初中数学1.3.1 有理数的加法精品课后作业题

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1.3.1有理数的加法 有理数的加法定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．注意：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．题型1：有理数的加法的辨析1.下列说法正确的是（   ）A.两个有理数的和一定大于任何一个加数B.若两个有理数的和为正数，则这两个有理数都是正数C.若两个有理数的和为零，则这两个有理数一定互为相反数D.异号两个有理数相加，和有可能是正数也有可能是负数【解答】A.不正确，例如，（-3）+1=-2，（-3）＋（-1）=-4，（-3）＋0=-3，它们的和都不是大于两个加数.B.不正确，例如，（-2）+3=1，0+2=2，它们的和是正数，但两个加数不都是正数.C.正确.D.不正确，异号两个数相加的和还有可能为0. 答案C【变式1-1】如果a、b异号，且a+b＜0，则下列结论正确的是（　　）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数都是负数或一正一负，且负数的绝对值大．综合两个条件可选出答案．【解答】解：∵a+b＜0，∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大，∵a，b异号，∴a、b异号，且负数的绝对值较大．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的乘法和加法，解题的关键是熟练掌握计算法则，正确判断符号．【变式1-2】对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（　　）①若a+b＝0，则a与b互为相反数；②若a+b＜0，则a与b异号；③a+b＞0，则a与b同号时，则a＞0，b＞0；④|a|＞|b|且a、b异号，则a+b＞0；⑤|a|＜b，则a+b＞0．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】①根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，若a+b＝0，移项可得a＝﹣b，满足相反数的定义，故a与b互为相反数，本选项正确；②举一个反例满足a+b＜0，可以取a与b同时为负数满足条件，但a与b不异号，本选项错误；③根据条件可得a+b大于0，且a与b同号，可得a与b只能同时为正，进而得到a、b大于0，本选项正确；④举一个反例，a与b两数都为负数，a的绝对值大于b的绝对值满足条件，但是a+b小于0，本选项错误；⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确．【解答】解：①若a+b＝0，则a＝﹣b，即a与b互为相反数，本选项正确；②若a+b＜0，若a＝﹣1，b＝﹣2，a+b＝﹣3＜0，但是a与b同号，本选项错误；③a+b＞0，若a与b同号，只有同时为正，故a＞0，b＞0，本选项正确；④若|a|＞|b|，且a，b同号，例如a＝﹣3，b＝﹣2，满足条件，但是a+b＝﹣5＜0，本选项错误．⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确；则正确的结论有3个．故选：A．题型2：有理数加法的计算2.计算：（1）（－17）+7（2）（－14）－（－39）【答案】（1）解：（-17）+7；=-（17-7）=-10；（2）解：（-14）-（-39）=-14+39=25．【解析】【分析】（1）利用有理数的加法的计算方法求解即可；（2）利用有理数的减法的计算方法求解即可。 【变式2-1】计算：【答案】解：== = 【解析】【分析】利用有理数的加减法则计算求解即可。【变式2-2】   （1）（+ ）+（﹣ ）  （2）（﹣10.5）+（﹣1.3）（3）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13）（4）|﹣45|+（﹣71）+|﹣5|+（﹣9）【答案】（1）解：原式= = ；（2）解：原式=-10.5-1.3 =-11.8；（3）解：原式=-20-14-18+13 =-39；（4）解：原式=45-71+5-9 =-30【解析】【分析】利用有理数的运算法则进行计算即可得出结论。运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)注意：交换加数的位置时，不要忘记符号．题型3：有理数的加法运算律3.（相反数结合）【分析】先找相反数，然后利用加法的交换律和结合律将相反数结合计算.【解答】解：原式 【变式3-1】（同号结合） 计算∶43+（-77）+37+（-23）.【分析】先把正数、负数分别结合，再计算. 【解答】解∶原式=（43+37）+[（-77）＋（-23）]=80+(-100)=-20.【变式3-2】（同形结合）计算【分析】观察将同分母的分数通过交换结合在一起计算.【解答】解：原式【变式3-3】（凑整结合）【解答】解：原式【变式3-4】（拆项结合）计算：         【分析】先把带分数拆成整数与真分数之和，将整数和真分数分别相加，再求和.【解答】解：（1）原式                                                               （2）原式                              知识总结：相反数结合法：如果加数中有互为相反数的两个数，可以先将这两个数结合再进行运算；同号结合法：在有理数的加法运算先将所有的正数结合在中，一起、所有的负数结合在一起，分别相加，再求和的计算方法；同形结合法：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结合在一起，以达到简便运算的效果；凑整法：多个有理数相加时，如果既有分数，又有小数，一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式，把能凑成整数的数结合在一起，可以使计算简便；拆项结合法：在有理数的加法计算中，可以先把带分数拆分成整数和真分数的和，再把整数和真分数分别结合相加，但拆数时应特别注意符号问题.