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    2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高二上学期12月阶段检测数学试题(解析版)

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    这是一份2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高二上学期12月阶段检测数学试题(解析版),共20页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高二上学期12月阶段检测数学试题

     

    一、单选题

    1.已知双曲线)的一条渐近线的斜率为,则该双曲线的离心率为(  )

    A B C2 D

    【答案】D

    【分析】根据双曲线的渐近线斜率公式可知,再根据双曲线的离心率,即可求出结果.

    【详解】由双曲线)的一条渐近线的斜率为,可知

    所以该双曲线的离心率为.

    故选:D.

    2.若直线l的倾斜角为,则    

    A2 B.-2 C D

    【答案】D

    【分析】根据直线方程可得,再利用诱导公式即可得解.

    【详解】解:因为直线l的倾斜角为

    所以

    .

    故选:D.

    3.已知是椭圆的两个焦点,过点且斜率为的直线交于两点,则的周长为(    

    A8 B C D.与有关

    【答案】C

    【分析】根据椭圆可求得a,由椭圆的定义可得,并且,进而即可求得的周长.

    【详解】由椭圆,则,即

    又椭圆的定义可得,且

    所以的周长为

    故选:C

    4.已知空间向量,则的投影向量    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】根据投影向量的计算公式计算即可.

    【详解】解:由空间向量

    的投影向量.

    故选:C.

    5.若圆与圆相交,则的取值范围为(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】由条件求圆与圆的圆心和半径,根据圆与圆相交,列不等式求的取值范围.

    【详解】由已知,圆的圆心的坐标为,半径

    的圆心的坐标为,半径

    因为圆与圆相交,所以,所以

    所以,所以

    所以的取值范围为

    故选:C.

    6.图1为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径,深度,信号处理中心位于焦点处,以顶点为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系,若是该拋物线上一点,点,则的最小值为(    

     

    A4 B3 C2 D1

    【答案】B

    【分析】由已知点在抛物线上,利用待定系数法求抛物线方程,结合抛物线定义求的最小值.

    【详解】设抛物线的方程为,因为,所以点在抛物线上,所以,故,所以抛物线的方程为,所以抛物线的焦点的坐标为,准线方程为,在方程中取可得,所以点在抛物线内,过点与准线垂直,为垂足,点与准线垂直,为垂足,则,所以,当且仅当直线与准线垂直时等号成立,所以的最小值为3

    故选:B.

    7.《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图,是直角圆锥的两个轴截面,且,则异面直线所成角的余弦值为(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】,以点为坐标原点,所在直线分别为轴,平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得异面直线所成角的余弦值.

    【详解】在圆锥中,平面,设,以点为坐标原点,所在直线分

    别为轴,平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系,

    因为,所以

    所以

    所以异面直线所成角的余弦值为

    故选:B.

    8.双曲线上的点到上焦点的距离为12,则到下焦点的距离为(    

    A22 B2 C222 D24

    【答案】A

    【分析】的上、下焦点分别为,根据双曲线的定义求出,再根据可得.

    【详解】的上、下焦点分别为,则

    因为,,所以,则

    由双曲线的定义可知,,即

    解得

    时,,不符合题意;

    时,,符合题意.

    综上所述:.

    故选:A

    9.若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】利用共面向量定理分析判断,其中选项ABD中,一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式,所以三个向量共面;只有选项C的向量不可以,即得解.

    【详解】对于A,因为

    所以共面,A不符合题意;

    对于B,因为

    所以共面,B不符合题意;

    对于C

    所以共面,C不符合题意;

    假设存在实数满足

    所以,所以 ,该方程组没有实数解.

    所以不存在实数满足

    不共面, D符合题意.

    故选:D.

    10.如图,已知,从点射出的光线经直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程长为(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点,则就是所求的路程长.

    【详解】解:直线的方程为,即

    设点关于直线AB的对称点为

    ,解得,即

    又点关于y轴的对称点为

    由光的反射规律以及几何关系可知,光线所经过的路程长

    故选:B.

    11.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马中,平面,底面是正方形,且分别为的中点,则(    

    A平面

    B平面

    C.点到直线的距离为

    D.点到平面的距离为

    【答案】D

    【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标及平面EFC的法向量,利用向量垂直条件及线面垂直的定义及线面平行的向量关系,结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解.

