山东省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题中档题

这是一份山东省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题中档题，共75页。试卷主要包含了【情境再现】，【图形定义】等内容，欢迎下载使用。

山东省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题中档题
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
2．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．

三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2022•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．

四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
4．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
五．二次函数的应用（共3小题）
5．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
6．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？


7．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

六．二次函数综合题（共1小题）
8．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
【观察发现】
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．


七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．

【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．

八．三角形综合题（共1小题）
10．（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　 　；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　 　，S△CDE＝　 　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　 　．

九．菱形的性质（共2小题）
11．（2022•济南）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

12．（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证AE＝EF．

一十．矩形的性质（共1小题）
13．（2022•威海）（1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
（2）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积．

一十一．四边形综合题（共2小题）
14．（2022•青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 　 　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

15．（2022•临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．

一十二．切线的性质（共1小题）
16．（2022•济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．

一十三．切线的判定与性质（共3小题）
17．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

18．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．

19．（2022•聊城）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．

一十四．作图—复杂作图（共1小题）
20．（2022•烟台）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．

一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
21．（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？


一十六．相似三角形的判定与性质（共3小题）
22．（2022•济宁）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．

23．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

24．（2022•滨州）如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M．
求证：（1）PD是⊙O的切线；
（2）AM2＝OM•PM．

一十七．解直角三角形的应用（共2小题）
25．（2022•济宁）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA＝，sinB＝
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

26．（2022•威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．

一十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
27．（2022•烟台）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）

（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）

11.310

0.003

14.744

0.005
一十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）
28．（2022•枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题
测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量步骤
如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；
（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

29．（2022•日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．

30．（2022•聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

31．（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：

活动内容
测量主塔顶端到桥面的距离
成员
组长：×××组员××××××××××××
测量工具
测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．
测量数据
∠A的大小
28°
AC的长度
84m
CD的长度
12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

二十．频数（率）分布直方图（共2小题）
32．（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别
时长t（单位：h）
人数累计
人数
第一组
1≤t＜2
正正正正正正
30
第二组
2≤t＜3
正正正正正正正正正正正正
60
第三组
3≤t＜4
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四组
4≤t＜5
正正正正正正正正
40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 　 　组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 　 　，对应的扇形圆心角的度数为 　 　°；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

33．（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2

（1）图1中，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 　 　内的可能性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．
二十一．折线统计图（共1小题）
34．（2022•聊城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．

众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
7
8
1.88
九年级竞赛成绩
a
8
b
①表中的a＝　 　，b＝　 　；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？

二十二．列表法与树状图法（共3小题）
35．（2022•济宁）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝　 　，a＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．

36．（2022•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．

请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝　 　，y＝　 　，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 　 　，众数是 　 　；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
37．（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　 　，所抽取学生成绩的中位数落在 　 　组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．



山东省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题中档题
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；
（2）设购买m个篮球，则购买排球（300﹣m）个排球，
依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤10，
答：最多可以购买10个篮球．
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
2．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．

【解答】解：（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝，
∴AC＝2OC，
∵OA＝2，
由勾股定理得：（2）2＝OC2+（2OC）2，
∴OC＝2，AC＝4，
∴A（2，4），
∵B是OA的中点，
∴B（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）当x＝2时，y＝1，
∴D（2，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∵S△OBD＝S△OAD﹣S△ABD
＝×3×2﹣×3×1
＝1.5．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2022•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．

【解答】解：（1）∵直线y＝px+3与y轴交点为B，
∴B（0，3），
即OB＝3，
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB＝＝3，
∵S△AOB：S△COD＝3：4，
∴S△COD＝4，
设C（m，），
∴m•＝4，
解得k＝8，
∵点A（2，q）在双曲线y＝上，
∴q＝4，
把点A（2，4）代入y＝px+3，
得p＝，
∴k＝8，p＝；
（2）∵C（m，），
∴E（m，m+3），
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE＝S△COE，
∵S△BOE＝，S△COE＝（）﹣4，
∴＝（）﹣4，
解得m＝4或m＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
4．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
五．二次函数的应用（共3小题）
5．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4；
（2）设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，x为正整数，且|6﹣|＞|7﹣|，
∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7﹣）2+＝140（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
6．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？


【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，
∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，
∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴点B的坐标为（50，15），
∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∴，
解得，
即b的值是，c的值是65；
（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，
因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，
∴，
解得，
即x关于t的函数解析式是x＝10t；
②设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，
∴，
解得，
即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，
则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，
∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，
∵25＜50，
∴x＝25时，h取得最值，符合题意，
将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，
解得t＝2.5，
即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．

