陕西省西安市灞桥区西安铁一中滨河学校2022--2023学年九年级上学期开学考数学试卷（Word版含答案）

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2022-2023学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列结论中，正确的是（　　）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若ab＜0，则a＞0，b＜0
C．若a＞0，b＜0，则ab＜0 D．若＞1，则a＞b
3．（3分）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．a2b﹣2ab+b＝b（a2﹣2a） B．﹣9+m2＝（﹣3+m）（3﹣m）
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2
5．（3分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
6．（3分）太阳发出的光照在物体上是（　　），路灯发出的光照在物体上是（　　）
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
7．（3分）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠﹣1
C．且k≠0 D．
8．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）因式分解4ab2+2a2b＝　 　．
12．（3分）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为　 　．
13．（3分）已知：m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）＝　 　．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝4，AC＝6，BD＝10，则AE的长为 　 　．

15．（3分）若＝＝＝k，则k＝　 　．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，点E是线段AB上的动点，连接CE，并将线段CE绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD，则BD的最小值为 　 　．

三.解答题（共7小题，共72分）
17．（10分）用适当的方法解下列方程．
（1）3x（x+3）＝2（x+3）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
18．（20分）计算：
①解一元一次不等式组：；
②解方程：﹣＝1．
③先化简，再求值：，其中x＝﹣1+．
19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB≠BC，求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

20．（7分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　 　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．

22．（9分）金都百货某小家电经销商销售一种每个成本为40元的台灯，当每个台灯的售价定为60元时，每周可卖出100个，经市场调查发现，该台灯的售价每降低2元．其每周的销量可增加20个．
（1）台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为 　 　个．
（2）如果该经销商每周要获得利润2240元，那么这种台灯的售价应降价多少元？
（3）在（2）的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
23．（12分）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 　 　．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．


2022-2023学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列结论中，正确的是（　　）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若ab＜0，则a＞0，b＜0
C．若a＞0，b＜0，则ab＜0 D．若＞1，则a＞b
【分析】根据不等式的基本性质判断A，D选项；根据有理数的乘法法则判断B，C选项．
【解答】解：A选项，当c＜0时不成立，故该选项不符合题意；
B选项，也可能是a＜0，b＞0，故该选项不符合题意；
C选项，若a＞0，b＜0，则ab＜0，故该选项符合题意；
D选项，当b＜0时不成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
3．（3分）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【解答】解：A、为正比例函数，故此选项不符合题意；
B、y与x+1成反比例，故此选项不符合题意；
C、符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
D、不符合反比例函数的一般式y＝（k≠0），故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式y＝（k≠0）是解题的关键．
4．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．a2b﹣2ab+b＝b（a2﹣2a） B．﹣9+m2＝（﹣3+m）（3﹣m）
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2
【分析】利用整式乘法和因式分解的关系，逐个计算得结论．
【解答】解：A．b（a2﹣2a）＝a2b﹣2ab≠a2b﹣2ab+b，故选项A不合题意；
B．（﹣3+m）（3﹣m）＝﹣9+6m﹣m2≠﹣9+m2，故选项B不合题意；
C．（x+4y）（x﹣4y）＝x2﹣16y2≠x2﹣4y2，故选项C不合题意；
D．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握整式乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．
5．（3分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项A，C根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项D根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．（3分）太阳发出的光照在物体上是（　　），路灯发出的光照在物体上是（　　）
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
【分析】根据平行投影与中心投影的定义判断即可．
【解答】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选：A．
【点评】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型．
7．（3分）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠﹣1
C．且k≠0 D．
【分析】先将分式方程化简，再求解，最后根据解为负数求得k的取值范围．
【解答】解：，
去分母得：
k（x﹣1）+（x+k）（x+1）＝（x﹣1）（x+1），
去括号得：
kx﹣k+x2+x+kx+k＝x2﹣1，
移项，合并同类项得：
（2k+1）x＝﹣1，
∴，
∴，
∴，
又分式方程有可能产生增根﹣1，
∴﹣≠﹣1，
∴k≠0．
综上，k的取值范围是k＞﹣且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的求解，将分式方程化简后再求解并且考虑方程有可能产生增根﹣1是解本题的关键．
8．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集情况得出关于m的不等式，解之即可．
【解答】解：由≤m，得：x≤3m+2，
解不等式x﹣12＞3﹣2x，得：x＞5，
∵不等式组无解，
∴3m+2≤5，
解得m≤1，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【分析】分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理对四个小题进行逐一判断即可．
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，故②正确；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，
∴若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故①正确；
②利用已知条件可以推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
③根据②的结论可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正确；
④当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误．
【解答】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
②∵矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
③根据②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正确；
④当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③正确．
故选：B．


【点评】本题属于中考选择题的压轴题，主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）因式分解4ab2+2a2b＝　2ab（2b+a）　．
【分析】直接提取公因式2ab，进而分解因式即可．
【解答】解：4ab2+2a2b＝2ab（2b+a）．
故答案为：2ab（2b+a）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（3分）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为　6　．
【分析】设反比例函数解析式为y＝，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝3×（﹣4）＝﹣2m，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，
根据题意得k＝3×（﹣4）＝﹣2m，
解得m＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（3分）已知：m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）＝　0　．
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣2，再利用完全平方公式变形得到（m2﹣1）（n2﹣1）＝m2n2﹣（m+n）2+2mn+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得m+n＝1，mn＝﹣2，
所以（m2﹣1）（n2﹣1）
＝m2n2﹣m2﹣n2+1
＝m2n2﹣（m+n）2+2mn+1
＝（﹣2）2﹣12+2×（﹣2）+1
＝4﹣1﹣4+1
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝4，AC＝6，BD＝10，则AE的长为 　　．

