高一数学下学期期末考试分类汇编复数苏教版

专题04  复数

一、单选题

1．（2021·江苏南通·高一期末）设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的除尘法则计算．

【详解】

由已知．

故选：A．

2．（2021·江苏淮安·高一期末）若复数，则z在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的几何意义可得复数在复平面内对应的点的坐标为（1，1）,从而得到答案.

【详解】

复数在复平面内对应的点的坐标为（1，1）

所以z在复平面内对应的点位于第一象限

故选：A

3．（2021·江苏徐州·高一期末）已知i为虚数单位，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由复数的除法运算可得结果.

【详解】

.

故选：C.

4．（2021·江苏泰州·高一期末）设，，若为纯虚数，则实数（       ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

先对化简，然后使其实部为零，虚部不为零，求出

【详解】

解：因为，，

所以，

所以为纯虚数，所以且，解得，

故选：D

5．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）已知，是虚数单位，若，且，则（       ）

A．或1 B．或 C．或2 D．或

【答案】C

【解析】

【分析】

由题设知，结合即可求m的值.

【详解】

由题意，，

∴，可得.

故选：C

6．（2021·江苏苏州·高二期末）已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（       ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】

根据复数的乘法运算法则，化简，即可得出其实部.

【详解】

因为，

所以其实部为.

故选：D

二、多选题

7．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）

A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于

C．为纯虚数 D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据欧拉公式的定义，有、、、，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.

【详解】

A：，而，则、，故位于第二象限，错误；

B：，则其模长为，正确；

C：，则为实数，错误；

D：，正确；

故选：BD

8．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知复数(为虚数单位)，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（       ）

A．在复平面内对应的点位于第二象限 B．

C．的实部为 D．的虚部为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.

【详解】

对选项由题得

.

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确；

对选项，因为，所以选项正确；

对选项复数的实部为，所以选项正确；

对选项,的虚部为,所以选项错误.

故选：ABC

【点睛】

本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、填空题

9．（2021·江苏连云港·高一期末）已知平行四边形的三个顶点，，对应的复数为0，，，则点所对应的复数为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据复数在复平面对应点的性质，结合平行四边形的性质进行求解即可.

【详解】

因为平行四边形的三个顶点，，对应的复数为0，，，

所以，设，因为平行四边形对角线互相平分，

所以对角线的中点就是对角线的中点，

所以，因此点所对应的复数为，

故答案为：

10．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）计算：_____________

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，即可求解．

【详解】

，

．

故答案为：．

四、解答题

11．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在①，②z为纯虚数，③且对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_________，求实数m的值或取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

若选①：利用共轭复数的定义列式求解即可；

若选②：利用纯虚数的定义列式求解即可；

若选③：利用复数的除法运算求出，再由复数的几何意义列出不等式，求解即可．

【详解】

选①：

由得

解得或；

选②：为纯虚数，所以解得；

选③：由得，

又对应的点在第一象限内，则，故或．

12．（2021·江苏宿迁·高一期末）已知复数满足，的虚部为2，在复平面内，所对应的点在第一象限．

（1）求复数；

（2）设向量表示复数对应的向量，的几何意义是将向量绕原点逆时针旋转后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若是等边三角形，求向量对应的复数．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

【分析】

（1）根据复数模的定义，复数虚部的定义、共轭复数的定义进行求解即可；

（2）根据题中所给的复数几何意义，结合等边三角形的性质进行求解即可.

【详解】

解：（1）设，则，，

因为，的虚部为2，所以得，

因为所对应的点在第一象限，所以，得，，，

所以．

（2）等边三角形可以看成向量绕旋转，设向量对复数，

，

或，

所以向量对应的复数或．

13．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末）设复数，满足.

（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，且实部为，计算；

（2）若，是纯虚数，求.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）由对应的象限以及实部为，求出，再计算；

（2）设，由纯虚数的定义列出方程组求解即可.

【详解】

（1）由题意易得，

（2）

或

故或

14．（2021·江苏·泰州中学高一期末）已知复数，(，i是虚数单位).

（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；

（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出，再根据复数的几何意义可得不等式组，即可得到答案；

（2）将复数代入一元二次方程，可得，解方程组即可得到答案；

【详解】

解：（1）由题意得，，

因为在复平面内对应的点落在第一象限，所以，解得.

（2）由得，即

，

所以，解得.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，复数的几何意义，考查运算求解能力.

15．（2021·江苏省天一中学高一期末）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足.

（1）求复数；

（2）设复数满足：为纯虚数，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】

分析：（1）解一元二次方程，得到，根据在复平面内对应的点位于第二象限，即可判断的取值．

（2）根据复数的乘法运算、纯虚数的概念、模的定义，联立方程求得x、y的值，进而求得的值．

详解：（1）因为，所以，

又复数对应的点位于第二象限，

所以；

（2）因为，

又为纯虚数，所以，

又得，

解得，或，；

所以.

点睛：本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复数的混合运算，对基本的运算原理要清晰，属于基础题．

一、单选题

1．（2021·江苏南京·高一期末）若为纯虚数，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.

【详解】

由题得，

因为为纯虚数，

则，所以.

故选：C

【点睛】

结论点睛：复数则且，不要漏掉了.

