2021-2022学年上海市青浦区复旦五浦汇实验学校八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年上海市青浦区复旦五浦汇实验学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共6小题，共18分）

1. 函数的图象经过(    )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 二、三、四象限 D. 第一、三、四象限

2. 下列关于的方程一定有实数解的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果用表示事件“若，则”，用表示“事件发生的概率”，那么下列结论中正
   确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在梯形中，，，，那么下列结论中正确的是(    )

A. 与是相等向量 B.
C. 与是相反向量 D. 与是平行向量

6. 下列命题中，真命题的个数有(    )
   有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形；
   每条直线有个黄金分割点；
   、分别在的边、上，若，则；
   如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
   三角形的重心一定在三角形内部．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共12小题，共36分）

7. 若：：，则______．
8. 方程的解为______．
9. 函数中，自变量的取值范围是______．
10. 一次函数，若函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是______．
11. 掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是、、、、、、、、、和，共种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为”的概率是______．
12. 如图，直线，另两条直线交于点，且分别交三条平行线于点、、及点、、，且，，，，则______．

13. 已知梯形，，，，当时，对角线______．
14. 已知：如图，在中，，，，点位于边上，过点作边的平行线交边于点，过点作边的平行线交边于点，设，四边形的面积为，则关于的函数关系式是______不必写定义域
15. 如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：；；；，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______填序号

16. 两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为______．

17. 如图，在等腰直角中，，，将沿某直线翻折，使得点落在的中点上，如果折痕与的交点为，那么的长为______．

18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在轴上，点在轴上，将绕着顶点旋转后，点的对应点落在轴上，点的对应点落在反比例函数在第一象限的图象上．如果点、的坐标分别是、，那么点的坐标是______．

三、解答题（本题共7小题，共56分）

19. 解方程：．
20. 解方程组．
21. 如图，已知在梯形中，，点在边上，联结，．
    填空：______；______；
    化简并求作：______不要求写作法，但要写出结论

22. 某款轿车每行驶千米的耗油量升与其行驶速度千米小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为千米小时时该轿车每行驶千米的耗油量是升．
    求线段的表达式；
    如果从甲地到乙地全程为千米，其中有千米限速千米小时的省道和千米限速千米小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少升？

23. 如图，在正方形中，点在延长线上，点为上一点，联结交于点，，延长线交延长线于点．
    证明：四边形是等腰梯形；
    若点是的黄金分割点，且，证明：．

24. 如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点．
    求直线的解析式；
    点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标；
    当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标．
     

25. 如图，四边形中，，是边的中点．已知，．
    联结，求证；
    如图，当时，求的度数；
    当为直角三角形时，求边的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，，
所以该函数的图象经过一、二、四象限．
故选：．
根据一次函数图象的性质分析即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，一定有实数解；
B.，当时，无解；
C.，当或时无解；
D.，当时，无解；
故选A．
根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可．
本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有关知识点进行判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：设，
分式方程可化为，
化为整式方程：，
故选：．
由，原方程可化为，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：若，根据不等式的基本性质知成立，
说明是随机事件，所以．
事件是必然事件，
，
故选：．
根据不等式的基本性质知事件是必然事件，由概率的意义可得答案．
此题考查的是概率的意义，必然事件发生的概率为，即必然事件；不可能事件发生的概率为，即不可能事件；如果为不确定事件，那么关键是确定事件的类型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，但不平行于，在与是不相等的向量，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、与方向相反，但，则与不是相反向量，故本选项不符合题意；
D、由知，与是平行向量，故本选项符合题意．
故选：．
根据等腰梯形的性质，即可得，然后根据相等向量与相反向量，以及平行向量的定义，即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，解题的关键是熟记相等向量与相反向量，以及平行向量的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，例如，当两腰分别是一条对角线与四边形的一条边时结论不成立，所以原命题是假命题；
每条线段有个黄金分割点，直线不能度量长度，所以原命题是假命题；
、分别在的边、上，若，，那么不能证明，所以原命题是假命题；
如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，真命题；
三角形的重心一定在三角形形内部，真命题．
故选：．
根据菱形的判定定理判断；根据黄金分割的定义判断；根据相似三角形的判定与性质，平行线的判定定理判断；根据平行线分线段成比例定理的推论判断；根据三角形重心的定义判断．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：：：，
设，，
．
故答案为：．
根据比例设，，然后代入比例式计算即可得解．
本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设法”求解更加简便．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程，
两边平方、整理得，，
解得，，，
经检验为增根，舍去，
方程的解为．
故答案为．
根据无理方程的解法，首先，两边平方解出的值，然后验根，解答即可．
本题考查了无理方程的解法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
 

9.【答案】且 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
故答案为：且．
根据二次根式，以及分母不为，可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，以及分母不为是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
若函数值随的增大而减小，则据题意得：
，
解得：．
故答案为：．
根据一次函数的性质分析即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，列表如下所示，

