山东省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-08解答题提升题

这是一份山东省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-08解答题提升题，共63页。试卷主要包含了，与y轴交于点B，，连接AC、BC，x﹣1与x轴有公共点等内容，欢迎下载使用。

山东省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-08解答题提升题
一．反比例函数的应用（共1小题）
1．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•济南）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．

三．二次函数综合题（共10小题）
3．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．


4．（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值．

5．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．

7．（2022•济宁）已知抛物线C1：y＝﹣（m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2（如图所示），抛物线C2与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）在（2）的条件下，D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．

8．（2022•日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

9．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．


11．（2022•威海）探索发现
（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
归纳概括
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），　 　．
12．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．


四．三角形综合题（共4小题）
13．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．


14．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

15．（2022•济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 　 　；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

16．（2022•威海）回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
探究：用数学的语言表达
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

五．四边形综合题（共1小题）
17．（2022•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．


六．圆的综合题（共1小题）
18．（2022•泰安）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．


七．几何变换综合题（共1小题）
19．（2022•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 　 　；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．


八．相似形综合题（共1小题）
20．（2022•烟台）【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
（1）求的值；
（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．



山东省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-08解答题提升题
参考答案与试题解析
一．反比例函数的应用（共1小题）
1．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝（x≥3）；
（3）当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•济南）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．

【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，
，
∴a＝4，
把x＝4，y＝3代入y＝得，
3＝，
∴k＝12；
（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，
把y＝6代入y＝得x＝2，
∴C（2，6），
①如图1，

作CD⊥x轴于D，交AB于E，
当x＝2时，y＝＝2，
∴E（2，2），
∵C（2，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴xA＝＝8；
②如图2，

当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵A（0，1），B（4，3），点Q的纵坐标为0，
∴yP＝1+3﹣0＝4，
当y＝4时，4＝，
∴x＝3，
∴P（3，4），
当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），
由yQ﹣yB＝yP′﹣yA得，
0﹣1＝yP′﹣3，
∴yP′＝2，
当y＝2时，x＝＝6，
∴P′（6，2），
综上所述：P（3，4）或（6，2）．
三．二次函数综合题（共10小题）
3．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；
（2）点D的坐标为（﹣8，8），理由：
将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，

过点D作DE⊥x轴于点E，
∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．
∵，，
∴．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO．
∵∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，
∴点D，C，B三点在一条直线上．
由轴对称的性质得：BC＝CD，AB＝AD．
∵OC⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥OC，
∴OC为△BDE的中位线，
∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，
∴D（﹣8，8）；
由题意得：S△ACD＝S△ABC，
∴四边形OADC的面积＝S△OAC+S△ADC
＝S△OAC+S△ABC
＝OC•OA+AB•OC
＝4×2+10×4
＝4+20
＝24；
（3）①当点P在BC上方时，如图，

∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣+x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，

设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴y＝﹣x+4．
∴，
解得：，．
∴P（，﹣）．
综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
4．（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值．

【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，
∴64a+22﹣6＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x﹣6，
当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0，
解得t＝3或t＝8（舍），
∴t＝3，
∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，
解得k＝，
∴y＝x﹣6；
（2）作PM⊥x轴交于M，
∵P点横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m﹣6），
∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴＝，即OA•MA＝CO•PM，
3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），
解得m＝3（舍）或m＝10，
∴P（10，﹣）；
（3）作PN⊥x轴交于BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，
∴PN＝﹣m2+m﹣6﹣（m﹣6）＝﹣m2+2m，
由△PQN∽△BOC，
∴＝＝，
∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，
∴QN＝PN，PQ＝PN，
由△CNE∽△CBO，
∴CN＝EN＝m，
∴CQ+PQ＝CN+NQ+PQ＝CN+PN，
∴CQ+PQ＝m﹣m2+2m＝﹣m2+m＝﹣（x﹣）2+，
当m＝时，CQ+PQ的最大值是．


