2021年北京市通州区高考数学一模试卷

这是一份2021年北京市通州区高考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市通州区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
2．（4分）已知（2+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3＝（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
3．（4分）下列函数中，是偶函数且值域为[0，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝ C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|
4．（4分）某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为（　　）

A． B． C．4 D．8
5．（4分）已知等比数列{an}的公比q＝﹣2，前6项和S6＝21，则a6＝（　　）
A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32
6．（4分）已知在圆（x﹣1）2+y2＝r2上到直线x﹣y+3＝0的距离为的点恰有一个，则r＝（　　）
A． B． C．2 D．
7．（4分）已知a，b，c∈R，则“a＞b”的一个充分而不必要条件是（　　）
A．a2＞b2 B．a3＞b3 C．2a＞2b D．ac2＞bc2
8．（4分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的图象如图所示，则（　　）

A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）在区间上单调递减
C．函数f（x）在区间上的最小值是﹣1
D．曲线关于直线对称
9．（4分）已知点P是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且点P到点A（0，﹣2）的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则p＝（　　）
A． B．4 C． D．
10．（4分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则tmin后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt（其中k为常数，e＝2.71828⋯）．现有某物体放在20℃的空气中冷却，2min后测得物体的温度为52℃，再经过6min后物体的温度冷却到24℃，则该物体初始温度是（　　）
A．80℃ B．82℃ C．84℃ D．86℃
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知复数，则z2＝　 　．
12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则双曲线C的渐近线方程为　 　；△PF1Q的面积为　 　．
13．（5分）设向量，是两个不共线的向量，已知＝2，＝，＝2﹣k，且B，C，D三点共线，则＝　 　（用，表示）；实数k＝　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝（t＞0）有2个零点，且过点（e，1），则常数t的一个取值为　 　．
15．（5分）已知函数，设曲线y＝f（x）在第一象限内的部分为E，过O点作斜率为1的直线交E于B1，过B1点作斜率为﹣1的直线交x轴于A1，再过A1点作斜率为1的直线交E于B2，过B2点作斜率为﹣1的直线交x轴于A2，⋯，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论：

①A1B2的长为；
②点A3的坐标为；
③△A2B3A3与△A3B4A4的面积之比是；
④在直线x＝5与y轴之间有6个三角形．
其中，正确结论的序号是　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（13分）如图，三棱锥A﹣BCD中，CD⊥平面ABC，，∠ACB＝90°，点E，F分别是AB，AD的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求直线AD与平面CEF所成角的正弦值．

17．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b﹣c＝1，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求tanB的值．
条件①：3sinB＝4sinC；条件②：△ABC的面积为．
18．（14分）我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成评分频率分布直方图，如图：
（Ⅰ）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数；
（Ⅱ）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系．（直接写出结论）

19．（15分）已知函数f（x）＝x2ex﹣1，g（x）＝ex﹣ax，a∈R．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a≥1时，求F（x）在区间[0，+∞）上的最小值．
20．（15分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且PA＝AB，点Q是P关于x轴的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点为F．
（ⅰ）证明：直线AQ，AP的斜率之比为定值；
（ⅱ）求直线EF的斜率的最小值．
21．（15分）已知有限数列A：a1，a2，⋯，am为单调递增数列．若存在等差数列B：b1，b2，⋯，bm+1，对于A中任意一项ai，都有bi≤ai＜bi+1，则称数列A是长为m的Ω数列．
（Ⅰ）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：
①数列1，4，5，8；
②数列2，4，8，16．
（Ⅱ）若a＜b＜c（a，b，c∈R），证明：数列a，b，c为Ω数列；
（Ⅲ）设M是集合{x∈N|0≤x≤63}的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．

2021年北京市通州区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
【分析】直接进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）已知（2+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3＝（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
【分析】求出展开式的含x3项的系数即可求解．
【解答】解：二项式（2+x）5的展开式中含x3的项为C＝40x3，
所以a3＝40，
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
3．（4分）下列函数中，是偶函数且值域为[0，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝ C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与值域，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝x2﹣1，为二次函数，是偶函数，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；
对于B，f（x）＝＝，不是偶函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝log2x，为对数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝|x|＝，是偶函数且值域为[0，+∞），符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性与值域的计算，涉及常见函数的奇偶性和值域，属于基础题．
4．（4分）某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为（　　）

