河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

这是一份河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二数学下学期3月联考试题（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知圆 C₁等内容，欢迎下载使用。
2022~2023年度下学年创新发展联盟第一次联考
数 学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占20%，选择性必修第二册占60%，选择性必修第三册第六章第1节占20%。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有
A.5种 B.12种 C.20种 D.60种
2. 已知数列{an}的前n项和为Sₙ,且 Sₙ=n²+2ⁿ,则a₃=
A.4 B.8 C.9 D.12
3. 已知某质点的位移x(单位：m)与时间t(单位：s)的关系式是 x=3t²+2t,. 则质点在2s时的瞬时速度为
A.14m/s B.16 m/s
C.7 m/s D.8 m/s
4. 用4种不同的颜色对图中3个区域涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂法有
1
2
3
A.24种 B.36种 C.48种 D.64种
5. 设等差数列{an}的前n项和为an，且 S₇>0,S₈0的解集为
A. (1,6)
B. (1,4)
C. (-∞,1)∪6,+∞
D. (1,4) ∪6,+∞
7. 已知数列{an}满足 a₁=16,(n+1)aₙ₊₁=2(n+2)aₙ, 则 aₙ的前100项和为
A.25×2¹⁰² B.25×2¹⁰³
C.25×2¹⁰⁴ D.25×2¹⁰⁵
8. 已知 a=3301,b=2201,c=ln 101100, 则
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. b>a>c
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列{an}的前n项积为Tₙ,a₃a₄a₅=1,则下列结论正确的是
A. a₄=1 B. T₂=T ₅
C. T₇=7 D.若 a₁=1, 则 a₂=1
10. 已知圆 C₁:x²+y²-6y+5=0 和圆 C₂:x²+y²-8x+7=0, 则下列结论正确的是
A.圆C₁与圆C₂外切
B.直线y=x与圆C₁相切
C.直线y=x被圆C₂所截得的弦长为2
D.若M,N分别为圆C₁和圆C₂上一点,则|MN|的最大值为10
11. 若函数 f(x)=x²-1-alnx 有两个零点，则a的值可以是
A.-1 B.1 C.2 D.3
12. 意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，…，其被称为斐波那契数列，满足a₁=a₂=1,aₙ₊₁=aₙ+aₙ₋₁. 某同学提出类似的数列{bn}:1,3,4,7,11,18,…,满足 b₁=1,b₂=3,bₙ₊₁=bₙ+bₙ₋₁. 下列结论正确的是
A. b2+b4+b6+…+b100=b101-1
B. b101b99-b1002=5
C.设{bₙ}的前n项和为 Sₙ,b₁₀₀-S₉₈=1
D.b12+b22+b32+…+b1002=b100b101-1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答题卡中的横线上.
13. 某书架的第一层放有5本不同的数学书，第二层放有8本不同的英语书.从这些书中任取1本数学书和1本英语书，共有 ▲ 种不同的取法.
14. 已知函数f(x)=sinx,则lim∆x→0f(π-2∆x)-f(π)∆x= ▲
15. 已知球O的半径为6，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为 ▲ .
16. 半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.若点G在直线BC上，且BG=5BC ,BC=1,则直线EF与直线AG所成角的余弦值为 ▲ .

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)
已知等差数列{an}的前n项和为 Sₙ,bₙ是等比数列，且 a₁=b₁=a₂b₂=1,a₂(b₁+ b₂)=a₃.
(1)求{ bₙ}的通项公式及 Sₙ;
(2)求数列{1Sn +an }的前n项和Tₙ.
18. (12分)
将2个不同的红球和2个不同的黑球放入3个不同的盒子中(可以有盒子不放球).
(1)若2个红球放入同一个盒子中，则不同的放法有多少种?
(2)若每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有多少种?
19. (12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,PD=CD=1,BC= 2,M为BC的中点,
(1)证明:PB⊥AM.
(2)求二面角B-AP-M的平面角的余弦值.
20. (12分)
已知函数 f(x)=xlnx+x³.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)≥1对任意的x≥m恒成立，求实数m的取值范围.
21. (12分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=11(a>b>0),四点P1 (0,2), P2 (1,1), P3 (2,1), P4 (-2,1) 中恰有三点在C上.
(1)求C的方程;
(2)若圆 x2+y2=43的切线l与C交于点A,B,证明:OA⊥OB,
22. (12分)
已知函数f(x)=lnx-ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数 g(x)=f(x)-x² 有两个零点 x₁,x₂(x₁< x₂), 求a的取值范围，并证明 x₁ x₂>1.