5．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
＝PG•AE
＝×3×（﹣m2+5m﹣3）
＝﹣（m2﹣5m+3）
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，△OPE面积最大，
此时，P点坐标为（，﹣）；

（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），

∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；

（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1＝（舍）或m2＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，

如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1＝或m2＝（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m＝或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
方法二：做直线DE：y＝x﹣2，

E（1，﹣1）是D点（1，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小2倍得到，
易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，
联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，
解得x1＝，x2＝，
同理可得x3＝或x4＝；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
6．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．

【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；

（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∵PA＝PC，
∴＝，
∴p＝﹣1，
∴P（1，﹣1）；

（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
Ⅰ、当点M在第四象限时，

过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．

7．（2022•济宁）已知抛物线C1：y＝﹣（m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2（如图所示），抛物线C2与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）在（2）的条件下，D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．

【解答】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，
∴[﹣（m+1）]2﹣4×≥0，
∴﹣（m﹣1）2≥0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；、
（2）解：由题意得，抛物线C2的解析式为：y＝﹣（x+1﹣n）2+4，
当x＝0时，y＝﹣（1﹣n）2+4，
∴OC＝﹣（1﹣n）2+4，
当y＝0时，﹣（x+1﹣n）2+4＝0，
∴x1＝n+1，x2＝n﹣3，
∵点A在B点右侧，
∴OA＝n+1，
由OC＝OA得，
﹣（1﹣n）2+4＝n+1，
∴n＝2或n＝﹣1（舍去），
∴n＝2；
（3）证明：由（2）可得，
y＝﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0），C（0，3），
∴E（2，3），D（1，4），
设直线BE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴当x＝1时，y＝1+1＝2，
∴CG＝EG＝DG＝FG＝1，
∴四边形CDEF是菱形，
∵DF⊥CE，
∴四边形CDEF是正方形．
8．（2022•日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）解：把x＝3，y＝0代入y＝﹣x2+2mx+3得，
﹣9+6m+3m＝0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵y＝﹣x2+m（2x+3），
∴当2x+3＝0时，即x＝﹣时，
y＝﹣，
∴D（﹣，﹣）；
（3）如图，

连接OP，
设P（m，﹣m2+2m+3），
设PD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴ON＝﹣+3，
∵S＝S△PAM﹣S△BMN，
∴S＝（S△PAM﹣+S四边形AONM）﹣（S四边形AONM+S△BMN）＝S四边形AONP﹣S△AOB，
∵S四边形AONP＝S△AOP+S△PON＝+＝+（﹣＝﹣+m+，S△AOB＝＝，
∴S＝﹣+m＝﹣（m﹣1）2+，
∴当m＝1时，S最大＝，
当m＝1时，y＝﹣12+2×1+3＝4，
∴P（1，4）．
9．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，

作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
10．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．


【解答】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AD2＝20，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，

作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1FC，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
同理可得：，
∴，
∴OM＝3，
∴M（3，0），
设P（2，m），
当▱MNQP时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
当▱MNPQ时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
11．（2022•威海）探索发现
（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
归纳概括
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），　作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x＝1于Q，则QN∥AD　．
【解答】解：（1）①由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D（﹣1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3，
∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y＝2x，
设直线AD的解析式为y＝cx+d，
∴，
∴，
∴y＝2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y＝ex+f，
∴，
∴，
∴y＝﹣3x+1，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1+1＝﹣2，
∴H（1，﹣2），
设直线GH的解析式为：y＝gx+h，
∴，
∴，
∴y＝2x﹣4，
∴AD∥HG；
（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x＝1于Q，则QN∥AD，理由如下：
设M（m，﹣m2﹣2m+3），
设直线DM的解析式为y＝px+q，
∴，
∴，
∴y＝﹣（m+1）x+（﹣m+3），
∴当x＝1时，y＝﹣m﹣1﹣m+3＝﹣2m+2，
∴Q（1，﹣2m+2），
设直线NQ的解析式为：y＝ix+j，
∴，
∴，
∴y＝2x﹣2m，
∴QN∥AD．
12．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．