A． B． C．4 D．8
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱柱体．
如图所示：

故V＝，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（4分）已知等比数列{an}的公比q＝﹣2，前6项和S6＝21，则a6＝（　　）
A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：∵等比数列{an}的公比q＝﹣2，前6项和S6＝21，
∴＝21，解得a1＝﹣1，
则a6＝﹣（﹣2）5＝32．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（4分）已知在圆（x﹣1）2+y2＝r2上到直线x﹣y+3＝0的距离为的点恰有一个，则r＝（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】求出圆心到直线的距离d，结合题意即可求得r的值．
【解答】解：因为圆（x﹣1）2+y2＝r2的圆心为（1，0），半径为r，
圆心（1，0）到直线x﹣y+3＝0的距离d＝＝2，
因为在圆（x﹣1）2+y2＝r2上到直线x﹣y+3＝0的距离为的点恰有一个，
所以r＝2﹣＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（4分）已知a，b，c∈R，则“a＞b”的一个充分而不必要条件是（　　）
A．a2＞b2 B．a3＞b3 C．2a＞2b D．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：对于A：a＞b与a2＞b2互相推不出是既不充分也不必要条件，
对于B：a3＜b3⇔a＜b 是充要条件，
对于C：a＞b⇔2a＞2b是充要条件，
对于D：若ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，反之不成立，即ac2＞bc2是a＞b成立的充分不必要条件，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题．
8．（4分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的图象如图所示，则（　　）

A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）在区间上单调递减
C．函数f（x）在区间上的最小值是﹣1
D．曲线关于直线对称
【分析】由函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象求出T、ω和φ的值，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：由函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象知，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，
由五点法画图知（，0）是第一个对应点，所以2×+φ＝0，解得φ＝﹣，
所以函数f（x）＝sin（2x﹣）；
对于A，函数f（x）的最小正周期是π，选项A错误；
对于B，x∈（，π）时，2x﹣∈（，），f（x）先递减后递增，所以B错误；
对于C，x∈[，]时，2x﹣∈[，]，f（x）先递减后递增，最小值是f（x）min＝f（）＝﹣1，所以C正确；
对于D，y＝f（x+）＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x﹣），且f（﹣）＝sin（﹣）＝，
所以曲线不关于直线对称，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合与函数思想，是基础题．
9．（4分）已知点P是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且点P到点A（0，﹣2）的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则p＝（　　）
A． B．4 C． D．
【分析】求得焦点坐标，根据抛物线的定义，则P到点A（0，﹣2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，﹣2）与P到该抛物线准线的距离的和减去．根据勾股定理即可求得
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为x＝﹣，F（，0），
P点到y轴的距离为|PF|﹣，其中|PF|＝xP+，
∴|PA|+|PF|﹣≥|FA|﹣，
此时点P在直线AF与抛物线的交点，
∴|FA|＝＝，
∵|FA|﹣＝2﹣2，
∴2﹣2＝﹣，
解得p＝4，
故选：D．