通过列表可得，共有种等可能的情况，其中掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为的情况共有种，
“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为”的概率为．
故答案为：．
利用列表法把所有等可能的情况都列举出来，找出掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为的情况，利用概率公式计算即可．
本题考查了列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是利用列表法把所有等可能的情况列举出来．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，即，
解得：，
，
，
，即，
解得：，
，
，
故答案为：．
先根据平行线分线段成比例定理求出，进而求出，再求出，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于，
在中，，
则，
，
，，
，
故答案为：．
过点作于，根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
在中，，，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∽，
，
，
，
矩形的面积，
，
故答案为：．
根据已知可证四边形是平行四边形，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得四边形是矩形，再证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可得，最后根据矩形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，函数关系式，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
，
新的四边形成为矩形，符合条件；
四边形是平行四边形，
，．
，
．
根据等腰三角形的性质可知，
，
新的四边形成为矩形，符合条件；
四边形是平行四边形，
．
，
．
．
，
四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
，，
，即平行四边形的对角线互相垂直，
新四边形是矩形，符合条件．
所以符合条件．
故答案为：．
根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，与交于点，设点为的重心，点为的重心，如图，

四边形为菱形，
，，．
．
点为的重心，点为的重心，
，．
与的“重心距”为：．
故答案为：．
连接，与交于点，设点为的重心，点为的重心，利用菱形的性质和勾股定理求得，的长，利用三角形的重心的性质求得，的长，再利用“重心距”的定义解答即可．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的重心的性质，利用菱形的性质和勾股定理求得，的长是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，折到的中点处，折痕为，作，连接，

是翻折而成，
≌，，
是等腰直角三角形，
，由三角形外角性质得，
，
，
，，
设，
，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
作，先根据翻折变换的性质得到≌，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到，设，则，根据勾股定理求出，可知，在和分别求出、，然后根据勾股定理即可得到结论．
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质以及锐角三角函数的综合运用，涉及面较广，但难易适中．
 

18.【答案】 

【解析】解：设与轴的交点为，由题意可知，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
直线的解析式为，
由解得或，
点的坐标是，
故答案为：．
根据题意求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标．
本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点，求得直线的解析式是解题的关键．
 

19.【答案】解：方程两边同乘以得：
，
整理得：，
则，
，
解得：，，
检验：当时，，
故是方程的增根，
当时，，
故是原方程的根． 

【解析】直接去分母进而解分式方程，再检验得出答案．
此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题方法是解题关键．
 

20.【答案】解：，
由，得，
．
或．
或．
把代入，得，
．
或．
或．
，；
把代入，得，
即．
．
．
．
．
所以原方程组的解为：，． 

【解析】变形组中的方程，用含的代数式表示出，代入组中的方程，解一元二次方程得到方程组的解．
本题考查了高次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：；；
故答案为：，；

．
图形如图所示：

故答案为：．
利用三角形法则求解即可；
利用三角形法则求解即可．
本题考查作图复杂作图，梯形，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：当时，，即，
令的表达式为，
则，
解得，
所以表达式为；
当时，，
则当在省道上行驶速度为千米小时，在高速公路上行驶速度为千米小时时，耗油最少，
升．
答：这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油升． 

【解析】根据线段的表达式求出点的坐标，利用待定系数法即可求解；
根据题意当在省道上行驶速度为千米小时，在高速公路上行驶速度为千米小时时，耗油最少，根据线段的表达式求出省道的耗油量加上在高速公路行驶的耗油量即可求解．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
 

23.【答案】证明：在正方形中，，，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，且，
四边形是等腰梯形；
在正方形中，，，
，
，
∽，
：：，
是的黄金分割点，且，
：：，
，
，
：：，
，
． 

【解析】根据正方形的性质可得四边形是平行四边形，进一步可得，根据平行四边形的性质可得，且，即可得证；
根据正方形的性质易得∽，根据相似三角形的性质以及黄金分割比可得，进一步即可得证．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：，点，
，
，
，
，
点在轴负半轴上，
，
设直线的解析式是，
，
解得，
直线的解析式为；
当是正方形的边时，对应的正方形为，
，，，
，
；
当是正方形的对角线时，对应的矩形为，
、是正方形对角线，
线段和线段互相垂直平分，
点、的横坐标为，
，
，
综上所述：点的坐标为或；
设，
当时，，
，
，
；
当时，，
此时，
是等腰三角形，
过点作交于，过点作轴交于，
，
，
是等腰直角三角形，
是的中点，
，
，
是的中点，
；
综上所述：点坐标为或 

【解析】根据，求出点的坐标，利用待定系数法，求出直线的解析式即可．
分是正方形的边、是正方形的对角线两种情况，利用正方形性质即可求解．
当时，，利用两点间距离可求点坐标；当时，，此时，过点作交于，过点作轴交于，由是等腰直角三角形，求出，再由是的中点，求出的另一个点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角的判定与性质，等腰三角形的性质，数形结合解题是关键．
 

25.【答案】证明：如图，

连接并延长交的延长线于，
，
，
，
，，
点是的中点，
，
≌，
，
，
，
；

，，
，
点是的中点，，
，
，
，
，
，
由知，，
，
，
，
；

是直角三角形，
当时，如图，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；

当时，如图，

，
，
，
∽，
，
，
设，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
，
舍去负值，
即的长为或． 

【解析】连接并延长交的延长线于，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出结论；
先判断出，得出，再判断出，即可求出答案；
分两种情况当时，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出答案；
当时，判断出∽，得出，设，根据勾股定理得，，，即可求出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．