【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（0，﹣4），
∴c＝﹣4，
∵对称轴为直线x＝1，经过A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；

（2）①如图1中，

设直线AB的解析式为y＝kx+n，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵A，C关于直线x＝1对称，
∴C（4，0），
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，﹣2m﹣4），
∴NC＝4﹣m，
∵MN＝3NC，
∴2m+4＝3（4﹣m），
∴m＝，
∴点M（，﹣）；

②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），

∵四边形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，
∴PQ∥x轴，
∴E（t，﹣t﹣2），
∴NE＝t+2，
∴ON+EP＝ON+NE＝t+t+2＝2t+2，
∴P（2t+2，﹣t﹣2），
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣4上，
∴（2t+2）2﹣（2t+2）﹣4＝﹣t﹣2，
解得t1＝，t2＝﹣2，
∵点P在第四象限，
∴t＝﹣2舍去，
∴t＝，
∴点M坐标为（，﹣5）．


四．三角形综合题（共4小题）
13．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．


【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，

由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，

∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，BD'＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，AD＝B'D，
∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，
∴AB'＝AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，DH⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝4+1＝5，
∴AB'＝AD＝5．
14．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图：

在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，
∵EQ⊥AD，
∴∠AQE＝∠AED＝90°，
∵∠EAQ＝∠DAE，
∴△AQE∽△AED，
∴＝，即＝，
∴AQ＝，
∴t＝＝；
答：t的值为；
（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：

∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAM，
∵∠ACB＝90°＝∠AMC，
∴△ABC∽△CAM，
∴＝，即＝，
∴CM＝，
∴S△ACD＝AD•CM＝×5×＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，
∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，
∴△PBN∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PN＝t，
∴S△BCP＝BC•PN＝×3×t＝t，
∴S＝S四边形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ
＝14﹣t﹣（5﹣t）•t
＝t2﹣t+14；
答：S与t之间的函数关系式是S＝t2﹣t+14；
（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：
过C作CM⊥AD于M，如图：

由（2）知CM＝，
∴AM＝＝＝，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，
∵PQ∥CD，
∴∠AQP＝∠MDC，
∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，
∴△APQ∽△MCD，
∴＝，即＝，
解得t＝，
答：存在时刻t＝，使PQ∥CD．
15．（2022•济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 　（0，）或（0，2）　；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
当点P在线段AB上时，AD＝OD，
∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∵AC⊥y轴，
∴∠CAO＝∠AOB＝60°，
∴∠CAD＝∠OAC﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△AOC中，
AC＝OC•tan∠AOC＝＝1，OA＝2AC＝2，
在Rt△ACD中，
AD＝＝，
∴DO＝，
∴D（0，），
当点P在BA的延长线上时，OD＝OA＝2，
∴D（0，2），
故答案为：（0，）或（0，2）；
（2）①设OD＝x，则CD＝﹣x，
∵∠ACD＝∠DOM＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵DM⊥AD，
∴∠ADM＝90°，
∴∠ADC+∠ODM＝90°，
∴∠CAD＝∠ODM，
∴△ACD∽△DOM，
∴，
∴＝，
∴m＝x•（）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，m最大＝，
∴当m最大＝时，D（0，）；
②如图，

假设存在m，使BE＝BF，
作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，
∵BE＝BF，
∴GE＝GF，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∴AG＝OG，
∴AG﹣GE＝OG﹣GF，
即：AE＝OF，
由①知：m＝x，
∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90°，
∴四边形ACDQ是矩形，
∴AQ＝CD＝﹣x，
在Rt△AEQ中，
AE＝＝＝，
∴OF＝AE＝，
在Rt△OFH中，
HF＝＝，OH＝OF＝﹣x，
∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（﹣x），
∵HF∥OM，
∴△DHF∽△DOM，
∴，
∴＝，
∴x＝，
∴m＝＝2﹣＝．
16．（2022•威海）回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
探究：用数学的语言表达
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

