2021-2022学年陕西省安康市汉滨区农村初中九年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省安康市汉滨区农村初中九年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共7小题，共21分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知正比例函数的图象如图所示，则下列各点在该函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将一副三角板按如图所示摆放，将，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在矩形中，平分交于点，连接若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

8. 分解因式：______．
9. 若一个多边形的内角和为，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是______．
10. 如图，在菱形中，，点在边上，连接交的延长线于点，若，则的长为______．

11. 已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为______．
12. 如图，正方形的边长为，点是边的中点，点，分别是边，上的动点均不与顶点重合，则四边形周长的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

13. 计算：

四、解答题（本大题共12小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    解不等式组：．
15. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
    如图，已知等边，是边上的高，请用尺规作图法，在上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法

17. 本小题分
    如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：．

18. 本小题分
    某校新学期准备添置一批课桌椅，原计划订购套，每套元，店方提示：如果多购，可以优惠，结果该校实际订购了套，每套减价元，但商店获得了同样多的利润，求每套课桌椅的成本价．
19. 本小题分
    一张圆桌旁设有个座位，甲、乙两人各随机选择一个座位．
    若甲先选择，则甲坐号座位的概率是______；
    请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人相邻而坐的概率．

20. 本小题分
    小颖和小琴想用所学知识测量一个路灯的高度，首先，小颖在地面上平放一个小平面镜，并在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，平面镜不动，然后小琴看着镜面上的标记沿直线来回走动，当她走到点处时，恰好在镜子中看到路灯顶端的像与镜面上的标记重合，此时，小颖测得，小琴眼睛到地面的距离，接着，小颖在距离点处的点处测得，已知，，点，，，在同一水平直线上，请你根据以上信息，求出路灯的高度．
     

21. 本小题分
    从地面到高空，气温随离地面高度的变化而变化，当到达一定高度后，气温几乎不再变化，如图是气温与离地面高度之间的函数图象．
    求与之间的函数关系式；
    若离地面不同高度的两处气温差为，求出这两处中较低处离地面高度的取值范围．

22. 本小题分
    某校曾在庆祝党的百年华诞时，组织学生学习了中国共产党的百年奋斗史，为了了解学生的学习情况组织了一次“知史爱党，知史爱国”的知识竞赛，并从各年级随机抽取了部分学生的测试成绩进行分析整理，绘制成如下统计图表．
    “知史爱党，知史爱国”的知识竞赛成绩统计图表

根据以上统计信息，解答下列问题：
直接写出：______，______，并补全频数分布直方图；
所抽取学生测试成绩的中位数落在______分数段；
已知该校共有名学生，请估计该校学生中测试成绩不低于分的学生人数．

23. 本小题分
    如图，为半圆的直径，为半圆的切线，连接交半圆于点，为上一点，连接，，并延长交于点，且．
    求证：；
    若，，求的长．

24. 本小题分
    已知抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点．
    求抛物线的解析式；
    若点是轴左侧抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，则是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 本小题分
    问题提出：
    如图，的半径为，外一点到圆心的距离为，上一动点到点的最短距离为______；
    问题解决：
    如图，是由线段、、与围成的菜地平面示意图，，，，，点为的中点，所对的圆心角为，菜农李大爷想在上确定一点，在四边形区域内种植生菜和青菜，其余区域内种植白菜，并过点修建一条小路小路的面积忽略不计，把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分，分别用来种植生菜、青菜，请问是否存在满足上述条件的小路？若存在，请你帮李大爷求出小路的长；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是，
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，整式的除法的法则，完全平方公式对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：正比例函数经过点，
，
解得：，
正比例函数解析式为．
A.当时，，
点不在正比例函数的图象上，选项A不符合题意；
B.当时，，
点不在正比例函数的图象上，选项B不符合题意；
C.当时，，
点在正比例函数的图象上，选项C符合题意；
D.当时，，
点不在正比例函数的图象上，选项D不符合题意．
故选：．
观察函数图象，由点在正比例函数图象上可求出值，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可验证各选项中的点是否在正比例函数图象上．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的图象，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出值是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

，，，
，
与是对顶角，
，
，，
．
故选：．
利用三角形内角外角的性质和对顶角的性质解题即可．
此题考查三角形内角外角的性质和对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角外角的性质和对顶角的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由角平分线的性质可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设抛物线与轴两个交点坐标为，，
抛物线与轴两个交点间的距离为，对称轴为直线，
，，
，，
解得：，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
点关于轴的对称点的坐标是，
故选：．
根据抛物线与轴两个交点间的距离为对称轴为直线，可以得到、的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点的坐标，然后根据关于轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点关于轴的对称点的坐标．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、关于轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点的坐标，利用二次函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数为，
则，
解得，
从六边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：，
故答案为：．
根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．
本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握边形的内角和等于、从边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质知，，则∽，根据对应边成比例可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，说明∽是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
的值随值的增大而减小，的值随值的增大而增大．
当时，的最大值为，
当时，的最小值为，
，
解得，
故答案为：．
由反比例函数的性质可得，，进而即可求得的值．
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示，
作出点关于的对称点，
作出点关于的对称点，
连接，分别交、于点、，
，，
四边形的周长，
此时周长最小，
，，
，，