二、多选题

2．（2021·江苏常州·高一期末）下列结论正确的是（       ）

A．若复数满足，则为纯虚数

B．若复数，满足，则

C．若复数满足，则

D．若复数满足，则

【答案】CD

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的运算法则，复数的模，复数的几何意义结合选项判断各选项即可．

【详解】

解：对于A：设，则，

由于，所以，故，

当时，为实数，故A错误；

对于B：设，，

所以，，

由于复数，满足，

所以，

则，整理得．

所以，故B错误；

对于C：设，所以，

由于复数满足，所以，故，故C正确；

对于D：设，因为，所以，

所以该曲线为以为圆心，1为半径的圆，

故，，所以，，故D正确．

故选：CD．

3．（2021·江苏南通·高一期末）在复平面内，复数对应的点为则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

由对应点的坐标写出复数，然后由复数的运算法则计算后判断．

【详解】

，正确

，错误

，正确

，错误

故选：AC．

4．（2021·江苏扬州·高一期末）已知实数和虚数单位，定义：复数为单位复数，复数为伴随复数，复数为目标复数，目标复数的实部和虚部分别为实部函数和虚部函数，则正确的说法有（       ）

A．

B．

C．若，则，

D．若，且，则锐角的正弦值

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用题中给出的信息，即可得到和，从而可判断选项，，利用两角和差公式化简，从而得到和的值，即可判断选项，利用辅助角公式化简的解析式，利用角的变换以及三角恒等变换，求解，即可判断选项．

【详解】

解：因为，

所以，，

故选项正确，选项错误；

因为，

所以，，

故选项错误；

因为，

所以，

又因为为锐角，则，

所以，

故，

故选项正确．

故选：．

5．（2021·江苏徐州·高一期末）已知复数z满足(3+4)z=|3-4|(其中为虚数单位)，则（       ）

A．z的虚部为

B．复数在复平面内对应的点位于第一象限

C．

D．当θ∈[0，2π)时，|5z-cosθ-isinθ|的最大值为6

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据给定的复数等式求出复数z，然后对各选项逐一分析、推理计算而作答.

【详解】

由(3+4)z=|3-4|得：，

z的虚部为，A不正确；

，复数在复平面内对应的点坐标为，它位于第一象限，B正确；

，C正确；

因，，于是有复数在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心的单位圆，

而，它表示上述单位圆上的点到复数所对应点的距离，

从而得的最大距离为复数所对应点到原点距离加上半径，即：，D正确.

故选：BCD

三、填空题

6．（2021·江苏连云港·高二期末）已知复数，满足，，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用复数模的运算性质即可得出．

【详解】

解：，

，

化为：，

则，

，

故答案为：．

四、解答题

7．（2021·江苏常州·高一期末）已知复数满足，且的虚部为1，在复平面内所对应的点在第一象限.

（1）求；

（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设，得出，根据和在复平面所对应的点在第一象限即可得到答案；

（2）利用平面向量的夹角公式即可求得.

【详解】

（1）由题意得，设，则，所以，故，

又因为在复平面所对应的点在第一象限，所以

（2）因为，所以，

所以，，

所以,所以.

8．（2021·江苏扬州·高一期末）已知是关于的实系数方程的一个复数根.

（1）求实数的值；

（2）设方程的另一根为，复数对应的向量分别是.若向量与垂直，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）将复数根代入方程，根据复数的特点，列式求值；（2）根据韦达定理求得，根据复数的几何意义可知，再代入向量数量积坐标表示求值.

【详解】

（1）由题得，

所以得

（2）由（1）知，关于的实系数方程为，所以，

，则，所以，

则.

因为与垂直，

所以，

解得：.

9．（2021·江苏淮安·高一期末）设复数，为虚数单位）.

（1）若为实数，求m的值；

（2）若，且，求m的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先化简，然后令其虚部为零，可求出m的值；

（2）先求出复数，再由列方程可求出m的值

【详解】

（1）由于，

所以，解得；

（2）由于，

所以，解得.

10．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）（1）计算；

（2）设复数．（其中），若是纯虚数，且在复平面内对应的点在直线上，求．

【答案】（1）；（2）10．

【解析】

【分析】

(1)根据复数的乘除法运算法则及的运算性质求解即可；

(2) 将和化为复数的代数形式，再根据是纯虚数及在复平面内对应的点在直线上，列出方程即可求出、的值，再根据复数的乘法运算求解即可.

【详解】

解：（1），

，

；

（2）为纯虚数，

，

又，

在复平面内对应点满足，，

11．（2021·江苏·高二期末）在①；②复平面上表示的点在直线上；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：

已知复数，；(i为虚数单位)，满足___________.若，求：

（1）复数，以及；

（2）复数，以及.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】条件选择见解析；（1），；（2），.

【解析】

【分析】

（1）选①，用共轭复数的运算性质即可得到，选②通过复数的除法运算法则得到，选③通过复数乘法运算法则得到；

（2）先求出复数的平方进行化简，然后求出模即可.

【详解】

（1）若选①，，又，所以.

若选②，，

又复平面上表示的点在直线上，

所以，

所以.

若选③，得，所以.

所以.

（1），.

（2），

.