    【详解】A为坐标原点,的方向分别为xyz轴的正方向建立空直角坐标系如图所示

    由题意可知,

    所以

    对于选项A,因为,所以不垂直,即不垂直,

    所以直线与平面不垂直,故A错误;

    对于选项B,设平面EFC的法向量为,则

    ,,令,则,所以

    因为,所以,所以直线与平面不平行,故B错误;

    对于C,设点F到直线CD的距离为h,则,即,所以点F到直线CD的距离为,故C错误;

    设点A到平面EFC的距离为d,则

    ,所以点A到平面EFC的距离为,故D正确.

    故选:D.

    12.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的直线与双曲线的左支交于点,与双曲线的其中一条渐近线在第一象限交于点,且是坐标原点),现有下列四个结论:

    ,则双曲线的离心率为.

    其中所有正确结论的序号为(    

    A①② B②③ C①③④ D①②④

    【答案】D

    【分析】由条件证明,结合勾股定理判断,由条件求点的坐标,代入双曲线方程可得关系,由此可求离心率,根据双曲线定义,结合三角形三边关系判断,由条件求,结合点的坐标范围判断④.

    【详解】因为O的中点,所以,所以,则|,即正确.

    ,则,所以,作轴,垂足为轴,垂足为,则因为,所以,解得,则,则,整理得,则正确;

    设直线C右支的交点为M,则,因为,所以

    ,则不正确;设,则|

    所以

    所以,由题意可知,,则,则,故正确.

    故选:D.

     

    二、填空题

    13.已知直线,若,则______.

    【答案】

    【分析】根据两直线垂直的条件列出关于的方程求解即可.

    【详解】直线

    ,则

    解得,

    故答案为:.

    14.空间向量满足,且,则______.

    【答案】

    【分析】先由空间向量的模的坐标表示求,把两边同时完全平方,化简可求.

    【详解】,可得

    因为,所以,所以

    所以,所以,所以

    故答案为:.

    15.笛卡尔是世界上著名的数学家,他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时,突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网,受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中,为长方体,且,点轴上一动点,则的最小值为___________.

    【答案】

    【分析】根据题意结合对称性分析运算.

    【详解】由图可知:

    A关于轴对称的点为,则.

    故答案为:.

    16.已知直线轴的交点分别为,且直线与直线相交于点,则面积的最大值是______.

    【答案】

    【分析】由条件确定点的轨迹,由此可求点到直线的距离的最大值,结合三角形面积公式求面积的最大值.

    【详解】因为,所以直线与直线垂直,

    又直线方程可化为,所以直线过点

    因为直线方程可化为,所以直线过点

    所以,故点的轨迹为以为直径的圆,又线段的中点的坐标为,所以点的轨迹方程为

    因为到直线的距离,所以点到直线的距离的最大值为

    由方程可得,取可得,所以点的坐标为,点的坐标为,所以

    所以面积的最大值为,即

    故答案为:.

     

    三、解答题

    17.如图,在直三棱柱中,,分别为的中点,分别记.

    (1)表示

    (2),求.

    【答案】(1).

    (2).

     

    【分析】1)用空间向量的加减运算分别表示,再转化为表示即可;

    2)先把表示,然后平方,把向量的模和数量积分别代入,计算出结果后再进行开方运算求得.

    【详解】1)连结.在直三棱柱中,

    .

    .

    2)如图,在直三棱柱中,,所以,又

    所以.

    所以.

    18.已知动圆与圆,圆均外切,记圆心的运动轨迹为曲线.

    (1)的方程.

    (2)若点上,且的面积为,求直线的方程.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)求出两圆的圆心及半径,设圆的半径为,根据题意可得,两式相减,再根据双曲线的定义即可得出答案;

    2)设,根据的面积求出点的坐标,再根据直线的点斜式方程即可得解.

    【详解】1)解:由圆

    得圆心,半径

    由圆

    得圆心,半径

    设圆的半径为

    则有

    两式相减得

    所以圆心的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支,

    所以的方程为

    2)解:设

    ,解得

    此时

    所以

    时,

    直线的方程为,即

    时,

    直线的方程为,即

    所以直线的方程为.

    19.已知半径小于10的圆与两坐标轴相切,且是圆上一点,过的直线与圆交于另外一点.

    (1)的标准方程;

    (2),求直线的方程.

    【答案】(1)的标准方程为

    (2)直线的方程为.