【点评】本题考查抛物线的性质及定义，考查转化思想，数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
10．（4分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则tmin后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt（其中k为常数，e＝2.71828⋯）．现有某物体放在20℃的空气中冷却，2min后测得物体的温度为52℃，再经过6min后物体的温度冷却到24℃，则该物体初始温度是（　　）
A．80℃ B．82℃ C．84℃ D．86℃
【分析】根据第二次冷却求出k的值，进而可以求解．
【解答】解：由已知可得第二次冷却：θ1＝52°C，θ0＝20°C，t＝6，θ＝24°C，
即24＝20+（52﹣20）•e﹣6k，所以e，则﹣6k＝﹣ln8，解得k＝，
第一次冷却：θ＝52°C，θ0＝20°C，t＝2，
所以52＝20+（θ1﹣20），即（θ1﹣20）＝32，
所以＝＝84°C，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知复数，则z2＝　2i　．
【分析】先由已知求出z，由此即可求解．
【解答】解：因为z＝＝i（1﹣i）＝1+i，
所以z2＝（1+i）2＝2i，
故答案为：2i．
【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则双曲线C的渐近线方程为　y＝±x　；△PF1Q的面积为　12　．
【分析】求得双曲线的a，b，c，可得渐近线的方程；令x＝c，可得|PQ|，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．
【解答】解：双曲线的a＝1，b＝，c＝2，
渐近线的方程为y＝±x；
令x＝2，可得y＝±•＝±3，
则|PQ|＝6，△PF1Q的面积为×4×6＝12．
故答案为：y＝±x，12．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
13．（5分）设向量，是两个不共线的向量，已知＝2，＝，＝2﹣k，且B，C，D三点共线，则＝　﹣+4　（用，表示）；实数k＝　8　．
【分析】根据平面向量的线性运算用、表示向量，根据向量共线定理列方程求出k的值．
【解答】解：因为向量，是两个不共线的向量，且＝2，＝，
所以＝﹣＝﹣+4，
又＝2﹣k，且B，C，D三点共线，
所以﹣1×（﹣k）﹣4×2＝0，
解得k＝8．
故答案为：﹣+4；8．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理应用问题，是基础题．
14．（5分）已知函数f（x）＝（t＞0）有2个零点，且过点（e，1），则常数t的一个取值为　2（不唯一）　．
【分析】分别求出分段函数两段函数对应的零点，由题意确定t≥1，再结合f（x）过点（e，1），从而得到t的取值范围，写出一个t的值即可．
【解答】解：当x≤t时，令x2+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣2，
当x＞t时，令lnx＝0，解得x＝1，
因为f（x）只有2个零点且t＞0，
所以当x＞t时，取不到x＝1，
故t≥1，
又f（x）过点（e，1），则有f（e）＝1，所以t＜e，
故t的取值范围为[1，e），
所以常数t的一个取值可以为2（不唯一）．
故答案为：2（不唯一）．
【点评】本题考查了函数的零点问题，以及分段函数的应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．
15．（5分）已知函数，设曲线y＝f（x）在第一象限内的部分为E，过O点作斜率为1的直线交E于B1，过B1点作斜率为﹣1的直线交x轴于A1，再过A1点作斜率为1的直线交E于B2，过B2点作斜率为﹣1的直线交x轴于A2，⋯，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论：

①A1B2的长为；
②点A3的坐标为；
③△A2B3A3与△A3B4A4的面积之比是；
④在直线x＝5与y轴之间有6个三角形．
其中，正确结论的序号是　②④　．
【分析】先用归纳法求出点B和点A的坐标，再分别判断即可．
【解答】解：B1（1，1），A1（2，0），
，解得B2（+1，﹣1），A2（2，0），
，解得B3（，），A3（2，0），
，解得B4（，），A4（2，0），
…
以此类推，Bn（，），An（2，0），
对于①，A1B2的长为2﹣≠，所以①错；
对于②，点A3的坐标为，所以②对；
对于③，△A2B3A3与△A3B4A4的相似比为，
面积之比不是，所以③错；
对于④，因为2＜5＜2，所以在直线x＝5与y轴之间有6个三角形，所以④对．
故答案为：②④．

【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了反比例函数性质，考查了数列基本性质，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（13分）如图，三棱锥A﹣BCD中，CD⊥平面ABC，，∠ACB＝90°，点E，F分别是AB，AD的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求直线AD与平面CEF所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）证明AC⊥CD，AC⊥CB．然后证明AC⊥平面BCD．
（Ⅱ）以点C为坐标原点，分别以直线CB，CD，CA为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz．求出平面CEF的法向量，设直线AD与平面CEF所成角为θ．利用空间向量的数量积求解直线AD与平面CEF所成角的正弦值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：因为DC⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以AC⊥CD．
因为∠ACB＝90°，
所以AC⊥CB．
因为CD∩CB＝C，CD⊂平面BCD，CB⊂平面BCD，
所以AC⊥平面BCD． ……………………（5分）
（Ⅱ）解：因为CD⊥平面ABC，
所以CB⊥CD． ……………………6分
以点C为坐标原点，分别以直线CB，CD，CA为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz．
设AC＝BC＝2，则DC＝4．
因为点E，F分别是AB，AD的中点，
所以A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，4，0），E（1，0，1），F（0，2，1）．

所以，，．
设平面CEF的法向量为＝（x，y，z），
则即，
令y＝1，则z＝﹣2，x＝2．
所以＝（2，1，﹣2）．
设直线AD与平面CEF所成角为θ．
所以＝＝．
所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值．……………………（13分）

