山东省泰安市2022届高考数学全真模拟试卷及答案

 高考数学全真模拟试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（　　）

A． B． C． D．

3．展开式中的常数项为（　　）

A． B． C． D．

4．定义矩阵运算，则（　　）

A． B． C． D．

5．若等差数列满足，则它的前13项和为（　　）

A．110 B．78 C．55 D．45

6．在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（　　）

A．3π B．4π C．5π D．6π

7．已知，则的最小值是（　　）

A．2 B． C． D．3

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数满足方程，则（　　）

A．可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根

C．可能为 D．该方程的各根之和为2

10．已知椭圆的左，右焦点分别为，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则（　　）

A．的最大值为 B．为定值

C．C的焦距是短轴长的2倍 D．存在点A，使得

11．已知函数在上单调，且，则的取值可能为（　　）

A． B． C． D．

12．已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（　　）

A． B． C． D．

三、填空题

13．若，，，则　     　.

14．已知函数，写出一个同时满足下列两个条件的：　                           　.①在上单调递减；②曲线存在斜率为-1的切线.

15．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是　     　.

16．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则　     　，　     　.

四、解答题

17．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立.

（1）求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；

（2）已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.

18．已知是公比为2的等比数列，为数列的前n项和，且.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

19．如图1，在矩形ABCD中，，E是CD的中点，将沿AE折起至的位置，使得平面平面ABCE，如图2．

（1）证明：平面平面PBE．

（2）M为CE的中点，求直线BM与平面PAM所成角的正弦值．

20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，．

（1）求角A；

（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围，

21．已知抛物线上一点（）到焦点F的距离为5.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求与面积之比的最大值.

22．已知函数.

（1）若函数，讨论的单调性.

（2）若函数，证明：.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】A,C,D

10．【答案】A,B,D

11．【答案】A,C,D

12．【答案】B,C

13．【答案】1

14．【答案】（答案不唯一）

15．【答案】30

16．【答案】6；-42

17．【答案】（1）解：设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，

则.

（2）解：记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D，

则，

，

，

故在乙最后晋级决赛的前提下，

乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为.

18．【答案】（1）解：因为，所以.

因为是公比为2的等比数列，所以，

所以，故.

（2）解：

当时，；

当时，

.

综上，

19．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，，E是CD的中点，

，，所以，所以，

在折叠后的图形中，也有，

因为平面平面ABCE，平面平面ABCE，

平面ABCE且，所以平面，

因为平面，所以，

因为，且，

所以平面PBE.

（2）解：取的中点，的中点，连，，

因为，所以，因为，，所以，

因为平面，所以，所以，

所以两两垂直，

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，

则，，，

设平面的法向量，

则，令，得，，得，

所以直线BM与平面PAM所成角的正弦值为.

20．【答案】（1）解：过点O作AB的垂线，垂足为D，

因为O是的外心，所以D为AB的中点

所以，同理

所以，由正弦定理边化角得：

所以

整理得：

因为，所以

所以，即

又，

所以，得

（2）解：记外接圆的半径为R，

因为外接圆的周长为，

所以，得

所以周长

由（1）知，

所以

因为，所以

所以

所以，即

所以周长的取值范围为

21．【答案】（1）解：依题意可得，因为，所以解得，

所以抛物线C的方程为.

（2）解：设过F点的直线方程为，

联立方程得，则，

所以①，②，

设，，代入①②得③，

则直线OP的方程为，直线OQ的方程为，

联立方程，解得，同理可得，

则④，

由③得，代入④得，

当且仅当时等号成立，所以的最大值为.

故与面积之比的最大值为.

22．【答案】（1）解：因为，所以，

的定义域为，

.

当时，在上单调递增.

当时，若，则单调递减；

若，则单调递增.

综上所述：当时，f(x)在上单调递增； 当时，f(x)在(0，1-a)上单调递减，在(1-a，+)上单调递增 ；

（2）证明：.

设，则.

当时，单调递减；当时，单调递增.

所以，

因此，当且仅当时，等号成立.

设，则.

当时，单调递减：当时，单调递增.

因此，

从而，则，

因为，所以中的等号不成立，

故.