7．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

【解答】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（47﹣2x+1）m，由题意可得：
y＝x（47﹣2x+1），
即y＝﹣2（x﹣12）2+288，
∵﹣2＜0，
∴当x＝12时，y有最大值为288，
当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），
∴鸡场的最大面积为288m2．
六．二次函数综合题（共1小题）
8．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
【观察发现】
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．


【解答】解：y＝﹣x2（答案不为唯一）；
【观察发现】
如图：
【思考交流】
∵抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，
∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，
例如：y＝﹣x2；
∴小亮的说法不正确；
∵抛物线不经过第一象限，
∴抛物线的图象一定在x轴的下方，
∴小莹的说法不正确；
【概括表达】
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵经过点（﹣1，﹣1），
∴a﹣b+c＝﹣1且a＜0，
①当对称轴在y轴右侧时，即b＞0，此时顶点在x轴上或x轴下方，
∴Δ＝b2﹣4ac≤0，即b2≤4ac，
∴ac≥0，
∵a＜0，
∴c≤0，
∵2ac≤a2+c2，
∴4ac≤（a+c）2＝（b﹣1）2，
∴b2≤（b﹣1）2，
解得b≤；
②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，b≤0，只需保证与y轴交点在x轴上或x轴下方，
∴c≤0；
综上所述：a＜0，b≤，c≤0，且a﹣b+c＝﹣1．

七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．

【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．

【解答】【情境再现】
证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，
∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，
∴∠BEH＝∠AFG，
∵OH＝OG，
∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，
在△BHE和△AGF中，
，
∴△BHE≌△AGF（SAS），
∴BH＝AG；
【迁移应用】
解：猜想：DG⊥BH；证明如下：
由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，
∴∠BHE＝∠AGF，
∵∠HOG＝90°，
∴∠AGF+∠GPO＝90°，
∴∠BHE+∠GPO＝90°，
∵∠GPO＝∠HPD，
∴∠BHE+∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝90°，
∴DG⊥BH；
【拓展延伸】
解：猜想：BH＝AG，证明如下：
设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：

由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，
∴△BOT∽△AOK，
∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，
∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，
∵OH＝GO，
∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，
∴＝＝，
∴△BTH∽△AKG，
∴＝＝，
∴BH＝AG．
八．三角形综合题（共1小题）
10．（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　3：4　；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　　，S△CDE＝　　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　　．

【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；

（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；

（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，
故答案为：．
九．菱形的性质（共2小题）
11．（2022•济南）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADF＝∠CDE，
∴∠ADF﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
12．（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证AE＝EF．

【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×＝5，
∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5＝50，
即菱形ABCD的面积是50；
（2）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．

一十．矩形的性质（共1小题）
13．（2022•威海）（1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
（2）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积．

【解答】解：（1）①四边形AGCH是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵S平行四边形AGCH＝GC•AB＝AG•CF，AB＝CF，
∴GC＝AG，
∴平行四边形AGCH是菱形；
②由①可知，GC＝AG，
设GC＝AG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△ABG中，AB＝4，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴GC＝5，
∴S菱形AGCH＝GC•AB＝5×4＝20；
（2）设GC＝a，则BG＝7﹣a，
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵∠AGB＝∠CGF，∠B＝∠F，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝，
即＝，
解得：AG＝2a，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：（2）2+（7﹣a）2＝（2a）2，
解得：a＝3或a＝﹣（不合题意舍去），
∴CG＝3，
∴S平行四边形AGCH＝CG•AB＝3×2＝6．
一十一．四边形综合题（共2小题）
14．（2022•青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 　①　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

【解答】（1）证明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，理由如下：

由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝，
∴AE＝AF，
∴▱AECF是菱形；
若选择条件②：
四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC交BD于点O，

由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴▱AECF是菱形．
故答案为：①（答案不唯一）．
15．（2022•临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．

【解答】（1）证明：连接BD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∵点B、D关于直线AC对称，
∴DC＝BC，AD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
∵将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
∴PQ＝PD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，如图
则∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，
而PF⊥AB，
∴∠APF＝∠EPF，
∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，
∴PQ＝PD，
而PF⊥AB，
∴∠QPF＝∠BPF，
∴∠QPF﹣∠APF＝∠BPF﹣∠EPF，
即∠QPA＝∠BPE，
∴∠DPQ＝∠DPA﹣∠QPA＝∠BPA﹣∠BPE＝∠APE＝60°；
（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQ＝CP，证明如下：
∵AC＝AB，AP＝AE，
∴AC﹣AP＝AB﹣AE，
即CP＝BE，
∵AP＝EP，PF⊥AB，
∴AF＝FE，
∵PQ＝PD，PF⊥AB，
∴QF＝BF，
∴QF﹣AF＝BF﹣EF，
即AQ＝BE，
∴AQ＝CP．


