北京市通州区2022届高三数学高考一模试卷及答案

北京市通州区2022届高三数学高考一模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．复数的虚部为（        ）

A．1 B．-1 C． D．

3．设等差数列的前n项和为，若，则（        ）

A．60 B．70 C．120 D．140

4．在△ABC中，已知，，，则（　　）

A．1 B． C．2 D．3

5．若a，，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（        ）

A．， B．，

C．， D．，

7．设是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，是坐标原点，若，则（        ）

A．3 B．4 C． D．

8．太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（取正值），选择春分当日（）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：

则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（        ）

A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组

9．已知直线l：和圆C：，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（        ）

A． B．

C． D．

10．已知函数，其中，且．给出下列三个结论：

①函数是单调函数；②当时，函数的图象关于直线对称；③当时，方程根的个数可能是1或2．

其中所有正确结论的序号是（        ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空题

11．在的展开式中，的系数是　     　．

12．已知双曲线的一条渐近线方程是，则　     　．

13．幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是　                    　．

14．在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是　     　，的最大值是　     　．

15．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面A1B1C1D1上任意一点．若P与重合，则三棱锥E-PFG的体积是　     　；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是　     　．

三、解答题

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点．

（1）求证：；

（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．

17．已知函数的最小正周期为．

（1）求的值；

（2）从下面四个条件中选择两个作为已知，求的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．

条件①：的值域是；

条件②：在区间上单调递增；

条件③：的图象经过点；

条件④：的图象关于直线对称．

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．

18．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：

假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；

（2）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；

（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．

19．已知函数，．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数的最小值是2，求a的值；

（3）设t为常数，求函数的单调区间．

20．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．

（1）若，，写出数列前项的所有可能情况；

（2）求证：数列存在无穷递增子列；

（3）求证：对于任意实数，都存在，使得．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】-10

12．【答案】5

13．【答案】1，-1（答案不唯一）

14．【答案】；-2

15．【答案】；

16．【答案】（1）证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点，

所以，

因为平面平面ABCD，

平面平面，

平面PAD，

所以平面ABCD．

因为平面ABCD，

所以

（2）解：由（1）知，平面ABCD．

取BC中点F，连结EF，

因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，

所以，

所以EA，EF，EP两两垂直．

分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，

则，，，，

所以，．

设平面PAC的法向量，

由，得，

令，得，，

所以，

平面ABCD的法向量可取．

设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角，

则，

所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为．

17．【答案】（1）解：因为，所以

（2）解：方案一：

选择①，③

因为的值域是，

所以．

所以．

因为的图象经过点，

所以，

即．

又，所以．

所以的解析式为．

因为，

所以．

当，

即时，

取得最小值；

当，即时，

取得最大值．

方案二：

选择条件①，④

因为的值域是，

所以．

所以．

因为的图象关于直线对称，

所以，

所以．

又，所以．

所以的解析式为．

以下同方案一．

方案三：

选择条件③，④

因为的图象关于直线对称，

所以，

所以．

又，

所以．

因为的图象经过点，

所以，

即．

所以的解析式为．

以下同方案一．

18．【答案】（1）解：设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．

由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，

所以，

（2）解：甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为；

乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为．

依题意的所有可能取值为1，2．

所以，．

所以的分布列为

所以

（3）解：设“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．

因为，

所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．

19．【答案】（1）解：当时，，．

，，即切线斜率．

所以切线方程为

（2）解：函数的定义域为，

．

令，得．

当时，．所以在单调递增，无最小值．

当时，令，得；令，得．

所以在单调递减，在单调递增，

所以最小值为．

所以，即

（3）解：函数的定义域为，

．

由（2）知，当时，若，则．

所以，

所以的减区间为，，无增区间．

20．【答案】（1）解：由已知得，，．

因为，所以．

因为，所以．

所以椭圆C的方程为

（2）解：假设存在满足题意的实数，

由已知得，．

设，，，则

，

因为，

所以，

即．

所以，，

即．

因为，

所以．

所以，

即，

化简得．

因为，

所以，

所以，

解得（舍），或．

所以存在，使得

21．【答案】（1）解：由已知，即，可得或.

当时，由，即，因为，可得；

当时，由，即，因为，可得或5.

因此，若，，写出数列前项的所有可能情况为：1、2、3、5或1、2、3、1或1、2、1、3

（2）证明：对于数列中的任意一项，

由已知得，或，即或．

若，则由可得；

若，则，此时，即．

设集合，、，且，

，，，，，，

则数列是数列一个无穷递增子列

（3）证明：考察数列和．

①当或时，显然成立；

②当时，设，由（2）可知．

如果，那么，或，于是总有，

此时；

如果，那么，或，于是总有，

此时．

综上，当且时总有．

所以，

所以，，，，

叠加得，．

令，解得，

即存在，（其中表示不超过的最大整数），使得．

又因为是的子列，令，则．

由①②可知，对于任意实数，都存在，使得