2020年天津市南开区学业水平考试（6月份）数学试题含解析

这是一份2020年天津市南开区学业水平考试（6月份）数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年天津市南开区学业水平考试（6月份）数学试题  一、单选题1．设全集I＝{0，1，2，3}，∁IM＝{0，2}，则M＝（    ）A．{3} B．{1，3} C．{2，3} D．∅【答案】B【解析】根据补集的概念，可得集合M【详解】由题可知：全集I＝{0，1，2，3}，∁IM＝{0，2}所以M={1，3}故选：B【点睛】本题考查补集的运算，属基础题.2．函数，的最小正周期是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用三角函数的周期公式即可得到答案.【详解】函数，.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，熟记公式为解题的关键，属于简单题.3．函数f（x）＝ln（﹣x）的定义域是（    ）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）【答案】B【解析】根据对数的真数部分大于0，简单计算可得结果.【详解】由题可知：所以函数的定义域为故选：B【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求法，考查计算，属基础题.4．已知，，则＝（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用向量的坐标运算即可得到答案.【详解】.故选：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属于简单题.5．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（    ）A． B．  C．  D． 【答案】D【解析】直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解.【详解】解：对于A选项，的定义域为，为非奇非偶函数，故A错误；对于B选项，为偶函数，在为减函数，不满足条件．故B错误；对于C选项，为非奇非偶函数，故C错误；对于D选项，满足 ，为偶函数，且当时，单调递增．故D正确.故选：D．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.6．过点且垂直于直线的直线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题，可先得到所求直线的斜率，然后利用点斜式，即可得到本题答案.【详解】因为所求直线垂直于直线，又直线的斜率为，所以所求直线的斜率，所以直线方程为，即.故选：A【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属基础题.7．体积为a3的正方体外接球的表面积为（    ）A．πa2 B．2πa2 C．3πa2 D．4πa2【答案】C【解析】根据正方体的体积可知正方体的边长为，然后可知该正方体的外接球的半径，最后根据球的表面积的公式可得结果.【详解】由题可知：正方体的体积为，所以正方体的边长为则可知该正方体的外接球的半径为所以该正方体的外接球的表面积为故选：C【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积，掌握正方体的外接球的半径为，属基础题.8．已知向量=（1，2），=（–2，m），若∥，则m=A．–1 B．–4 C．4 D．1【答案】B【解析】【详解】∵∥，∴1•m–（–2）×2=0，∴m=–4．故选B．9．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则这个数在区间的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据几何概型的长度型直接计算可得结果.【详解】由题可知：所求概率为故选：D【点睛】本题考查几何概型的长度型，属基础题.10．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则 （    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用向量的线性运算可得的表示形式.【详解】，故选：A．【点睛】本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.11．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.12．已知，，，则的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据指数函数，幂函数，和对数的单调性，即可得出结论.【详解】，.故选:.【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题.13．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率满足：第一小组与第三小组的频率和是第二小组频率的2倍，第二小组的频数为15，则抽取的学生人数为（    ）A．30 B．45 C．60 D．120【答案】C【解析】首先设第二小组的频率为，根据题意得到，从而得到，再求抽取的学生人数即可.【详解】设第二小组的频率为 ，由题知：，解得.所以抽取的学生人数为.故选：C【点睛】本题主要考查频率分布直方图，考查学生分析问题的能力，属于简单题.14．在中，,则=（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】解：因为由正弦定理，所以又ｃ＜ａ所以，所以15．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：x
 0
 1
 2
 3
 4
 y
 2.2
 4.3
 4.5
 4.8
 6.7
   且回归方程是=0.95x+ ，则当x=6时，y的预测值为（ ）A．8.0 B．8.1 C．8.2 D．8.3【答案】D【解析】【详解】 解：因为根据数据可知x,y的均值分别是2,4.5,因此可知=4.5-0.952=2.6,将x=6代入表达式得到y的预测值为8.3，选D  二、填空题16．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是_____．【答案】；【解析】首先列出先后抛掷三枚均匀的硬币的全部基本事件，找到至少出现一次正面的基本事件，再利用古典概型公式计算即可.【详解】先后抛掷三枚均匀的硬币，共有：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反，基本事件.至少出现一次正面共有：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，基本事件.故至少出现一次正面的概率是.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型，用列举法把全部基本事件列举出来为解题的关键，属于简单题.17． _____．【答案】【解析】利用即可得到答案.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.18．在中，已知，则BC的长为__________．【答案】【解析】根据条件，结合余弦定理即可求解.【详解】在中，已知，则由余弦定理可得，故答案为：【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.19．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于的不等式，解不等式即可得答案.【详解】∵与的夹角为锐角，∴，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.20．函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】先判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果.【详解】因为函数是单调递增函数，且函数的一个零点在区间内，所以，，解得,实数的取值范围是,故答案为.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、零点存在定理，意在考查对基本定理的理解与应用，属于简单题. 三、解答题21．已知，．（1）求，的值；（2）求的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先利用同角三角函数关系求出，从而得到，再利用正弦二倍角公式计算即可.（2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案.【详解】（1）因为，，所以，所以，.（2）.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题.22．已知点在圆C：上．（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．【答案】（Ⅰ）圆心，半径；（Ⅱ）弦长【解析】（Ⅰ）将点代入圆方程可得，然后将圆方程转化为标准方程形式可得结果.（Ⅱ）根据点斜式可得直线方程，然后计算圆心到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可知：所以圆的标准方程为所以圆心，半径（Ⅱ）直线的方程为，即则圆心到直线的距离为所以弦长【点睛】本题考查圆的方程以及圆的弦长公式，掌握公式，特别识记圆的弦长公式，便于计算，属基础题.23．如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，（Ⅰ）求证：平面BEG∥平面ACH；（Ⅱ）求证：DF⊥平面BEG．【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）证明见详解.【解析】（Ⅰ）根据正方体的特点可知//，可知//平面，同理可得//平面，然后根据面面平行的判定定理可得结果.（Ⅱ）连接，根据平面，可知，同理可得，最后根据线面垂直的判定定理，可得结果.【详解】（Ⅰ）在正方体ABCD﹣EFGH中，//且所以四边形为平行四边形，则//又平面，平面，所以//平面同理可得//平面，又平面所以平面//平面（Ⅱ）连接，如图由四边形为正方形，所以又平面，且平面所以，又，平面所以平面，由平面所以同理可得，又，平面所以平面【点睛】本题考查面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，熟练掌握线线、线面、面面之间的位置关系以及相关定理，属中档题.24．已知函数．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的最小值；（Ⅲ）关于x的方程f（x）＝2a2有解，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）把代入式子，计算二次函数的对称轴，简单判断可得结果.（Ⅱ）按，，进行分类讨论，判断函数在区间的单调性，然后进行计算，可得结果.（Ⅲ）依题意化简可得有解，利用，简单计算可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可知：，对称轴为，开口向上所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为（Ⅱ）由题可知：，，对称轴为，开口向上当时，函数在单调递增，所以当时，函数在单调递减，在单调递增所以当时，函数在单调递减，所以则函数在区间的最小值为（Ⅲ）由，则由关于的方程有解，则有解所以或则【点睛】本题考查二次函数的综合应用，考查了经典的动轴定区间的问题，牢牢掌握动轴定区间、定轴动区间、动轴动区间三种模型以及分类讨论思想的使用，属中档题.