     

    【分析】1)设圆的标准方程,列方程求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程;

    2)结合条件求圆心到直线的距离,验证的斜率不存在时满足要求,当的斜率存在时,由点到直线距离公式求出直线斜率,由此可得直线方程.

    【详解】1)因为圆与两坐标轴相切,且是圆上一点,且点在第一象限,所以圆的圆心在第一象限,设圆的标准方程为,由已知可得,化简可得,所以,故,解得,因为,所以,故不合题意,舍去,所以,所以圆的标准方程为

    2)设圆心到直线的距离为,则,由,解得.

    当直线的斜率不存在时,直线方程为

    圆心到直线的距离,即直线被圆所截得的弦长为,符合题意;

    当直线的斜率存在时,设直线的方程为

    ,解得:

    的方程是

    综上所述,直线的方程为.

    20.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,.

    (1)的方程.

    (2)的直线相交于两点,线段的垂直平分线与相交于两点,若的斜率为1,求四边形的面积.

    【答案】(1)抛物线C的方程为

    (2)四边形的面积为.

     

    【分析】1)将点代入抛物线方程,求得,由可求得p的值,由此可得得C的方程;

    2)由条件求的方程,联立方程组由抛物线焦点弦公式求,再求线段的垂直平分线的方程,利用设而不求法结合弦长公式求,由此可求四边形的面积.

    【详解】1)因为点在抛物线C上,所以,解得,所以点的坐标为,又,所以

    因为,所以,解得

    故抛物线C的方程为

    2)由(1)可知,抛物线C的焦点的坐标为,又的斜率为1

    l的方程为

    联立方程组消去x,得.方程的判别式

    ,则

    所以,设线段的中点为,故点的坐标为

    所以

    又直线MN的斜率为,所以MN的方程为.即

    联立方程组,消去,得.方程的判别式

    ,则

    所以

    所以四边形的面积.

    21.如图1,在平行四边形中,分别为的中点.沿折起到的位置,使得平面平面,将沿折起到的位置,使得二面角的大小为,连接,得到如图2所示的多面体.

    (1)证明:.

    (2)求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】(1)证明见解析;

    (2).

     

    【分析】(1)的中点,连接,证明,由线面垂直判定定理证明平面,由此证明

    (2)由面面垂直性质定理证明平面,建立空间直角坐标系,求直线的方向向量与平面法向量,利用向量夹角公式求两向量夹角余弦可得结论.

    【详解】1)在图1中,连接因为四边形为平行四边形,分别为的中点,,所以

    所以四边形为平行四边形,又,所以四边形为菱形,

    ,同理可证四边形为菱形,

    所以在图2中,连接,取的中点,连接

    平面平面

    所以平面,又平面,所以

    2)由(1),因为平面平面,平面平面平面

    所以平面,又平面,所以

    因为

    如图以点为原点,以分别作为轴的正方向,建立空间直角坐标系,

    因为,所以

    的中点,连接,因为图1

    所以图2,所以

    所以为二面角的平面角,

    因为二面角的大小为,所以

    过点,垂足为,则,在中,

    所以,所以点的坐标为

    所以

    设平面的法向量为

    因为,所以,取,则

    故向量为平面的一个法向量,

    所以

    设直线与平面所成角为,则

    所以直线与平面所成角的正弦值为.

    22.已知椭圆的离心率为上一点.

    (1)的方程.

    (2)分别为椭圆的左、右顶点,过点作斜率不为0的直线交于两点,直线与直线交于点,记的斜率为的斜率为.证明:为定值;在定直线上.

    【答案】(1)

    (2)①证明见解析;证明见解析.

     

    【分析】(1)由条件列出关于的方程,解方程可得,由此可得椭圆的方程;

    (2)①联立方程组,利用设而不求法结合两点斜率公式求即可证明;

    求出直线与直线方程,联立求点的坐标,由此证明点在定直线上.

    【详解】1)由题意,椭圆的离心率为是椭圆上一点,

    所以,解得

    所以椭圆的方程为

    2因为过点且斜率不为0,所以可设的方程为,代入椭圆方程,方程的判别式,设,则

    .

    两式相除得

    因为分别为椭圆的左、右顶点,所以点的坐标为,点的坐标为,所以

    从而

    ,设,则,所以直线的方程为:,直线的方程为,联立可得,所以直线与直线的交点的坐标为,所以点在定直线.

    【点睛】x轴上定点斜率不为0的动直线方程可设为;过y轴上定点(0y0)斜率存在的动直线方程可设为.

     

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