高一数学下学期期末考试分类汇编四种复数解题方法新人教A版

这是一份高一数学下学期期末考试分类汇编四种复数解题方法新人教A版，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题型二：根据复数相等的条件求参数或复数
题型三：根据复数的几何意义求复数所在象限
题型四：根据复数的几何意义求参数或模的范围
题型一：利用复数的概念求参数
一、单选题
1．（2021·广东广州·高一期末）已知复数，若是纯虚数，则的共轭复数（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合纯虚数、共轭复数的概念，即可求解．
【详解】解：∵复数是纯虚数，
∴，且，即，∴，∴.
故选：B.
2．（2021·江苏泰州·高一期末）设，，若为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】先对化简，然后使其实部为零，虚部不为零，求出
【详解】解：因为，，
所以，
所以为纯虚数，所以且，解得，
故选：D
二、多选题
3．（2021·辽宁葫芦岛·高一期末）已知为实数，则实数a的值可以是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】AB
【分析】结合复数运算以及复数为实数的知识求得的值.
【详解】，
依题意，解得.
故选：AB
4．（2021·江苏常州·高一期末）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数(为虚数单位)，则
C．若复数，则为纯虚数的充要条件是
D．若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
【答案】BD
【分析】利用特殊值排除A，根据复数代数形式的除法及乘方法则计算判断B，根据复数的概念判断C，根据复数的几何意义判断D；
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，此时，错误；
对于，若复数，即，则有，正确；
对于，若复数，则为纯虚数的充要条件是，且，故错误．
对于，设复数，若复数满足条件，
则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，正确；
故选：．
5．（2021·重庆·高一期末）关于复数下列说法正确的是（ ）
A．B．若则
C．若为纯虚数，则D．
【答案】BCD
【分析】根据复数的乘法运算，可判断A的正误；根据求模公式，代入计算，可判断B的正误；根据纯虚数的概念，可判断C的正误，根据基本不等式，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，因为，
所以，即，故B正确；
对于C：，若为纯虚数，
则，所以，故C正确；
对于D：，
当且仅当时等号成立，
所以，故D正确.
故选：BCD
6．（2021·湖北·高一期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若复数为纯虚数，则，
B．若复数为虚数，则
C．若复数，则对应的平面向量为
D．若复数满足，则的实部与虚部至少有一个为
【答案】BCD
【分析】由纯虚数和虚数定义可知AB正误；由复数与其对应平面向量的关系可知C正确；设，计算可得，由实数定义可知，由此可知D正确.
【详解】对于A，由纯虚数定义可知：，，A错误；
对于B，由虚数定义可知：，B正确；
对于C，对应复平面内的点为，对应的平面向量，C正确；
对于D，设，则，，，
的实部与虚部至少有一个为，D正确.
故选：BCD.
7．（2021·吉林白山·高一期末）已知复数，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则是纯虚数B．若是纯虚数，则
C．若，则是实数D．若是实数，则
【答案】BCD
【分析】先由复数的运算求得，，再由复数的概念可得选项.
【详解】由题意可得，．
当且时，是纯虚数，则A错误，B正确；
当时，是实数，则C，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
8．（2021·安徽安庆·高一期末）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则__________.
【答案】
【分析】由于复数为纯虚数，所以可得，从而可求出的值，进而可求得答案
【详解】根据已知得，所以，于是.
故答案为：
四、解答题
9．（2021·湖南张家界·高一期末）已知复数，．
（1）当复数为纯虚数时，求实数的值；
（2）若，的共轭复数为，计算复数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解；
（2）先求解共轭复数，代入计算，化简即可.
【详解】（1）由复数为纯虚数，
则，；
（2）当时，复数，
．
题型二：根据复数相等的条件求参数或复数
一、单选题
1．（2021·浙江·高一期末）已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A．iB．C．D．
【答案】B
【解析】令，然后代入中化简求出的值，从而可求出
【详解】解：令，
因为，所以，即，
所以，解得，
所以，
故选：B
二、填空题
2．（2021·云南玉溪·高一期末）设复数，其中a，b为实数，若，则_________．
【答案】
【分析】首先根据复数相等得到，再求即可.