一十二．切线的性质（共1小题）
16．（2022•济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∴∠A＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝12，
∴BC＝AB＝6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴BF＝BC•sin45°＝6×＝3，
∴线段BF的长为3．

一十三．切线的判定与性质（共3小题）
17．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6cm，
∴AC＝12cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即＝，
∴AD＝cm．
18．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
19．（2022•聊城）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．

【解答】（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF＝∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6，
∴AF＝＝8，
∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
解得r＝，
在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝8，AO＝，
∴OF＝＝，
∴FD＝OF﹣OD＝﹣，
即FD的长为﹣．
一十四．作图—复杂作图（共1小题）
20．（2022•烟台）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．

【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；


（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cos30°＝，
∴BC＝2．
一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
21．（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？


【解答】解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝＝＝4（cm），
由题意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（4﹣t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图②，
AP＝tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，
∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，
∴BD＝（4﹣t）cm，
∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，
在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，
在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PQ＝PC，
∴t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∴t1＝，t2＝4（舍去）．
∴当t的值为时，四边形QPCP′为菱形．


一十六．相似三角形的判定与性质（共3小题）
22．（2022•济宁）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：连接OF，如图：

∵＝，
∴∠DOA＝∠FOD，
∵OA＝OF，OD＝OD，
∴△DAO≌△DFO（SAS），
∴∠DAO＝∠DFO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°＝∠DFO，
∴OF⊥DF，
又OF是半圆O的半径，
∴DF与半圆O相切；
（2）解：连接AF，如图：

∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，
∴DO⊥AF，
∵AB为半圆直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF⊥AF，
∴DO∥BF，
∴∠AOD＝∠ABF，
∵∠OAD＝∠AFB＝90°，
∴△AOD∽△FBA，
∴＝，即＝，
∴DO＝，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝，
∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，
答：矩形ABCD的面积是．
23．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

【解答】（1）证明：如图，

在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△BOF，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠BFA＝∠OFB，
∴△BAF∽△BOF；
（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．
又∵∠OFB＝∠BFA，
∴△OBF∽△BFA．
∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，
∴△OBF∽△ECF．
∴，
∴，即3CF＝2BF，
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴，
∴BF2＝OF•AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），
∴DE＝BE＝2+1+＝3+．
24．（2022•滨州）如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M．
求证：（1）PD是⊙O的切线；
（2）AM2＝OM•PM．

【解答】证明：（1）连接OB，如图所示，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠CAB+∠OCB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD+∠OCB＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴PD是⊙O的切线；
（2）由（1）知PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMP＝∠AMO＝90°，
∴∠APM+∠PAM＝90°，
∵∠OAP＝90°，
∴∠PAM+∠OAM＝90°，
∴∠APM＝∠OAM，
∴△OAM∽△APM，
∴，
∴AM2＝OM•PM．

一十七．解直角三角形的应用（共2小题）
25．（2022•济宁）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA＝，sinB＝
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

【解答】解：拓展探究
如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，

在Rt△ABE中，sinB＝，
同理：sinB＝，
sin，
sin，
∴AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴，，
∴；
解决问题
在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵，
∴，
∴AB＝30，
∴点A到点B的距离为30．
26．（2022•威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．

【解答】解：过点M作MN⊥AB，垂足为N，

设MN＝x米，
在Rt△ANM中，∠MAB＝22°，
∴AN＝≈＝x（米），
在Rt△MNB中，∠MBN＝67°，
∴BN＝≈＝x（米），
∵AB＝50米，
∴AN+BN＝50，
∴x+x＝50，
∴x≈17.1，
∴这段河流的宽度约为17.1米．

一十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
27．（2022•烟台）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）

（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）

11.310

0.003

14.744

0.005
【解答】解：如图：

由题意得：
DF＝AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴＝，＝，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，
查表可得，∠AEB≈11.310°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．
一十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）
28．（2022•枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题
测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量步骤
如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；
（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

【解答】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
29．（2022•日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．