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数学参考答案
1. B从油画中选，有3种不同的选法；从国画中选，有4种不同的选法；从水彩画中选，有5种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有3+4+5=12 种不同的选法.
2. C a₃=S₃-S₂=3²+2³-(2²+2²)=9.
3. A x'=6t+2, 质点在2s时的瞬时速度为6×2+2=14m/s.
4. B先涂区域1，有4种涂法；再涂区域2，有3种涂法；最后涂区域3，有3种涂法.故不同的涂法有4×3×3=36种.
5. A 因为S₇=7a₄>0,S₈=4(a₄+a₅)0,a₅ 0,所以a>b.设 ?(?) = ln?− (2(x-1)x+1, 则?′ (?)= 1x-4(x+1)2 =(x-1)2x(x+1)2≥0 ,故 ?(?) = ln?− 2(x-1)x+1在(0,+∞)上单调递增.因为f(1)=0,所以 ?( 101100)= ln101100-2(101100-1)101100+1 = ln101100-2201>?(1) = 0,即c>b.设 ?(?) =ln?−3(x-1)x+2, 则?′(?)= 1x-9x+22=x-1x-4xx+22,当x∈(1,4) 时, ?′(?) g(1)=0即a>c.综上,a>c>b.
9. ABD 因为 ?3?4?5 = ?43 = 1, 所以 a₄=1,A正确.因为 a₁a₂= a₁a₂a₃a₄a₅,.所以T₂=T₅, B正确. T₇= ?1?2?3?4?5?6?7 =?47 = 1,? 错误.若a₁=1,则 ?3 = a₄a₁ = 1, 解得q=1,所以 a₂=a₁q=1,D 正确.
10. ACD 圆C₁:x²+y²-6y+5=0 化为 x²+( y-3)²=4, 圆心坐标为(0,3),半径为2,
圆 C₂:x²+y²-8x+7=0 化为(x-4)²+y²=9, 圆心坐标为(4,0),半径为3.
因为两个圆的圆心距为 32+42 =5 , 等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，A正确.
圆C₁的圆心到直线y=x的距离为0-32=322≠2 , 所以直线y=x与圆C₁不相切，B错误.圆C₂的圆心到直线y=x的距离为4-02=22, , 直线y=x被圆C₂所截得的弦长为232-(22)2=2,C正确.
若M,N分别为圆C₁和圆C₂上一点,则|MN|的最大值为2×2+2×3=10,D正确.
11. ?? ?′(?) =2?− ax . 当a≤0时, ?′(?) > 0,?(?)在(0，+∞)上单调递增.易知f(x)有且仅有一个零点x=1.当0 0,?(?)单调递增.结合x₀2时, ?′(?) = 0有唯一解x0=a2>1 1.
易知在(0,x₀)上, ?′(?) < 0,?(?))单调递减,且f(1)=0,
所以f(x)在(0,x₀)上有一个零点x=1.
在(x₀,+∞)上 ,?′(?) > 0,?(?)单调递增,且fx₀ (?+1)²−1−?² = 2? > 0 所以f(x)在(x₀,+∞)上有一个零点.
故f(x)在 (0,x₀),(x₀,+∞)上各有一个零点.
综上,当a≤0或a=2时,f(x)仅有一个零点;当00,?(ℎ)单调递增；当h∈(23,6)时, ?′(ℎ) < 0,?(ℎ)单调递减. f(h)≤f(23)=163 ?,，故圆锥的体积的最大值为163 ?.
16. 52142 .建立如图所示的空间直角坐标系，则? (32,12,0), B(-33,1,36),C(-36,12,263) E(-33,-1,63),F (32,-12,0)
??=(536,12,-36), ??=(63,-12,63), ?? =(-536,12,63 ,
??= ??+ ?? = ??+5BC=(0,-2,26) ,cos⟨?? ,??⟩ =EF∙AGEFAG=-52142⋅
故直线EF与直线AG所成角的余弦值为52142 .
17. 解:(1)设{an }的公差为?, ?ₙ的公比为q.