【解答】（1）证明：①∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，
同理∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴BD＝CE；

②∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC，
同理BE＝AB，
∴BE＝CD，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴BD＝CE；

（2）解：添加条件：BE＝CD（答案不唯一）．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠EBC＝∠ACB+∠BCD＝180°，
∴∠CBE＝∠BCD，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴BD＝CE；

（3）能．
理由：如图3中，值AC上取一点D，使得BD＝CE

若BF＝CE，则BF＝BD，反之也成立．
∵BD＜AB，
∴BF＜AB，
显然BD越大，BF就越大，CF也越大，
假设BF＝AB，
∵∠A＝36°，
∴∠BFA＝∠A＝36°，
∴∠ABF＝180°﹣2×36°＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BCF＝180°﹣72°＝108°，
∴∠BCF＝∠ABF，
∵∠BCF＝∠ABF，∠BFC＝∠AFB，
∴△BFC∽△AFB，
∴＝，
设CF＝x，
∵AB＝AC＝2，
∴BF＝2，AF＝2+x，
∴＝，
解得x＝﹣1或﹣﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，且符合题意，
∴CF＝﹣1，
∵E与A不重合，
∴0＜CF＜﹣1．
五．四边形综合题（共1小题）
17．（2022•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．


【解答】解：（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，
∴AE＝，BF＝，
∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
＝4，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝[4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]，
∵ab＝8，
EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
∴AE2+BF2＝EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）①如图1，

连接PC交EF于G，
∵a＝b，
∴ME＝AM＝BN＝NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PGE＝90°，
∵CM＝CN＝PM＝PN，
∴PE＝PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，
EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，
∴PE＝AE＝PF＝BF，
∴ME＝EG＝FG＝FN，
∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECG+∠FCG＝；
②如图2，

仍然成立，理由如下：
将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，
∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2
∵EF2＝BF2+AE2，
∴DE＝EF，
∵CD＝CF，CE＝CE，
∴△DCE≌△FCE（SSS），
∴∠ECF＝∠DCF＝．
六．圆的综合题（共1小题）
18．（2022•泰安）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．


【解答】（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴点D，E分别是AC，AB的中点，
∴BE＝AB＝BC，CD＝AC＝BC，
∴BE+CD＝BC；

②解：结论成立．
理由：如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．

∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴∠BOE＝∠BOG＝60°，
∴∠COD＝∠COG＝60°，
∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，
∴△OCD≌△OCG（ASA），
∴CD＝CG，
∴BE+CD＝BG+CG＝BC；

（2）解：结论：AC＝AD+BC．
理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD＝180°，
∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，
∴3∠BAC+3∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠FAC+∠FCA＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠EFC＝60°，
∵∠DAF＝∠FAC，∠FCA＝∠FCE，
由②可知AD+EC＝AC，
∵EC＝BC，
∴AD+BC＝AC．
七．几何变换综合题（共1小题）
19．（2022•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 　AE＝BE﹣CE　；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．


【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即：∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE
（2）①由（1）得：∠DAE＝60°，AD＝AE，BD＝CE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∴AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE，
故答案为：AE＝BE﹣CE；
②如图，

∠BAD＝45°，理由如下：
连接AF，作AG⊥DE于G，
∴∠ACG＝90°，
∵F是BC的中点，△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，
∴AF⊥BC，∠ABF＝∠ADG＝60°，
∴∠AFB＝∠AGD，
∴△ABF∽△ADG，
∴，∠BAF＝∠DAG，
∴∠BAF+∠DAF＝∠DAG+∠DAF，
∴∠BAD＝∠FAG，
∴△ABD∽△AFG，
∴∠ADB＝∠AGF＝90°，
由（1）得：BD＝CE，
∵CE＝DE＝AD，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝45°．
八．相似形综合题（共1小题）
20．（2022•烟台）【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
（1）求的值；
（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．


【解答】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【类比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝；
【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝；
（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC＝＝．


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