，
四边形的周长，
故答案为：．
动点问题，作出固定点、的对称点后，只要四个点同线，则距离最短，即可解决问题．
本题考查的是正方形中的动点问题，解题的关键是要明白，作出固定点的对称点后，四点共线，距离最短．
 

13.【答案】解：原式

． 

【解析】本题涉及二次根式化简、整数乘分数、去绝对值个知识点．需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式化简、整数乘分数、去绝对值等知识点的运算．
 

14.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：原式



，
当时，原式． 

【解析】原式括号中第一项变形约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作的角平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

17.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由条件证明≌，可以得出，再证出四边形是平行四边形，从而得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，利用全等三角形的判定定理证出≌是解题的关键．
 

18.【答案】解：设每套课桌椅的成本价是元，
根据题意得：，
解得，
答：每套课桌椅的成本价是元． 

【解析】设每套课桌椅的成本价是元，根据商店获得了同样多的利润得：，即可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
 

19.【答案】 

【解析】解：共有个座位，
甲先选择坐号座位的概率为．
故答案为：．
画树状图如下：

共有中等可能的结果，其中甲、乙两人相邻而坐的结果有：
，，，，，，，，共种，
甲、乙两人相邻而坐的概率为．
利用概率公式求解即可．
画树状图列出所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：在中，，，
，
由题意得，，
，
∽，
，
，，
，
，
答：路灯的高度为． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键．
 

21.【答案】解：当时，设求与之间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得，
此时，
当时，，
，
；
当时，
，
解得，
这两处中较低处离地面高度的取值范围是． 

【解析】分两段分别求出函数关系式；
求出时的高度，即可得到的取值范围．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，求出函数关系式．
 

22.【答案】     

【解析】解：样本容量为：，
，，
补全频数分布直方图如下：

故答案为：；；
把所抽取学生测试成绩从小到大排列，排在第和位的两个数都位于“”，
故答案为：；
人，
估计该校学生中测试成绩不低于分的学生有人．
根据“频率频数总数”，利用“”的频数及其频率得出总数，进而得出、的值，再补全频数分布直方图即可；
根据中位数的定义解答即可；
用样本估计总体即可．
本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体、中位数，熟练应用用样本估计总体、中位数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，
为半圆的直径，
，
，
，
为切线，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
为半圆的直径，
，
，
又，
≌，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，由为半圆的直径，得，从而有，再根据等弧所对的圆周角相等得出即可；
由≌可得，从而勾股定理求出的长，再通过∽，即可求出的长．
本题主要考查了切线的判定与性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，求出的长是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线过，点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；

如图：

抛物线的解析式为，
令，则，解得，，
，
设：，
将点的坐标代入得，

，
设点坐标为，
则点坐标为，
，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，
，
，
，
当时，解得，
，
此时点坐标为；
当时，解得：正数不合题意，舍去，
若，则，
此时点的坐标为；
综上，存在，点坐标为或． 

【解析】根据待定系数法可求得答案；
求出点，设：，将点的坐标代入可得，根据平行四边形的性质可得答案．
本题是二次函数综合题、考查了待定系数法、抛物线与坐标轴的交点、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是根据平行四边形的判定建立方程．
 

25.【答案】 

【解析】解：连接、，如图：

的半径为，
，
，
，即，
当点在上时，点到点的最短距离为，
故答案为：；
存在，理由如下：
连接，如图：

，点为的中点，
，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
要使四边形面积最小，只需的面积最小，
设所在的圆的圆心为，则，过作于，交于，交于，此时到的距离最小，即的面积最小，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在线段上，
，
，
，
在中，，
存在满足上述条件的小路，小路的长为．
连接、，当点在上时，最短，即可得出答案；
连接，由已知可得，可知要使四边形面积最小，只需的面积最小，设所在的圆的圆心为，则，过作于，交于，交于，此时到的距离最小，即的面积最小，由，，得，，可得，，即知，可求出，而，可知在线段上，从而可得，即可得．
本题考查圆的综合应用，涉及四边形、三角形面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是读懂题意，正确作出辅助线，证明在线段上．