2022-2023学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）开学数学试卷 (1)

这是一份2022-2023学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）开学数学试卷 (1)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
2．如图，胶带的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（　　）
A．不能够确定谁的影子长
B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长
D．小刚的影子比小红的影子长
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣abx+a+b＝0，其中a，b数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
5．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　）

A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2
6．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（　　）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
8．一元二次方程x2+px+q＝0的两个根为p，q，则p+q等于（　　）
A．0 B．1 C．0或﹣2 D．0或﹣1
9．如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（　　）

A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.2
二、填空题
10．顺次连接矩形的四边中点所得图形是　 　．
11．为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光下，已知2米长的竹竿投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为　 　米．
12．如图，是一个几何体从三个不同方向看到的平面图形，则这个几何体的侧面积是　 　（结果保留π）．
13．将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．
14．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　 　队参加比赛．
15．如图，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 　 　．

三、解答题
16．（1）解不等式组：；
（2）因式分解：a3﹣2a2+a．
17．解方程：
（1）＝1；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC右侧平面上求作一点M．使得四边形ABMC是菱形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

19．先化简，再求值：﹣x﹣1，其中x＝2．
20．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这四张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．

（1）从中随机取出一张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是　 　；
（2）若从四张卡片中随机拿出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片都是轴对称图形的概率．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝15，OG＝6，∠ABD＝45°，求AB的长．

22．问题发现：
（1）如图①，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上一点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为 　 　．
问题探究：
（2）如图②，线段BQ＝20，C为BQ上一点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD＝CD，连接DQ，则DQ的最小值为 　 　．
问题解读：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山情物园，图③为青山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝800米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便于观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．



2022-2023学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），
故选：A．
2．如图，胶带的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看去，是一个矩形，矩形里面有两条横向的虚线．
故选：B．
3．在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（　　）
A．不能够确定谁的影子长
B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长
D．小刚的影子比小红的影子长
【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，
所以无法判断谁的影子长．
故选：A．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣abx+a+b＝0，其中a，b数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【解答】解：由数轴得b＞0，a＜0，a+b＜0，
∴﹣4（a+b）＜0，（﹣ab）2＞0，
∴Δ＝（﹣ab）2﹣4（a+b）＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　）

A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2
【解答】解：假设不规则图案面积为xm2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得x＝7．
故选：B．
6．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（　　）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x2＝363
C．3（1+x）2＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝363
【解答】解：每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，列方程得：3（1+x）²＝363，
故选：C．
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．

8．一元二次方程x2+px+q＝0的两个根为p，q，则p+q等于（　　）
A．0 B．1 C．0或﹣2 D．0或﹣1
【解答】解：根据根与系数的关系得，p+q＝﹣p，pq＝q，
解得p＝1，q＝﹣2或p＝q＝0，
所以p+q＝﹣1或p+q＝0．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（　　）

A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.2
【解答】解：连接PA，如图所示：
∵AC＝3、AB＝4、BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，
∴∠PGA＝∠PHA＝90°，
∴四边形AGPH为矩形，
∴AP与GH互相平分且相等，
∵M是GH的中点，
∴M是AP的中点，
当AP⊥BC时，AP最小，
此时，△ABC的面积BC×AP＝AC×AB，
则AP＝＝＝2.4，
∴PM＝AP＝1.2，
即PM的最小值为1.2，
故选：D．

二、填空题
10．顺次连接矩形的四边中点所得图形是　菱形　．
【解答】解：在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB，
∴EH＝BD，
同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：菱形．

11．为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光下，已知2米长的竹竿投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为　40　米．
【解答】解：∵＝，
∴水塔的高度＝×水塔的影长＝×30＝40（m）．
故答案为：40米．
12．如图，是一个几何体从三个不同方向看到的平面图形，则这个几何体的侧面积是　8πcm2　（结果保留π）．
【解答】解：该几何体是圆柱．
其侧面积为：π×2×4＝8π（cm2）．
答：这个几何体的侧面积是8πcm2．
故答案为：8πcm2．
13．将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　（5，1）或（﹣1，5）　．
【解答】解：把EO绕E点顺时针（或逆时针）旋转90°得到对应点为F（或F′），如图，
则F点的坐标为（5，1）（或F′的坐标为（﹣1，5）．

故答案为（5，1）或（﹣1，5）．
14．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　10　队参加比赛．
【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
整理，得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
15．如图，点A，B的坐标分别为A（6，0），B（0，6），C为坐标平面内一点，BC＝2，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 　4　．

【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝6，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6，
∴CD＝6+2＝8，
∴OM＝CD＝4，即OM的最大值为4．
故答案为：4．
三、解答题
16．（1）解不等式组：；
（2）因式分解：a3﹣2a2+a．
【解答】解：（1），
由①得：x＜6，
由②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜6；
（2）原式＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
17．解方程：
（1）＝1；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【解答】解：（1）＝1，
2x（x﹣1）﹣x（x+2）＝（x+2）（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+2）（x﹣1）≠0，
∴x＝是原方程的根；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），
2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣9）＝0，
x﹣3＝0或x﹣9＝0，
x1＝3，x2＝9．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC右侧平面上求作一点M．使得四边形ABMC是菱形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：如图，四边形ABMC即为所求．

19．先化简，再求值：﹣x﹣1，其中x＝2．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝，
当x＝2时，原式＝＝1．
20．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这四张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．

（1）从中随机取出一张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是　　；
（2）若从四张卡片中随机拿出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片都是轴对称图形的概率．
【解答】解：（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为；
故答案为：；

（2）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，
则抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率为＝．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝15，OG＝6，∠ABD＝45°，求AB的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵点E为BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ODG＝∠ABD＝45°，
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴∠OGD＝90°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴OD＝OG＝6，
∴BD＝2OD＝12，
如图，过D作DM⊥AB于M，
则△BDM是等腰直角三角形，
∴DM＝BM＝BD＝12，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝＝＝9，
∴AB＝AM+BM＝9+12＝21，
即AB的长为21．

22．问题发现：
（1）如图①，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上一点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为 　1　．
问题探究：
（2）如图②，线段BQ＝20，C为BQ上一点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD＝CD，连接DQ，则DQ的最小值为 　10　．
问题解读：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山情物园，图③为青山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝800米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便于观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．


【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC，
∴∠EOB＝∠FOC，
∴△EOB≌△FOC（SAS），
∴S△EOB＝S△OFC，
∴S四边形OEBF＝S△OBC＝•S正方形ABCD＝1．
故答案为：1；

（2）如图2中，连接BD，AC，取AC的中点O，连接OB，OD．

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AO＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DBC＝∠DAC，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠DBQ＝45°，
（补充方法：过点D作DM⊥BQ于M，DN⊥AB于N，证明△CDM≌△ADN，推出DM＝DN，推出∠ABD＝∠CBD＝45°）
根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝BQ＝10．
故答案为：10；

（3）如图3中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BCD+∠BAD＝∠EAD+∠BAD＝180°，
∴B，A，E三点共线，
∵DE＝DB，∠EDB＝90°，
∴BE＝BD，
∴AB+BC＝AB+AE＝BE＝BD，
∴AB+BC+BD＝（+1）BD，
∴当BD最大时，AB+BC+BD的值最大，
取AC的中点O，连接OB，OD．
∵OB＝OD＝AC＝400（米），
∴BD≤OB+OD，即BD≤800（米）
∴B，O，D共线时，AB+BC+BD的值最大，最大值＝800（+1）米．
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