【详解】因为，
所以，即，
所以.
故答案为：
3．（2021·浙江·高一期末）已知i是虚数单位，设复数，其中，则的值为________．
【答案】
【分析】结合复数的除法，将化简，再结合对应关系求出，即可求解
【详解】由，则，
故答案为：
【点睛】本题考查由复数相等求参数值，复数的除法运算，属于基础题
三、解答题
4．（2021·浙江温州·高一期末）在复平面内，复数，对应的点分别为（1，-2），，，且为纯虚数．
（1）求a的值；
（2）若的共轭复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先利用复数的几何意义，求得，再设，利用复数相等求a的值；（2）将代入方程，求实数，的值.
【详解】（1）由条件可知，，
，则，
所以，解得：；
（2），
由条件可知，
得，
则，解得：.
5．（2021·湖北鄂州·高一期末）已知复数z＝(m2－2m－3)＋(m2－3m)i（为虚数单位）.
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用纯虚数的定义列式求解即可.
（2）先计算化简，再将其代入方程，利用复数相等列方程，解得参数即可.
【详解】解：（1）若为纯虚数，则，解得；
（2）当时，复数，则，
即是方程的一个根，
，
整理得.
根据复数相等，有，解得.
6．（2021·广东湛江·高一期末）设复数，，且它们在复平面上对应的点分别为，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据已知条件化简即可得到，再通过复数相等的充要条件即可得到的值；（2）先求出，再根据两点间的距离公式即可求出.
【详解】解：（1）因为，
所以.
又因为，
所以，.
（2）因为，
所以.
由（1）知，
所以，
所以.
7．（2021·安徽安庆·高一期末）已知是关于x的方程的一个根，其中为虚数单位．
（1）求的值；
（2）记复数，求复数的模．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件可得，然后结合复数相等的条件得到方程组，解方程组即可求出结果；
（2）由（1）可以求出复数，然后结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果.
【详解】（1）根据条件可将代入方程，整理得，所以，解得
（2）由（1）可知，
所以
于是，
因此复数的模为.
8．（2021·山东泰安·高一期末）已知复数，且是关于的方程的一个根．
（1）求及；
（2）若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？并求出该图形的面积．
【答案】（1）；；（2）以原点为圆心，1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积是．
【分析】(1)把代入方程，求出a值即得，再利用共轭复数的意义及复数除法运算即可得解；
(2)利用(1)的结论得出所在区间，借助复数的几何意义即可作答.
【详解】（1）因是关于的方程的一个根，
则，化简整理得，而，解得，
所以，
；
（2）复数满足，由(1)得，
于是得在复平面内复数对应的点的集合是以原点为圆心，1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界，
该图形的面积.
题型三：根据复数的几何意义求复数所在象限
一、单选题
1．（2021·广东揭阳·高一期末）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念求出复数的共轭复数，然后结合复数的几何意义即可判断复平面内对应的点所在象限.
【详解】复数的共轭复数为，所对应的点为，故在第四象限，
故选：D.
2．（2021·山东临沂·高一期末）如果复数满足，则复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】由给定复数等式求出复数z，进而求得z在复平面内对应点的坐标即可得解.
【详解】因，则，
于是得在复平面内，复数z对应点的坐标为，
所以在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A
二、多选题
3．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高一期末）已知复数，则下列命题中正确的为（ ）
A．
B．
C．的虚部为
D．在复平面上对应点在第一象限
【答案】ABD
【解析】根据复数的相关定义，逐个判断即可.
【详解】复数，则.故正确；
，故正确；
的虚部为1，故错误；
在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故正确.
命题中正确的个数为3.
故选：
【点睛】本题考查了复数的相关定义和计算，属于基础题.
三、填空题
4．（2021·福建南平·高一期末）已知为实数，若复数为纯虚数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第____________象限.
【答案】四
【分析】本题首先可通过纯虚数的定义得出，然后根据复数的几何意义即可得出结果.
【详解】因为复数为纯虚数，
所以，解得，，
对应的点坐标为，位于第四象限，
故答案为：四.