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
17．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b﹣c＝1，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求tanB的值．
条件①：3sinB＝4sinC；条件②：△ABC的面积为．
【分析】（Ⅰ）选择条件①，根据正弦定理可得出3b＝4c，然后即可解出b＝4．c＝3，然后根据余弦定理可求出a＝2；选择条件②，根据三角形的面积公式可得出bc＝12，从而解出b＝4，c＝3，然后根据余弦定理可求出a＝2；
（Ⅱ）根据余弦定理可求出，然后即可求出tanB的值．
【解答】解：（Ⅰ）选条件①：3sinB＝4sinC，
∵3sinB＝4sinC，由正弦定理，得3b＝4c，
∵b﹣c＝1，解方程组，得b＝4，c＝3，且，
由余弦定理，得＝4，∴a＝2；
选条件②：△ABC的面积为，
∵，∴，
∵△ABC的面积为，∴，解得bc＝12，
∵b﹣c＝1，解方程组，得b＝4，c＝3，
由余弦定理，得＝4，∴a＝2；
（Ⅱ）由余弦定理，得，且B∈（0，π），
∴，
∴．
【点评】本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，切化弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
18．（14分）我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成评分频率分布直方图，如图：
（Ⅰ）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数；
（Ⅱ）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系．（直接写出结论）

【分析】（Ⅰ）推出学生的测试评分不低于8（0分）的频率（0.030+0.015）×10＝0.45．设抽取的学生人数为n，通过0.45n＝9，求解即可．
（Ⅱ）说明X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．
（Ⅲ）观察频率分布直方图，写出该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图知，学生的测试评分不低于80分的频率（0.030+0.015）×10＝0.45．
设抽取的学生人数为n，
所以0.45n＝9． 解得n＝20．
所以此次抽取的学生人数为20． ……………………（3分）
（Ⅱ）由图知，学生的测试评分在[80，90）的频率0.030×10＝0.30，
在[90，100]的频率0.015×10＝0.15
所以20×0.30＝6，20×0.15＝3． ……………………（4分）
所以学生的测试评分不低于80分的9名学生中，评分在[80，90）的有6人，在[90，100]的有3人，
所以X的可能取值为0，1，2，3． ……………………（5分）
；
；
；
． ……………………（9分）
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




