高中10.2 事件的相互独立性学案

【新教材】10.2 事件的相互独立性

（人教A版）

1．理解两个事件相互独立的概念．

2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．

3.  通过对实例的分析，会进行简单的应用.

1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．

2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.

重点：独立事件同时发生的概率．

难点：有关独立事件发生的概率计算

一、    预习导入

阅读课本246-249页，填写。

事件A与B相互独立

对任意两个事件A与B，如果_____________________成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．

注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立.

（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).

1．设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的是(　　)

A．A与B是对立事件　　　 B．A与B是互斥事件

C．A与是不相互独立事件  D．A与是相互独立事件

2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是(　　)

A.      B.

C.       D.

3．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　)

A.     B.

C.     D．1

4．两个相互独立的事件A和B，若P(A)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________.

题型一  相互独立事件的判断

例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？

跟踪训练一

1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？

(1)A与B；(2)C与A.

题型二 相互独立事件同时发生的概率

例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，

乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：

（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；

（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.

跟踪训练二

1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．

1．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则两人合作译出密码的概率为(　　)

A.　　B.

C.  D.

2．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，则P(B)等于(　　)

A．0.3  B．0.4

C．0.5  D．0.6

3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)

A.  B.

C.  D.

4．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

5．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

(1)求学生小张选修甲的概率；

(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．

答案

小试牛刀

1. D

2．A.

3．C.

4.

自主探究

例1【答案】不独立

【解析】 因为样本空间

所以,

此时

因此,事件A与事件B不独立.

跟踪训练一

1.【答案】见解析.

【解析】 (1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．

以下考虑它们是否为相互独立事件：

抽到K的概率为P(A)＝＝

抽到红牌的概率为P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，

事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．

(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥．由于P(A)＝≠0.P(C)＝≠0，而P(AC)＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件.

例2 【答案】（1）0.72  （2）0.26  （3）0.02  （4）0.98

【解析】 设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,

由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,

A与,与B,与都相互独立

由已知可得,.

（1） “两人都中靶”,由事件独立性的定义

得

（2）“恰好有一人中靶” ,且与互斥

根据概率的加法公式和事件独立性定义,得

（3）事件“两人都脱靶”,

所以

（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,

所以

方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”

根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为

跟踪训练二

1. 【答案】(1) ．(2) ．

【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝.1－－＝.

(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p1＝×＝，租车费都为2元的概率为p2＝×＝，租车费都为4元的概率为p3＝×＝.

所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝.

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.

当堂检测 

1-3.DAD　

4.

5.【答案】(1)0.4.   (2)0.24.

【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，则

解得

所以学生小张选修甲的概率为0.4.

(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.

当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，

所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24.