5．（2021·黑龙江·铁人中学高一期末）已知复数z满足，则复数对应的点在复平面的第________象限；
【答案】一
【分析】根据复数的模的计算方法得到，结合复数的除法运算得出z=1+i，进而得到对应的点坐标，从而得到结果.
【详解】由题意知，
因为
所以
所以z对应的点为 ，在第一象限.
故答案为：一
6．（2021·北京市第十九中学高一期末）若复数，则z在复平面内对应的点在第________象限，________，________，________.
【答案】 四 .
【分析】首先根据题意得到，从而即可得到答案.
【详解】，z在复平面内对应的点在第四象限；
所以，，.
故答案为：四；；；
题型四：根据复数的几何意义求参数或模的范围
一、单选题
1．（2021·云南·罗平县第二中学高一期末）当x复数 的模长的最小值是（ ）
A．2B．C．10D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求出复数z的模，结合二次函数的性质即可求出模的最小值.
【详解】由题意得，
所以，
令，，
当时，函数y有最小值，且，
所以.
故选：B
2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）复数（为虚数单位），若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据复数代数形式的除法化简复数，设，根据复数模的计算公式得到，则可以看成圆上的点到原点的距离，从而求出距离最大值；
【详解】解：，设，因为，
所以，所以，即表示上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，因为圆心到坐标原点的距离为，所以
故选：D
3．（2021·浙江·高一期末）若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】利用复数表示的点所在象限，列出关于m的不等式求解即可.
【详解】复数表示的点为
由题设知，解得
故选：C
二、多选题
4．（2021·江苏宿迁·高一期末）设i为虚数单位，复数，，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则的值为2
B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是
C．实数是（为的共轭复数）的充分不必要条件
D．若，则实数的值为
【答案】AD
【分析】求得，结合复数的代数形式，几何意义，共轭复数，复数的模可作出判断.
【详解】（），
若为纯虚数，则，解得，故A正确；
若在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，故B错误；
当时，，显然；反过来，若，即，则，解得. 所以是的充分必要条件，故C错误；
若，则，即，解得，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
5．（2021·山东青岛·高一期末）已知，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是________．
【答案】；
【分析】根据复数对应点在第三象限列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】，
由于对应点在第三象限，所以.
故答案为：
四、解答题
6．（2021·浙江丽水·高一期末）已知复数满足，则的最大值是____．
【答案】
【分析】利用复数模长的几何意义进行求解.
【详解】在复平面内，表示复数在以圆心是，半径为的圆上，
而表示复数对应的点到坐标原点的距离，
所以的最大值就是.
故答案为：7.
一、多选题
1．（2021·江苏徐州·高一期末）已知复数z满足(3+4)z=|3-4|(其中为虚数单位)，则（ ）
A．z的虚部为
B．复数在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．当θ∈[0，2π)时，|5z-csθ-isinθ|的最大值为6
【答案】BCD
【分析】根据给定的复数等式求出复数z，然后对各选项逐一分析、推理计算而作答.
【详解】由(3+4)z=|3-4|得：，
z的虚部为，A不正确；
，复数在复平面内对应的点坐标为，它位于第一象限，B正确；
，C正确；
因，，于是有复数在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心的单位圆，
而，它表示上述单位圆上的点到复数所对应点的距离，
从而得的最大距离为复数所对应点到原点距离加上半径，即：，D正确.
故选：BCD
2．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）下列关于复数的四个命题中假命题为（ ）
A．若，则为纯虚数B．若，则
C．若，则的最大值为D．若，则
【答案】ABD
【分析】举反例判断A，根据模的几何意义判断BC，在复数范围内解方程可判断D，也可举反例说明命题是假命题．
【详解】若，则，A错；
与的模相等，但，B错；
，则对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，易知这个圆上的点到原点的距离的最大值是点到原点的距离为2，C正确；
，所以或，D错．
故选：ABD．
3．（2021·河北石家庄·高一期末）下列命题不正确的是（ ）
A．若，则当时，为纯虚数
B．若，，，则
C．若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系
D．若，则的最大值为
【答案】ABC
【分析】根据纯虚数的定义可判断A；举反例可判断B；当时可判断C；由复数模的几何意义可判断D，进而可得正确答案.