这种方法简称“拆项结合法”；一个带分数在拆成一个整数和一个真分数时，有两种拆分法，一种拆成同号，一种拆成异号.题型4：有理数加法分类思想4.已知 ， ， ，求 的值   【答案】∵∴∵ ， ∴∴∴ .【解析】【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则求出 的值，再代入求解即可.【变式4-1】如果 ，且 ，求 的值.  【答案】解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ；当 时， ；当 时， ；故 或13.  【解析】【分析】利用绝对值的性质可求出a，b的值，再根据a＜b，可确定出a，b的值，然后分别求出a+b的值. 【变式4-2】已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a+b+c的值．【分析】根据绝对值的性质，求出a、b、c的大致取值，然后根据a、b、c的大小关系，进一步确定a、b、c的值，然后代值求解即可．【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，∴a＝±1，b＝±2，c＝±3，∵a＞b＞c，∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3或a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴a+b+c＝﹣6，或a+b+c＝1﹣2﹣3＝1﹣5＝﹣4．故答案为：﹣6或﹣4．【点评】此题主要考查的是绝对值的性质和有理数的加法，能够正确的判断出a、b、c的值，是解答此题的关键．题型5：有理数加法规律题5.从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a,b,c的值，计算a+b-c的值是　     　.【答案】14【解析】【解答】解：a=（-4）+11=7，c=11+（-15）=-4，b=a+c=7+（-4）=3，∴a+b-c=7+3-（-4）=14.【分析】找出图①的规律，列式计算出a，b，c的值，再计算a+b-c的值，即可得出答案.【变式5-1】已知1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，按此规律，1+3+5+…+19=    【分析】由该一连串的等式可以看出从1开始n个连续的奇数的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19=102，即从1开始10个连续的奇数相加．【解答】解：由1+3=22，从1开始连续2个奇数相加；1+3+5=32，从1开始连续3个奇数相加；1+3+5+7=42，从1开始连续4个奇数相加；…所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19=102=100．故答案为：100．【点评】本题是规律型的，从1开始连续2个奇数和等于22，连续3个的和为32，连续4个为42，可以得出连续n个的和为n2的规律． 题型6：有理数加法的应用6.10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7.10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？   【答案】解：本题考查了有理数的运算在实际中的应用，“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；求10袋大米的总重量，可以用10×50加上正负数的和即可.  （+0.5）+（+0.3）+0+（-0.2）+（-0.3）+（+1.1）+（-0.7）+（-0.2）+（+0.6）+（+0.7）=1.8（千克），50×10+1.8=501.8（千克）.【解析】【分析】由题意，先求出记录的各数据的和（即为超过（或不足）质量），根据总质量=标准质量×抽取的袋数+超过（或不足）质量即可求解.【变式6-1】将0，1，2，3，4，5，6这7个数分别填入图中的7个空格内，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数相加的和都等于6.【答案】解：根据分析可得  【解析】【分析】根据幻和是6，可得中心数是：6÷3=2；那么对角线、第二行、第二列剩下两个数的和就为：6-2=4；所以只要凑成：-1+5=1+3=6+（-2）=4，然后稍微调整一下即可得出答案．【变式6-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能；（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10），＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10，＝28﹣28，＝0，∴王先生最后能回到出发点1楼；（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|），＝3×（6+3+10+8+12+7+10），＝3×56，＝168（m），∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方． 一、单选题1．|﹣3+1|=（　　）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【答案】C【解析】【解答】解：|﹣3+1|=|﹣2|=2，故选：C．