2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底考试数学（文）试题含解析

2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用集合的交集运算即可.

【详解】解：因为集合，

所以．

故选：C.

2．已知，，则（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】利用复数的运算及复数相等的概念求解即可.

【详解】解:因为，所以，则，．

故选: A.

3．设向量，夹角的余弦值为，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.

【详解】因为向量，夹角的余弦值为，且，，

所以.

所以．

故选：B.

4．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义即可求解.

【详解】由抛物线的定义可知，，所以．

故选：C.

5．若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的高为h，利用母线与底面所成角求出高即可得解.

【详解】设圆锥的高为h，

因为母线与底面所成的角为，所以，解得．

圆锥的体积．

故选：B

6．已知数据，，…，的平均值为，方差为，若数据，，…，的平均值为，方差为，则（       ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，若可得，，代入数据，解得的值．

【详解】因为，，…，的平均值为，方差为，

由数据，，…，的平均值为，方差为，

所以，解得，．

故选：A．

7．函数的图象大致形状是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.

【详解】由，

得，

则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，

当时，排除C，

故选：D.

8．设x，y满足约束条件，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出，向可行域平移即可求解.

【详解】作出可行域，如图所示，

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，

转化为，令，则，

作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，

所以，解得，所以.

此时取得最小值，即．

故选：C.

9．已知函数，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．

【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，

所以，解得．

故选：B

10．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据最小正周期为可得，再根据三角函数图象平移的性质可得，结合三角函数图象的性质即可得值域

【详解】因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．

故选：C

11．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．

【详解】由，边化角得，

又，所以，

展开得，

所以，

因为，所以．

故选：B．

12．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，

根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，

即方程在上有解，

即在上有解．

令，，

则，

可知在上单调递增，在上单调递减，

故当时，，

由于，，且，

所以．

故选：A．

二、填空题

13．已知，则=______．

【答案】

【分析】由题意，求出，代入二倍角正切公式，计算的值．

【详解】因为，所以，则．

故答案为：．

14．别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的概率为______．

【答案】

【分析】利用列举法写出基本事件，再结合古典概型的计算公式即可求解.

【详解】从4张卡片中不放回地抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）这6种情况，

设抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的事件为,其中包含的基本事件有（2，3），（3，4）这2种情况，

由古典概型的计算公式得故概率为．

故答案为：.

15．已知F为双曲线C：的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为2，则C的离心率为______．

【答案】3

【分析】由双曲线的基本性质得A、B两点的坐标，利用斜率得关系式求解即可.

【详解】解:设双曲线焦距为2c，则，，，因为AB的斜率为2，所以，整理得，解得，所以．

故答案为:3.

16．在长方体中，底面是边长为4的正方形，，过点作平面与分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：

①异面直线与所成角的余弦值为；

②平面；

③点B到平面的距离为；

④截面面积的最小值为6．

其中正确的是__________（请填写所有正确说法的编号）

【答案】②④

【分析】利用异面直线所成角的定义及余弦定理可判断①，利用线面平行的判定定理可判断②，利用等积法可判断③，过点A作，连接，进而可得为与平面所成的角，结合条件及基本不等式可判断④.

【详解】依题意得，因为，

所以异面直线与所成的角即或其补角，

在中，，

所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．

由于平面平面，

所以平面，故②正确．

设点B到平面的距离为h，由，

得，解得，故③错误．

如图，过点A作，连接，

因为平面，所以，又，

所以平面，平面，

则，平面平面，平面平面，

故为与平面所成的角，则，

在中，，则有，

在中，由射影定理得，

由基本不等式得，

当且仅当，即E为的中点时，等号成立，

所以截面面积的最小值为，，故④正确．

故答案为：②④.

三、解答题

17．已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；

（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.

【详解】(1)由（t为参数），

可得l的普通方程为；

由曲线C的极坐标方程及

可得，

整理得，

所以曲线C的直角坐标方程为．

(2)易知点M在直线 l 上，

将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，

即，

设P，Q对应的参数分别为，则，

因为，

所以．

18．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.

（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.

【详解】(1)等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，

设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，

所以.

(2)由（1）知，，

所以.

19．已知函数．

(1)求的图像在点处的切线方程；

(2)求在上的值域．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】对于第一小问，把点代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．

对于第二小问，解不等式，得函数增区间，解不等式，得函数减区间，结合，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．

【详解】(1)因为，所以，所以，，

故所求切线方程为，即．

(2)由（1）知，．

令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．

又，，

所以，即在上的值域为．

20．随着人们生活水平的提高，私家车占比越来越大，汽车使用石油造成的空气污染也日益严重．新能源汽车不仅降低了对石油进口的依赖，也减少了对整个地球环境的污染．某新能源车2016〜2021年销量统计表如下：

通过数据分析得到年份编号x与对应的新能源车销量y（单位：万辆）具有线性相关关系．

(1)求该新能源车销量y（单位：万辆）关于年份编号x的线性回归方程；

(2)根据（1）中的线性回归方程预测2025年和2026年该新能源车销量的平均值．

参考公式：，．

【答案】(1)

(2)万辆

【分析】（1）根据表中数据及参考公式，求出，，进而求得回归直线方程；

（2）将和代入上式的线性回归方程中及平均数的定义即可求解.

【详解】(1)由题意可得，．

，，

则，

从而，

故该新能源车销量y关于年份编号x的线性回归方程为．

(2)当时，；

当时，．

则2025年和2026年该新能源车销量的平均值为万辆．

21．如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线．

(1)证明：平面．

(2)若，求点E到平面PBC的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，BF，得后可得线面平行；

（2）连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．然后利用体积法由求出到平面的距离即得．

【详解】(1)证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF．

因为E是棱PD的中点，所以，且．

因为，，所以，，

所以四边形ABFE是平行四边形，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

(2)解：如图，连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．

平面平面，，，易知平面PAD，平面PAD．

因此平面内的直线都与垂直，

因为，，所以，，

所以．

设D到平面PBC的距离为h，则．

又，三棱锥的高即为的高，长为，

所以．

由，得，所以点E到平面PBC的距离等于．

22．已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程．

(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；

【分析】(1)由题意可知，再根据离心率为可求，进而可求椭圆方程；

(2) 设，，直线的方程为，与椭圆联立，由韦达定理可得

，的值，联立直线与直线，求出交点的坐标，进而得到的表达式，代入已知求解即可.

【详解】(1)解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，

所以．

因为椭圆的离心率为，所以，解得，

所以，

所以椭圆的方程为．

(2)设，，直线的方程为，

与椭圆联立，

得，

因为直线MN交椭圆C于M，N两点，所以，

所以，，

所以．

直线：与直线的交点的坐标为，则．

假设存在满足条件的实数，则，

所以

，

所以．