【详解】对于A：对于，当且时，为纯虚数，故A说法不正确；
对于B：取，，满足，但不满足，故B说法不正确；
对于C：当时，实数没有纯虚数与之对应，故C说法不正确；
对于D：表示复数对应的点到点的距离等于，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，点到坐标原点的距离为，所以的最大值为，故D说法正确，
故选：ABC.
4．（2021·福建泉州·高一期末）设复数(为虚数单位)，则下列说法正确的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．若，则的最大值为3
C．若，，则
D．方程在复数集中有个解
【答案】ABD
【分析】利用充分条件和必要条件的定义、共轭复数的定义即可判断A；利用复数模的几何意义可判断选项B；利用的周期性计算可判断C；设为方程
的解，代入方程，利用复数相等的条件，再讨论时求的值，时求得值，即可求出所有的根，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A，若，则，成立，若，则由，解得，
所以成立，故A正确；
对于选项B，若，则表示以原点为圆心，半径为
的圆上的点到点的距离，因为原点到点的距离为，
所以的最大值为 ，故B正确；
对于选项C，若，，
则
.故C不正确；
对于选项D，因为，所以设为方程的解，
代入方程得，
即，
若，则，即，
所以或，
解得或，即是原方程的解；
若，则，即，
所以，解得或；
或，解得或；
即，，，也是原方程的解.
综上，原方程有个解，分别为， ，，， ，.故D正确.
故选：ABD.
5．（2021·福建厦门·高一期末）复数的共轭复数为，则（ ）
A．与在复平面内对应的点关于实轴对称
B．在复平面内对应的点在虚轴上
C．若，则在复平面内对应的点在实轴上
D．若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆
【答案】AD
【分析】设，则，由复数的几何意义可判断A；计算可判断B；由复数模的几何意义可判断C、D，进而可得正确选项.
【详解】设，则，
对于A：在复平面内对应的点的坐标为，在复平面内对应的点的坐标为，点与关于实轴对称，故选项A正确；
对于B：为实数，在复平面内对应的点在实轴上，故选项B不正确；
对于C：表示对应的点到点和距离相等，则点在线段的垂直平分线上即虚轴和原点，所以在复平面内对应的点也在虚轴上和原点，故选项C不正确；
对于D：由复数模的几何意义可知：若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆，故选项D正确；
故选：AD.
6．（2021·江苏泰州·高一期末）下列说法正确的有（ ）
A．设，是两个虚数，若和均为实数，则，是共轭复数
B．若，则与互为共轭复数
C．设，是两个虚数，若与是共轭复数，则和均是实数
D．若，则与互为共轭复数
【答案】ABC
【分析】A.设i，,i,,,，则，是共轭复数，该选项正确；
B. 若，所以与互为共轭复数，所以该选项正确；
C.设i，,i, 则是实数，是实数，所以该选项正确；
D.如i,i, ，则与不一定互为共轭复数,所以该选项错误.
【详解】A.设i，,i,,i是实数，所以,i是实数，所以所以，所以则，是共轭复数，所以该选项正确；
B. 若，则，，所以与互为共轭复数，所以该选项正确；
C.设i，,i, 则是实数，是实数，所以该选项正确；
D. 若，则与不一定互为共轭复数，如i,i,所以该选项错误.
故选：ABC
7．（2021·山东泰安·高一期末）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的共轭复数B．若复数，则
C．若复数为纯虚数，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.
【详解】对于A，时，，则，故A正确；
对于B，若复数，则满足，解得，故B正确；
对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，故C错误；
对于D，若，则，
，故D正确.
故选：ABD.
8．（2021·安徽·六安一中高一期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则的最小值是
【答案】ABD
【分析】设，利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可判断A、B，根据复数的模的定义可判断C，根据复数的模的几何意义即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】设，
对于选项A：，所以，所以，故选项A正确；
对于选项B：，所以，即，故选项B正确；
对于选项C：，则，故选项C不正确；
对于选项D：即表示点到点
和到点的距离相等，所以复数对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，因为中点为，，所以的中垂线为，整理可得：，所以表示点到的距离，所以，故选项D正确，
故选：ABD.