【解答】解：（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：

根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，
∴AF＝AB＝135（m），
∵BC的坡度i＝1：2.4，
∴BE：CE＝1：2.4，
设BE＝tm，则CE＝2.4tm，
∵BE2+CE2＝BC2，
∴t2+（2.4t）2＝2602，
解得t＝100（m），（负值已舍去），
∴h＝AF+BE＝235（m），
答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，
根据题意得：＝，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，也符合题意，
∴x+35＝50，
答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
30．（2022•聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【解答】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，
由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，
在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，
∴tan∠EAM＝，
∴AM＝＝≈＝12米，
∴BH＝AM＝12米，
∵BD＝20，
∴DH＝BD﹣BH＝8米，
∴CN＝8米，
在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，
∴tan∠ECN＝，
∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，
∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），
即古槐的高度约为13米．

31．（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：

活动内容
测量主塔顶端到桥面的距离
成员
组长：×××组员××××××××××××
测量工具
测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．
测量数据
∠A的大小
28°
AC的长度
84m
CD的长度
12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

【解答】解：延长EF交AB于点G，
∵EF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠EGA＝90°，
∵点A，C分别与点B，D关于直线EF对称，
∴CG＝DG，
∵AC＝84m，CD＝12m，
∴CG＝6m，
∴AG＝AC+CG＝84+6＝90（m），
∵∠A＝28°，tanA＝，
∴tan28°＝，
解得EG≈47.7，
即主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．

二十．频数（率）分布直方图（共2小题）
32．（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别
时长t（单位：h）
人数累计
人数
第一组
1≤t＜2
正正正正正正
30
第二组
2≤t＜3
正正正正正正正正正正正正
60
第三组
3≤t＜4
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四组
4≤t＜5
正正正正正正正正
40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 　三　组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 　30%　，对应的扇形圆心角的度数为 　108　°；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下：

（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：；
对应的扇形圆心角的度数为：360°×30%＝108°，
故答案为：30%；108；
（4）2200×＝330（人），
答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．
33．（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2

（1）图1中，a＝　2　，b＝　3　；
（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 　D　内的可能性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．
【解答】解：（1）由题意a＝2，b＝3，
故答案为：2，3；

（2）由频数分布直方图可知落在815≤W＜820的可能性最大，
故选：D；

（3）从小麦的产量或产量的稳定性的角度，应推荐种植乙种小麦．
理由：从折线图可以看出乙的离散程度比较小．
二十一．折线统计图（共1小题）
34．（2022•聊城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．

众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
7
8
1.88
九年级竞赛成绩
a
8
b
①表中的a＝　8　，b＝　1.56　；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？

【解答】解：（1）由题意得：
八年级成绩的平均数是：（6×7+7×15+8×10+9×7+10×11）÷50＝8（分），
九年级成绩的平均数是：（6×8+7×9+8×14+9×13+10×6）÷50＝8（分），
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数a＝8分；
九年级竞赛成绩的方差为：s2＝×[8×（6﹣8）2+9×（7﹣8）2+14×（8﹣8）2+13×（9﹣8）2+6×（10﹣8）2]＝1.56，
故答案为：8；1.56；
②如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖；如果从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖；
综上所述，应该给九年级颁奖．
（3）八年级的获奖率为：（10+7+11）÷50＝56%，
九年级的获奖率为：（14+13+6）÷50＝66%，
∵66%＞56%，
∴九年级的获奖率高．
二十二．列表法与树状图法（共3小题）
35．（2022•济宁）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝　40　，a＝　0.25　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．

【解答】解：（1）a＝1﹣0.05﹣0.375﹣0.275﹣0.05＝0.25；
n＝2÷0.05＝40；
故答案为：40，0.25；
（2）频数分布直方图如图示：

（3）78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05＝88.125，
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
（4）用a，b表示成绩在75.5≤x＜80.5的学生，用m，n表示成绩在95.5≤x＜100.5的学生，树状图如下：

选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率为：＝．
36．（2022•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．

请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝　30%　，y＝　16%　，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 　95　，众数是 　94　；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
【解答】解：（1）被调查的总人数为4÷8%＝50（人），
∴优秀对应的百分比y＝×100%＝16%，
则一般对应的人数为50﹣（4+23+8）＝15（人），
∴其对应的百分比x＝×100%＝30%，
补全图形如下：

故答案为：30%，16%．
（2）将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为＝95，众数为94，
故答案为：95、94；
（3）估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%＝192（人）；
（4）画树状图为：

共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为＝．
37．（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　400　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　60　，所抽取学生成绩的中位数落在 　D　组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．


【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，20+96+60＝176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：

（3）3000×＝1680（人），
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为＝．


菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序