【分析】首先由勾股定理的逆定理判定△BAO是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求出AE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝10，
∴AO＝AC＝3，BO＝BD＝5，
∵AB＝4，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝＝2，S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×4×6＝×2×AE，
∴AE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
15．（3分）若＝＝＝k，则k＝　﹣1或2　．
【分析】用k表示出a+b，b+c，c+a，然后相加求解即可．
【解答】解：∵＝＝＝k，
∴a+b＝kc，b+c＝ka，c+a＝kb，
∴2（a+b+c）＝k（a+b+c），
∴（a+b+c）（2﹣k）＝0，
∴a+b+c＝0或2﹣k＝0，
当a+b+c＝0时，k＝＝＝﹣1，
当2﹣k＝0时，k＝2，
所以，k＝﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键，易错点在于忽视a+b+c＝0的情况．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，点E是线段AB上的动点，连接CE，并将线段CE绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD，则BD的最小值为 　　．

【分析】由“SAS”可证△BCD≌△HCE，可得BD＝EH，由面积法可求解．
【解答】解：如图，在AC上截取CH＝BC，连接BH，EH，

∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°至CD，
∴EC＝CD，∠ECD＝90°＝∠BCH，
∴∠BCD＝∠ECH，
在△BCD和△HCE中，
，
∴△BCD≌△HCE（SAS），
∴BD＝EH，
则当EH⊥AB时，EH有最小值，即BD有最小值，
此时，S△ABC＝×3×4＝×3×3+×5×EH，
∴EH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三.解答题（共7小题，共72分）
17．（10分）用适当的方法解下列方程．
（1）3x（x+3）＝2（x+3）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】（1）移项后提取公因式x+3，转化为两个一元一次方程，解之可得；
（2）利用求根公式列式计算可得．
【解答】解：（1）∵3x（x+3）＝2（x+3），
∴（x+3）（3x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝；

（2）∵2x2﹣4x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝40＞0，
∴x＝＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（20分）计算：
①解一元一次不等式组：；
②解方程：﹣＝1．
③先化简，再求值：，其中x＝﹣1+．
【分析】①分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
②分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
③先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：①由2x+3＞5（x﹣3），得：x＜6，
由﹣≤1，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜6；
②去分母得：x2﹣2x+1﹣x＝x2﹣x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x（x﹣1）≠0，
所以原方程的根是x＝；
③
＝（）•
＝，
当x＝﹣1+时，原式＝＝﹣2﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，分式的化简求值，熟知运算法则是解答此题的关键．
19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB≠BC，求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【分析】过点A作AO⊥BC于O，在AO的延长线上截取OD，使得OD＝AO，连接BD，CD，四边形ABDC即为所求作．
【解答】解：如图，四边形ABDC即为所求作．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（7分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．

【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识；正确的识别图形是解题的关键．
22．（9分）金都百货某小家电经销商销售一种每个成本为40元的台灯，当每个台灯的售价定为60元时，每周可卖出100个，经市场调查发现，该台灯的售价每降低2元．其每周的销量可增加20个．
（1）台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为 　140　个．
（2）如果该经销商每周要获得利润2240元，那么这种台灯的售价应降价多少元？
（3）在（2）的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）利用平均每周的销售量＝100+×20，即可求出结论；
（2）设这种台灯的售价应降价x元，则每个的销售利润为（60﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+×20）个，根据该经销商每周要获得利润2240元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）由尽可能让利于顾客，赢得市场，可得出每个台灯应降价6元，再利用折扣率＝×100%，即可求出结论．
【解答】解：（1）100+×20
＝100+40
＝140（个），
∴台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为140个．
故答案为：140．
（2）设这种台灯的售价应降价x元，则每个的销售利润为（60﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+×20）个，
依题意得：（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
答：这种台灯的售价应降价4元或6元．
（3）∵尽可能让利于顾客，赢得市场，
∴x＝4舍去，
∴每个台灯应降价6元，售价为60﹣6＝54（元），折扣率为×100%＝90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（12分）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 　12　．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．

【分析】（1）由旋转的性质可得BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，证出∠EAM＝90°，得出∠MAN＝∠EAN，可证△AMN≌△EAN，得出MN＝EN．证出MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，由勾股定理得出MN＝10，则BN+DM＝10，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，得出方程x﹣6+x﹣8＝10，解方程即可；
（2）将△AFD绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，连接EH，由旋转的性质可得∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，由“SAS”可证△EAH≌△EAF，可得HE＝EF，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，由勾股定理可求解；
（3）延长AB至P，使BP＝BN＝2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，得出PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝8，设DM＝x，则MQ＝8﹣x，由平行线得出△ABN∽△APE，求出PE＝BN＝，得出EQ＝PQ﹣PE＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，
，
∴△AMN≌△EAN（SAS），
∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN＝＝＝10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，
解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；

（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连接EH，

∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，
∴∠HAE＝45°＝∠EAF，
又∵AH＝AF，AE＝AE，
∴△EAH≌△EAF（SAS），
∴HE＝EF，
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴DN∥BM，
∴∠AND＝∠ABM，
∵∠ADN+∠AND＝90°，
∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，
∴BE2+BH2＝HE2，
∴EF2＝BE2+DF2；

（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，

则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝8﹣x，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝8﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（8﹣x）2＝（+x）2，
解得：x＝4，
即DM的长是4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．