9．（2021·浙江·高一期末）已知复数，则下列结论中正确的有（ ）
A．复数的虚部是
B．复数是方程的一个根
C．复平面内表示复数的点位于第一象限
D．的最大值是6
【答案】BCD
【分析】根据复数的虚部的概念可判断A；将复数代入方程验证，可判断B；求出复数对应的点的坐标，可判断C；根据复数的几何意义，可判断D.
【详解】复数的虚部是，故A错误；
将代入方程可得，故B正确；
复数对应的点的坐标为位于第一象限，故C正确；
表示以为圆心，为半径的圆，对应的点的坐标为，表示点到圆上的点的距离，故其最大值为到原点距离加上圆的半径，其最大值为，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是理解复数的几何意义，理解表示复平面上的点和间的距离.
二、双空题
10．（2021·北京·首都师大二附高一期末）（1）设复数(其中i为虚数单位)，则z的虚部是___________.（2）已知复数z满足，则的取值范围为___________.(其中i为虚数单位)
【答案】 1
【分析】（1）根据除法运算求得复数z，求得虚部；
（2）根据复数几何意义，复数z在复平面内的几何意义为以原点为圆心，半径为1的圆，的几何意义为圆上的点到的距离，从而根据点到圆上的点的距离求得取值范围.
【详解】（1），则z的虚部是1；
（2）由复数z满足，复数z在复平面内的几何意义为以原点为圆心，半径为1的圆，
则的几何意义为圆上的点到的距离，则其最小值为圆心到的距离减去半径即，最大值为圆心到的距离加上半径即，
则的取值范围为.
故答案为：1；
三、填空题
11．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为________
【答案】
【分析】设，（且），将原方程变为，则①且②；再对分类讨论可得；
【详解】解：设，（且）
则原方程变为
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，
所以
综上满足条件的所以复数的和为
故答案为：
【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.
12．（2021·浙江·高一期末）若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为______．
【答案】
【解析】设，由，知点在以为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，表示点与点的距离，数形结合即可得到答案.
【详解】设，由可得，此式表示复平面上
的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，
，此式表示点与点的距离，
故.
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.
四、解答题
13．（2021·浙江温州·高一期末）在复平面内，复数，对应的点分别为，.
（1）求的值；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【答案】（1）． （2），．
【分析】（1）利用复数的运算法则，结合共轭复数的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，可得实系数的一元二次方程的两虚根为共轭复数，再结合韦达定理，即可求解．
【详解】（1）复数，对应的点分别为，，
，，
，
．
（2）是关于的方程的一个根
易知也为方程的一个根，
，，
，．
14．（2021·江苏扬州·高一期末）已知是关于的实系数方程的一个复数根.
（1）求实数的值；
（2）设方程的另一根为，复数对应的向量分别是.若向量与垂直，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将复数根代入方程，根据复数的特点，列式求值；（2）根据韦达定理求得，根据复数的几何意义可知，再代入向量数量积坐标表示求值.
【详解】（1）由题得，
所以得
（2）由（1）知，关于的实系数方程为，所以，
，则，所以，
则.
因为与垂直，
所以，
解得：.
15．（2021·江苏盐城·高一期末）已知复数(，)，若存在实数使得成立.
（1）求证：为定值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）将整理，再由复数相等的条件可得，，两式结合消去可得结论；
（2）由可得，从而可求出的取值范围，进而可求出的取值范围
【详解】解：（1）因为，，，，
所以，，
由得（），
所以，得，
所以.
（2），，
，得，
且，或，
，
令，（且，或），
因为抛物线的对称轴为，且开口向上，
所以，且
所以，且
所以.
16．（2020·江苏宿迁·高一期末）若复数，求的最大值和最小值．
【答案】最大值为，最小值为.
【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．
【详解】如图，满足的复数z所对应的点是以为圆心，5为半径的圆，
表示复数所对应的点和点的距离，
由题设所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点距离的
最大值与最小值是过的圆的直径被点所分成的两部分，
∴，
∴，，