湘教版（2019）必修 第二册6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界优质教案

湘教版必修第二册第2章《三角恒等变换》章末检测试卷及详细解析

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．若sin α＝，则cos 2α等于(　　)

A.      B.          C．－   D．－

2.sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°等于(　　)

A．0     B．1       C．－1       D．－cos 10°

3.已知角α终边上一点M的坐标为(1，)，则sin 2α等于(　　)

A.－       B.      C.－      D.

4.已知cos α＝，cos(β－α)＝，且0<β<α<π，则cos β等于(　　)

A.－     B.－     C.      D.

5.已知<α<2π，化简 的结果为(　　)

A．sin         B．－sin       C．cos        D．－cos 

6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)

A．1      B．2      C.＋1      D.＋2

7．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)

A.      B.      C．1      D.

8．将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的单调递减区间是(　　)

A.(k∈Z)         B.(k∈Z)

C.(k∈Z)       D.(k∈Z)

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ等于(　　)

A．0      B.       C．－       D.

10．已知cos α＝－，则tan等于(　　)

A．－     B．－7     C.       D．7

11．下列选项中，值为的是(　　)

A.cos 72°cos 36°   B.sin sin 

C.＋   D.－cos215°

12．已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)的最大值为2

B．f(x)的最小正周期为π

C．f(x)关于x＝－对称

D．f(x)在上单调递增

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________.

14．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.

15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a，已知当x∈时，f(x)的最小值为－2，则a＝________.

16．已知sinsin＝，α∈，则的值为________．

四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17． (10分)已知函数f(x)＝sin 3x－acos 3x＋a，且f ＝3.

(1)求a的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

18．(12分)已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递减区间．

19．(12分)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，且图象上与点P最近的一个最低点是Q.

(1)求f(x)的解析：式；

(2)若f ＝，且α为第三象限的角，求sin α＋cos α的值．

20．(12分)求证：sin3αsin 3α＋cos3αcos 3α＝cos32α.

21．(12分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．

22．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

(2)若f ＝，求cos的值．

答案：：

一、单项选择题

1．答案：B

解析：∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选：B

2.答案：　A

解析：　sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－cos(40°＋50°)＝0.故选：A

3.答案：　D

解析：　由角α终边上一点M的坐标为(1，)，

得sin α＝，cos α＝，

故sin 2α＝2sin αcos α＝，故选：D.

4.答案：　D

解析：　∵ cos α＝，cos(β－α)＝，且0<β<α<π，

∴－π<β－α<0，

∴sin α＝＝，sin(β－α)＝－＝－，

∴cos β＝cos[(β－α)＋α]

＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α

＝×－×＝，故选：D.

5.答案：　D

解析：　∵<α<2π，∴<<π，

∴ ＝

＝＝

＝＝＝－cos .故选：D.

6．答案：　B

解析：　因为f(x)＝cos x

＝cos x＋sin x＝2sin，0≤x<，

所以当x＝时，f(x)取得最大值2.故选：B

7．答案：　A

解析：　tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝

＝＝.故选：A

8．答案：　B

解析：　因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，将其图象向左平移个单位长度，

得到g(x)＝2sin＝－2sin 2x，

由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

所以g(x)的单调递减区间是(k∈Z)，故选：B.

二、多项选择题

9．答案：　ABC

解析：　由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos2θ－1＋cos θ＝0，

所以cos θ＝－1或.

当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；

当cos θ＝时，有sin θ＝±.

于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或或－.故选：ABC

10．答案：　CD

解析：　因为cos α＝－，

所以sin α＝±＝±，

所以tan α＝±.

当tan α＝时，tan＝＝；

当tan α＝－时，tan＝＝7. 故选： CD

11．答案：　AB

解析：　对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝.

对于B，sin sin ＝sin cos ＝＝＝.

对于C，原式＝＝＝＝＝4.

对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)

＝－cos 30°＝－.故选：AB

12． 答案：　BCD

解析：　∵f(x)＝sin 2x＋

＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋.

∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π.

当x＝－时，sin＝－1，∴x＝－为对称轴．

当x∈时，2x－∈，

∴f(x)在上单调递增，综上有BCD正确，A不正确．故选： BCD

三、填空题

13．答案：　－

解析：　cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)]

＝－cos(45°＋α)＝－.故填：－

14．答案：　－

解析：　因为3sin x－cos x

＝2＝2sin，

因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.故填：－

15．答案：　－2

解析：　f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a

＝2sin＋a＋1.

∵x∈，∴2x＋∈.

∴sin∈，

∴f(x)min＝2×＋a＋1＝a.∴a＝－2.故填：-2

16． 答案：　－

解析：　∵sinsin＝，

∴sin·cos＝，

sin＝，即cos 2α＝.

又α∈，2α∈(π，2π)，

∴sin 2α＝－＝－ ＝－，

∴＝

＝＝－.故填：　－

四、解答题

17．解： (1)因为f ＝3，

所以sin－acos＋a＝3，

所以＋＋a＝3，即＋a＝3，解得a＝1.

(2)由(1)可得f(x)＝sin 3x－cos 3x＋1

＝2sin＋1，

则f(x)的最小正周期为T＝.

令2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得－≤x≤＋，k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

18． 解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝

＝2cos x(sin x－cos x)

＝sin 2x－cos 2x－1

＝sin－1，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)函数y＝sin x的单调递减区间为

(k∈Z)．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

19．解：(1)根据题意可知，A＝2，＝－＝，

∴T＝＝π，解得ω＝2.

又f ＝0，∴sin＝0，而|φ|<，

∴φ＝－.

∴f(x)＝2sin.

(2)由f ＝可得，2sin 2α＝，即sin 2α＝.

∵α为第三象限的角，

∴sin α＋cos α

＝－＝－＝－.

20．证明：左边＝sin2αsin αsin 3α＋cos2αcos αcos 3α

＝sin αsin 3α＋cos αcos 3α

＝(sin αsin 3α＋cos αcos 3α)＋cos 2α(－sin αsin 3α＋cos αcos 3α)

＝cos(α－3α)＋cos 2αcos(3α＋α)

＝cos 2α＋cos 2αcos 4α

＝cos 2α(1＋cos 4α)

＝cos 2α·2cos22α＝cos32α＝右边．

21．解： (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，

所以T＝π，

又x∈，所以2x＋∈，

由函数图象知f(x)∈[－1,2]，即最大值为2，最小值为－1.

(2)由题意sin＝，

而x0∈，所以2x0＋∈，

所以cos＝－＝－，

所以cos 2x0＝cos＝－×＋×＝.

21．解： (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，

所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，

所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，

由－≤φ<，得k＝0，

所以φ＝－＝－.

(2)由(1)得f ＝sin＝，

所以sin＝.

由<α<得0<α－<，

所以cos＝

＝＝.

因此cos＝sin α

＝sin

＝sincos ＋cossin 

＝×＋×＝.