【分析】先计算符号内的加法，再根据绝对值性质得出答案．2．计算 的值是（　　）  A． B．6 C． D．12【答案】C【解析】【解答】解： ， 故答案为：C．【分析】利用有理数的加法法则计算求解即可。3．计算﹣2+3的结果是（　　）   A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6【答案】A【解析】【解答】解：因为﹣2，3异号，且|﹣2|＜|3|，所以﹣2+3=1.故答案为：A.【分析】根据异号两数相加的法则进行计算即可.4．在一竞赛中，老师将90分规定为标准成绩，记作0分，高出此分记为正，不足此分记为负，五名参赛者的成绩：+1，-2，+10，-7，0．那么（　　）A．最高成绩为90分 B．最低成绩为88分      C．平均分为90分 D．平均分为90.4分【答案】D【解析】【解答】平均分为：90+ [1+（-2）+10+（-7）+0]=90.4．故答案为：D．【分析】根据题意得到五名参赛者的成绩的平均分是90+【1+（-2）+10+（-7）+0】÷5，最高成绩是90+10，最低成绩90+（-7）.5．化简﹣2+3的结果是（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【答案】B【解析】【解答】解：原式=+（3﹣2）=+1，故答案为：B．【分析】根据有理数的加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值；计算即可.6．一天早晨的气温是－7℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（　　）A．18℃ B．11℃ C．4℃ D．－11℃【答案】C【解析】【分析】根据中午的气温比早晨上升了11℃，可知中午的气温=早晨的气温+11℃．【解答】中午的气温是：-7+11=4℃．故选C．【点评】本题考查有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数二、填空题7．绝对值不大于2.5的整数有　           　，它们的和是　     　 .   【答案】±2，±1,0；0【解析】【解答】解：绝对值不大于2.5的整数就是在-2.5和2.5之间的整数，有±2，±1,0共5个，它们的和为0.故答案为：±2，±1,0；0.【分析】首先结合绝对值的意义判断绝对值不大于2.5的整数，即绝对值等于0、1、2的整数；然后根据绝对值的性质“正数的绝对值就是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值就是零”，求出绝对值不大于2.5的整数有哪些即可求解． 8．有理数的加法法则：同号相加时，取 　     　  的符号，并把它们的绝对值相加.【答案】相同【解析】【解答】有理数的加法法则：同号相加时，和应该取相同的符号【分析】考查有理数的加法法则9．计算：﹣2+3=　     　．  【答案】1【解析】【解答】解：﹣2+3=1．故答案为：1．【分析】根据有理数的加法法则，从而得出结果．10．计算：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+50=　     　．  【答案】25【解析】【解答】解：原式=（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣49+50）  =1+1+…+1=25．故答案为：25．【分析】原式结合后，相加即可得到结果．11．计算|-6+2|的结果是　     　．【答案】4【解析】【解答】|-6+2|=|-4|=4，故答案为：4．【分析】根据有理数的加法法则，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值；再求出和的绝对值.三、计算题12．计算下列各式：（1）（﹣1.25）+（+5.25）（2）（﹣7）+（﹣2）【答案】解；（1）（﹣1.25）+（+5.25）=5.25﹣1.25=4；（2）（﹣7）+（﹣2）=﹣（7+2）=﹣7【解析】【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答；（2）根据有理数的加法法则计算，即可解答；13．用适当方法计算：（1） ；   （2）（3） ；      （4） ．  【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ；（4）解：原式 ．  【解析】【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律求解即可；（2）利用加法交换律和加法结合律求解即可；（3）利用加法计算法则求解即可；（4）利用加法计算法则求解即可。四、解答题14．数轴上的一点由原点出发，向左移动2个单位长度后又向左移动了4个单位，两次共向左移动了几  个单位？【答案】解答：（－2）＋（－4）＝－6，所以一共移动了6个单位【解析】注意在数轴上向左移动是减、向右移动是加15．已知 ， ，且 ，求 的值．  【答案】解：∵|x|=4，|y|=5， ∴x=±4，y=±5；∵x＞y，∴x=±4，y=-5．当x=4，y=-5时，x+y=-1；当x=-4，y=-5时，x+y=-9．故x+y的值是-1或-9．【解析】【分析】根据绝对值的性质可得x=±4，y=±5，再根据x>y，可以得到x=±4，y=-5，再将x、y的值代入计算即可。16．弘文中学定于十一月份举行运动会，组委会在整修百米跑道时，工作人员从A处开工，约定向东为正，向西为负，从开工处A到收工处B所走的路线（单位：米），分别为+10、﹣3、+4、﹣2、+13、﹣8、﹣7、﹣5、﹣2，工作人员整修跑道共走了多少路程？【答案】解：|+10|+|﹣3|+|+4|+|﹣2|+|+13|+|﹣8|+|﹣7|+|﹣5|+|﹣2|，=10+3+4+2+13+8+7+5+2，=54米．【解析】【分析】先将这些数的绝对值相加，即得工作人员整修跑道的总路程．