因为 a₁ =b₁=a₂b₂=1,a₂( b₁+b₂) =a₂b₁+a₂b₂=a₃,
所以1+d+1=1+2d,解得d=1,…………………………………………………………………2分所以 a₂ = 2, b2 = 12, 则 ? = 12 , …………………………………………………………3分
故 aₙ = a₁ + (n - 1)d = n,
Sn = n (n+1)2, ……………………………………………………………………………4分
?? = ?1??−1 =12n-1 …………………………………………………………………………5分
(2)由(1)知1Sn=2(1n-1n+1) …………………………………………………………………6分
所 以 Tn=2(11-12+12-13+...+1n-1n+1)+1-12n1--12=4n+2n+1-12n-1 . …………………………10分
18. 解：
(1)若2个红球放入同一个盒子中，可看成将3个不同的球放入3个不同的盒子中……3分
不同的放法有3³=27 种. …………………………………………………………………5分
(2)不考虑每个盒子最多只能装3个球,有3⁴种放法………………………………………7分若4个球放入同一个盒子中,有3种放法…………………………………………………9分故不同的放法有 34-3=78种……………………………………………………………12分
19. (1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ? (0,0,1),B(2,1,0),M(22,1,0),A(2,0,0) ………………………… 2分
??=(2,1,-1) , ??=(-22,1,0) , ??=(-2,0,1) 分
因为 PB∙??= 2×(-22)+1×1=0 ,所以PB⊥??……………………………………5分
(2)解:设平面PAM的法向量为m=(x₁,y₁,z₁),
则m ⋅ AM=-22x₁+y₁=0m ⋅AP=-2x₁+z₁=0 ,取x₁=2,可得 ?=（2，1，2 ） ……………………7分
设平面PAB的法向量为n=(x₂,y₂,z₂),
则 n ⋅ PB=2x₂+y₂-z₂=0n ⋅AP=-2x₂+z₂=0 取 x₂ =2, 可得?=（2，0，2 ） …………………9分
cos⟨?, ?⟩=m ∙nm n =427 ………………………………………………………11分
故二面角B-AP-M的平面角的余弦值为427 ……………………………………12分
20. 解: (1)?′(?) = ln? + 3?² + 1, ?′(1) = 4, ?(1) = 1. ………………………………3分
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0………5分
(2)f(x)≥1,即ln? + ?² - 1x ≥0 ………………………………………………………………7分
令h(?)= ln? + ?² - 1x,即h(?) ≥0对任意的x≥m恒成立…………………………………8分
h'(x)=1x+2x+1 x²≥0所以h(x)在(0,+∞)上单调递增 …………………………10分
因为h(1)=0,所以当x≥1时,h(x)≥0,所以m≥1.
故实数m的取值范围为[1,+∞)……………………………………………………………12分
21. (1)解:由P₃,P₄两点关于y轴对称,可得C经过P₃,P₄两点…………………………………1分 P₂与P₃的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在C上，所以P₂不在C上，…2分
则 b=22a2+1b2=1 解得 a=2b=2,
故C的方程为x24+y22=1 …………………………………4分
(2)证明：当切线l的斜率不存在时，得 ?:x=±233 ……………………………………5分
当 ?: x=233 时，可得 ?(233,233) B(233,-233).
?? ⋅ ??= 233×233-233×233=0,则?? ⊥ ??
当 ?: x=-233 时,同理可证…………………………………………………………………6分
当切线l的斜率存在时，设 l:y=kx+m.
因为l与圆 x2 + y2 = 43相切,所以圆心(0，0)到l的距离为mk2+1=233,即
3m2=4k2+1 ……8分
联立y = kx + m,x24+y22=1 得(2k²+1)x²+4kmx+2m²-4=0.
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则 x₁ + x₂ =- 4km1+2k² , x₁x₂=2m²-41+2k² 9分
?? ⋅ ?? = x₁x₂ + y₁y₂= x₁x₂ + (? x₁ + ?)(? x₂ + ?) = (k² + 1) x₁x₂ + ?? x₁x₂ + m2
= ( k²+1)(2m²-4) 1+2k²− 4k²m21+2k² + m2
=-4k²+3m2-41+2k². ………………………………………………………………………11分
由 3m²=4(k²+1), 得OA ·OB=0, 则OA⊥OB.
综上，若圆x2 + y2 = 43的切线l与C交于点A,B,则OA⊥OB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
22.解: (1)?′(?) = 1 -axx. ………………………………………………………………………1分
当a≤0时, ?′(?) ≥ 0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. ………2分
当a>0时,若 ?∈( 0, 1a ) , 则 ?′(?) > 0,若 ?∈(1a , +∞), 则 ?′(?) < 0,
所以f(x)在( 0, 1a )上单调递增，在(1a , +∞)上单调递减. ………………………4分
(2)令 g(x)=f(x)-x²=0, 得 ln xx - a - x = 0.
令 ℎ(?) = ln xx − ? − ?(?>0),则 ℎ′(?) = 1 -x2-lnxx2. …………………………5分
设函数 s(x)=1-x²-lnx, 则 s'(x) = -2x - 1x < 0,
所以s(x)在(0,+∞)上单调递减 ……………………………………………………………6分
因为s(1)=0,所以当x∈0,1时，sx>0, 当x∈1,+∞时,s(x)0,解得a1x2 .
由于h(x)在(0，1)上单调递增，故只需证ℎ(x1) > ℎ (1x2) …………………………………9分
由 h(x₁)=h(x₂)=0, ℎ(x1) − ℎ(1x2) = ℎ(x2) − ℎ(1x2) =lnx2x2-x2-a-ln1x21x2-1x2-a= 1x2+x2 ∙lnx2-x2+1x2 ………………………………………………………10分
令 φ(?) = (? + 1x) ln? − ? + 1x , 则 φ'(?)=(1-1x2)ln ? …………………………11分
当x>1时, ?′(?) > 0,,所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增.
φ(x)>φ(1)=0, 即 ( 1x2 + x2) lnx2 − x2 + 1x2 > 0,
所以 ℎ(x1) > ℎ (1x2), 即证得 x₁x₂>1 . …………………………12分