里＝315步，
答：走出南门315步恰好能望见这棵树，


18. （2020秋•叶县期中）（1）已知点P（2x+3，4x﹣7）的横坐标减纵坐标的差为6，求这个点到x轴、y轴的距离；
（2）已知点A（2x﹣3，6﹣x）到两坐标轴的距离相等，且在第二象限，求点A的坐标；
（3）已知线段AB平行于y轴，点A的坐标为（﹣2，3），且AB＝4，求点B的坐标．
【答案】（1）这个点到x轴的距离是1，到y轴的距离是7；
（2）A（﹣9，9）；
（3）B点坐标是（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）．
解：（1）根据题意得，（2x+3）﹣（4x﹣7）＝6，解得，x＝2，∴P（7，1），
∴这个点到x轴的距离是1，到y轴的距离是7；
（2）∵A（2x﹣3，6﹣x）在第二象限，∴2x﹣3＜0，6﹣x＞0，
根据题意得，﹣（2x﹣3）＝6﹣x，解得，x＝﹣3，∴A（﹣9，9）；
（3）∵线段AB平行于y轴，点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B点的横坐标是﹣2，又∵AB＝4，∴当B点在A点上方时，B点的纵坐标是3+4＝7，
当B点在A点下方时，B点的纵坐标是3﹣4＝﹣1，∴B点坐标是（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）．

19. （2020秋•平顶山期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画△A'B'C'，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；
（2）点P的坐标（1，3）．
解：（1）如图所示：点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；
（2）四边形AA'B'P是矩形，点P的坐标（1，3）．


20. （2020秋•荥阳市期中）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．

【分析】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．
（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．
解：（1）∵EF∥BD，∴＝＝，
∵FG∥AC，∴＝＝，
∵BG＝4，∴CG＝6．
（2）∵CD＝2，CG＝6，∴DG＝CG﹣CD＝4，
∵BG＝4，∴BD＝BG+DG＝8，
∵＝，∴＝，
∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴EF＝


21. （2020秋•卧龙区期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝　　°；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
（3）若＝，请求出的值．

【分析】（1）由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论；
（2）由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；
（3）设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF，AC由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论．
解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，故答案为：27．
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（3）∵＝，设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，∴＝，∴＝＝．

22. （2019•宽城区校级模拟）【探究】如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连结AD、DE，若∠ADE＝60°，BD＝3，求BE的长．
【拓展】如图②，在△ABD中，AB＝4，点E为边AB上的点，连结DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，若DB＝3，＝　　．

【分析】【探究】过点A作AF⊥BC于F，由等边三角形的性质得出BF＝CF＝BC＝2，由勾股定理求出AF＝＝2，则DF＝BD﹣BF＝1，由勾股定理求出AD＝＝，证得△ABD∽△ADE，得出＝，解得AE＝，即可得出结果；
【拓展】过点A作AF⊥BC于F，易证△ABF是等腰直角三角形，则AF＝BF＝AB＝2，DF＝DB﹣BF＝，由勾股定理求出AD＝＝，证得△ADE∽△ABD，得出＝，求出AE＝，BE＝AB﹣AE＝，则＝即可得出结果．
【探究】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝4，
过点A作AF⊥BC于F，如图①所示：
则BF＝CF＝BC＝2，AF＝＝＝2，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，
∴AD＝＝＝，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠BAD+∠AED＝120°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠B＝∠ADE＝60°，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
即：＝，
解得：AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝；
【拓展】解：过点A作AF⊥BC于F，如图②所示：
∵∠ABD＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝AB＝2，
∴DF＝DB﹣BF＝3﹣2＝，
∴AD＝＝＝，
∵∠ADE＝∠ABD＝45°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝，
∴AE＝＝＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝，
∴＝＝＝；
故答案为：．



23. （2020·达州）如图，在梯形中，，，，．为线段上的一动点，且和、不重合，连接，过点作交射线于点．
聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
B
D
P
A
C
E

（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点，得到不同位置时，、的长度的对应值：
当时，得表1：
















当时，得表2：




















这说明，点在线段上运动时，要保证点总在线段上，的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，______的长度为自变量，______的长度为因变量；
②设，当点在线段上运动时，点总在线段上，求的取值范围．
解析:（1）本题显然是“一线三等角”的证明，由同角的余角相等可得两个三角形中的一对角相等，结合两个90°的直角即可证明两三角形相似；（2）①由函数的定义即可解决；②由（1）中的相似即可得到m的取值范围.
答案:（1）∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=90°，
∵PE⊥PA，∠B=90°，∴∠APB＋∠EPC=90°，∠APB＋∠PAB=90°，∴∠PAB=∠EPC，
在△APB和△EPC中，∠PAB=∠EPC，∠B=∠C=90°，∴△APB∽△EPC.
（2）①BP；CE；
②∵△APB∽△EPC，∴，
∵CD=2，∴CE的最大值为2，，即BP·CP=12，
由表格可知：当BP=2时，CE=2，此时CP=6，BC=BP＋CP=8，
∴BC的最大值为8，即0＜m＜8.