……………………（10分）
所以X的数学期望． ……………………（11分）
（Ⅲ）a＜b． ……………………（14分）
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
19．（15分）已知函数f（x）＝x2ex﹣1，g（x）＝ex﹣ax，a∈R．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a≥1时，求F（x）在区间[0，+∞）上的最小值．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出导函数，判断函数在①当a≤0时，②当a＞0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性．
（Ⅲ）求出F（x）＝（x2﹣1）ex+ax﹣1，推出F'（x），令h（x）＝F'（x），通过h'（x）＝（x2+4x+1）ex＞0．求解函数的单调区间，然后转化求解函数的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝x2ex﹣1，所以f'（x）＝（2x+x2）ex．
所以f（0）＝﹣1，f'（0）＝0．
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y+1＝0． ……………………（3分）
（Ⅱ）因为g（x）＝ex﹣ax，定义域为R，
所以g'（x）＝ex﹣a． ……………………（4分）
①当a≤0时，g'（x）＞0．
所以g（x）在R上单调递增． ……………………（6分）
②当a＞0时，令g'（x）＝0，得x＝lna，
所以当a＞0时，g（x）与g'（x）在（﹣∞，+∞）上的变化情况如下：
x
（﹣∞，lna）
lna
（lna，+∞）
g'（x）
﹣
0
+
g（x）
↘
极小值
↗
所以g（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，在（lna，+∞）内单调递增． ……………………（7分）
由①②可知，当a≤0时，g（x）在R上单调递增．
当a＞0时，g（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，在[lna，+∞）内单调递增
（Ⅲ）因为F（x）＝f（x）﹣g（x），
所以F（x）＝（x2﹣1）ex+ax﹣1，
所以F'（x）＝（x2+2x﹣1）ex+a．
令h（x）＝F'（x），所以h'（x）＝（x2+4x+1）ex＞0． ……………………（9分）
所以h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，即F'（x）在区间[0，+∞）上单调递增．………（10分）
所以F'（x）≥F'（0）＝﹣1+a． ……………………（12分）
因为a≥1，所以F'（x）≥0． ……………………（13分）
所以F（x）在区间[0，+∞）上单调递增． ……………………（14分）
所以F（x）≥F（0）＝﹣2． ……………………（15分）
所以当a≥1时，F（x）在区间[0，+∞）上的最小值是﹣2．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
20．（15分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且PA＝AB，点Q是P关于x轴的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点为F．
（ⅰ）证明：直线AQ，AP的斜率之比为定值；
（ⅱ）求直线EF的斜率的最小值．
【分析】（Ⅰ）由题意得求解a，b，得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）（i）设P点的坐标为（x0，y0），推出Q（x0，﹣y0），求出直线QA的斜率，PA的斜率，然后推出直线AQ，AP的斜率之比为定值．
（ii）设直线PA的方程为y＝kx+m．联立直线与椭圆方程，设E点的坐标是（x1，y1），利用韦达定理推出E的坐标，结合直线QA的方程是y＝﹣3kx+m．求出F的坐标，得到直线EF的斜率表达式，然后求解最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆C的方程为．……………………（3分）
（Ⅱ）（i）设P点的坐标为（x0，y0），
因为点Q是P（x0，y0）关于x轴的对称点，PA＝AB，
所以Q（x0，﹣y0），．
所以直线QA的斜率为，PA的斜率为．
所以． ……………………（7分）
所以直线AQ，AP的斜率之比为定值．
（ii）设直线PA的方程为y＝kx+m．
联立方程组化简得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．
设E点的坐标是（x1，y1），
所以． 所以．
所以．
所以E点的坐标是． ……………………（10分）
由（Ⅱ）可知，直线QA的方程是y＝﹣3kx+m．
所以F点的坐标是．……………………（12分）
所以直线EF的斜率＝．……………………（13分）
因为k＞0，所以．
当且仅当，即时，kEF有最小值．
所以直线EF的斜率的最小值是． ……………………（15分）
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
21．（15分）已知有限数列A：a1，a2，⋯，am为单调递增数列．若存在等差数列B：b1，b2，⋯，bm+1，对于A中任意一项ai，都有bi≤ai＜bi+1，则称数列A是长为m的Ω数列．
（Ⅰ）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：
①数列1，4，5，8；
②数列2，4，8，16．
（Ⅱ）若a＜b＜c（a，b，c∈R），证明：数列a，b，c为Ω数列；
（Ⅲ）设M是集合{x∈N|0≤x≤63}的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．
【分析】（I）根据题中Ω数列的定义，进行判定得出结果；（II）根据题中定义，使用讨论法进行证明；（3）根据定义，使用反证法，使用归纳法进行演绎推理．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．
（Ⅱ）证明：①当b﹣a＝c﹣b时，令b1＝a，b2＝b，b3＝c，b4＝2c﹣b，
所以数列b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1≤a＜b2≤b＜b3≤c＜b4，
所以数列a，b，c为Ω数列．
②当b﹣a＜c﹣b时，令b1＝2b﹣c，b2＝b，b3＝c，b4＝2c﹣b，
所以数列b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1≤a＜b2≤b＜b3≤c＜b4．
所以数列a，b，c为Ω数列．
③当b﹣a＞c﹣b时，令b1＝a，，b3＝c，，
所以数列b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1≤a＜b2≤b＜b3≤c＜b4．
所以数列a，b，c为Ω数列．
综上，若a＜b＜c，数列a，b，c为Ω数列．
（Ⅲ）证明：假设M中没有长为4的Ω数列，
考虑集合Mk＝{16k，16k+1，⋯，16k+15}，k＝0，1，2，3．
因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，
所以存在一个k，使得Mk中没有一个元素属于M．
对于其余的k，
再考虑集合Mk，j＝{16k+4j，16k+4j+1，16k+4j+2，16k+4j+3}，j＝0，1，2，3．
因为16k+4j，16k+4j+4，16k+4j+8，16k+4j+12，16k+4j+16是一个共有5项的等差数列，
所以存在一个j，使得Mk，j中没有一个元素属于M．
因为Mk，j中4个数成等差数列，
所以每个Mk，j中至少有一个元素不属于M．
所以集合{x∈N|0≤x≤63}中至少有16+4×3+1×9＝37个元素不属于集合M．
所以集合M中至多有64﹣37＝27个元素，这与M中至少有28个元素矛盾．
所以假设不成立．
所以M中的元素必能构成长为4的Ω数列．
【点评】本题属于新定义题型，主要考查学生对数列性质的应用，属于中档题．
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