数学必修 第二册6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界优秀教案设计

湘教版必修第二册《6.1走进异彩纷呈的数学建模世界》教学设计

一、课程标准

通过介绍数学建模的基本知识和几个常见的例子，理解数学建模的意义，能够应用数学语言，表达数学建模过程中的问题以及解决问题的过程与结果.

二、教学目标：

1. 了解经典数学建模历史故事

2. 学会在实际情境中从数学视角发现问题，提出问题

3. 通过课程学习，学生能有意识地用数学语言表达世界，发现和提出问题。

三、教学重点：引导学生数学的发现、提出问题。

四、教学难点：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

1.对于同一段路程，在面中行走速度越快<即淋雨时间越少，淋雨量（即人在雨中行走时全身所接收到的雨的体积）就一定越少吗?

2.在足球比赛中，若球员沿直线带球跑动，一般需要寻找与球门张成最大角度的位置来射门.是否可用数学方法确定出哪个位置具有最大角度?

3.蜜蜂在构筑巢穴对，蜂房结构为一种特定的六角柱体，你能否从数学的角度解释蜜蜂采用这种几何体作为巢穴的原因吗？

（二）自主学习，熟悉概念

1.要求：学生阅读P240-244

2.思考：

（1）问题1中淋雨量与哪些因素有关？

（雨的大小和方向，行走速度和行走方向，行人与雨的接触面积，行人在雨中行走的时间等）

小结：看问题不能表面化，行走速度看似越快，淋雨面积越小，实则未必，需要通过严格的数学建模过程和数据来解决问题。

（2）问题2中寻找射门的位置与哪些因素有关？

（直线距离，角度的大小等）

小结：解决这个问题，我们需要通过数学建模，通过一定的几何知识，使三角形中某个角最大.

（3）问题3中蜜蜂在构筑巢穴对，蜂房结构为一种特定的六角柱体，你能否从数学的角度解释蜜蜂采用这种几何体作为巢穴的原因吗？

思考：选择六角柱体的依据是什么？

（二面角的夹角，线段长度等。）

小结：解决这个问题，我们也需要通过数学建模，通过一定的几何知识，这样设计下的蜂房容积最大，材料最省。

（三）检验自学，强化概念

案例1（万有引力定律的发现）

万有引力是英国伟大的物理学家、数学家和天文学家牛顿提出来的，它是指：任意两个指点通过连心线方向上的引力相互吸引。该引力大小与他们的质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，而与两物体的化学组成和其间介质种类无关。其数学表达式为：

上式中，F表示两个物体间的引力，G为万有引力常数，和表示两个物体的质量，r表示两个物体间的距离。

思考：

（1）要解决问题是什么？——求任意两个物体间的引力

（2）数学目标是什么？——建立力与物体质量及距离关系的数学模型

（3）相关影响因素有哪些？——引力、物体质量、两物体间的距离等

设计意图：万有引力定律的发现经历了较为漫长的数学建模与求解过程。经历长达20年的思考，牛顿才利用开普勒第三定律以及牛顿第二定律，从离心力定律和自己独自发明的微积分方法，最终建立了万有引力定律模型。

本案例让学生体会公式是一种数学模型。

案例2（马尔萨斯人口模型）

人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题。英国经济学家、人口学家马尔萨斯最先研究了这个问题，他发现人口的自然增长率在一定的时间内是一个常数。人口的变化率和当前的人口数目成正比。

根据马尔萨斯的观点，我们来建立一个可用来描述人口数量随时间变化的数学模型。

思考：

（1）现实问题是什么？——刻画人口变化规律

（2）数学目标是什么？——建立可以描述人口数量随时间变化的数学模型

（3）相关影响因素有哪些？——人口增长率，当前人口数等

设计意图：以马尔萨斯人口增长模型的建立，感受数学建模过程。在一般情况下，马尔萨斯人口模型中的参数——增长率是未知的。如何求解增长率，则是求解数学模型时需要解决的问题。

案例3（哥尼斯堡七桥问题）

18世纪时的哥尼斯堡是东普鲁士的一座风景优美的小城，穿过该小城的普雷格尔河的中心有一座美丽的小岛，河流及其两条支流把包含岛区在内的哥尼斯堡城分为四个区域：东区（A）北区（B）岛区（C）以及南区（D）。架在河流上的七座桥将这四个区域连接起来。市民在哥尼斯堡城行走时提出这样的问题：是否能一次走遍这七座桥，每座桥只允许走一次，最后回到原出发点？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。

当地人热衷于上述问题的解决，尝试了各种不同的行走路线都不得其解。该问题引入了瑞士数学家欧拉的强烈兴趣。开始时，欧拉试图将所有的走法一一列举出来，然后对这些走法进行验证，经过计算后欧拉发现不同的走法5040中，这样既浪费时间，而方法也没有通用性。经过大约一年时间的思考，欧拉将该实际问题抽象成一个数学问题，通过建立数学模型完全解决了这个问题。

我们一起通过几个问题，感受一下欧拉建模的过程：

（1）现实问题是什么

答：是否能一次走遍这七座桥，每座桥只允许走一次，最后回到原出发点？

（2）数学目标是什么？

答：欧拉就把陆地和岛都抽象成“点”，把连接陆地的桥抽象成“点之间的连线”。这时由河流分割的四块陆地抽象为四个点，连接四块陆地七座桥抽象为连接这四个点的七条线。实际问题中的陆地、河流和桥梁的景观都不见了。剩下的是纯数学的，只有点和线相互连接的“图”。

欧拉就是利用这幅简单的“图”问题转化为：是否可以笔尖不离开纸面，一笔（不重复经过任何一条路线）画出下图的图形。

（3）相关因素是什么？——岛和桥，将岛抽象成点，将桥抽象成线。

如何解决呢？

问题就转化为数学的一笔画问题，除了公式，图也是一种数学模型。我们一起来解决这个问题。

设计意图：图也是数学模型的一种表示。用数学的眼光观察问题，用适当的数学语言，模型描述问题，并运用数学的思想，方法解决实际问题，这一生活中的趣味问题有效的解决了，体现数学建模的威力。

(四)课堂练习及检测

P244   问题研究一、二

(五)归纳小结

1.万有引力定律的发现；

2.马尔萨斯人口模型；

3.哥尼斯堡七桥问题。

4.数学建模过程：

（六）作业

1.P244 问题研究二.

2.预习 6.2数学建模——从自然走向理性之路

六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计