2021-2022学年甘肃省酒泉市八年级（下）期末数学试卷(解析版)

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2021-2022学年甘肃省酒泉市八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列式子：；；；；；；其中是不等式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列电视台图标中，属于中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若，则下列变形错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，下列不等式中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，▱的对角线，相交于点，，，，▱的周长(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数(    )

A.  B.  C.  D.

7. 关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是(    )

A. 三角形 B. 四边形 C. 正六边形 D. 正八边形

9. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作，，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

10. 如图，的周长为，、、分别为、、的中点，、、分别为、、的中点，如果、、分别为第个、第个、第个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

11. 分解因式：______．
12. 我们用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，应先假设______ ．
13. 与的和不小于，用不等式表示为______．
14. 不等式的正整数解有______个．
15. 如图，在中，，，是边的垂直平分线，连结，则等于______

16. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，，则的周长等于______．

17. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

18. 如图，设是等边内的一点，，，，则的度数是______．

三、解答题（本题共8小题，共46分）

19. 如图，图中的小方格都是边长为的正方形，的顶点坐标分别为，，．
    请在图中画出关于原点的中心对称图形；
    请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    ．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 解方程：．
23. 阅读与思考：
    整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
    由得，；
    利用这个式子可以将某些二次项系数是的二次三项式分解因式，
    例如：将式子分解因式．
    分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
    解：
    请仿照上面的方法，解答下列问题：
    分解因式：______；
    分解因式：；
    填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是______．
24. 如图，点是的平分线上一点，，，垂足分别为、．
    求证：
    ；
    ；
    是线段的垂直平分线．

25. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求线段的长．

26. 某商城销售、两种自行车，型自行车售价为元辆，型自行车售价为元辆，每辆型自行车的进价比每辆型自行车的进价多元，商城用元购进型自行车的数量与用元购进型自行车的数量相等．
    求每辆、两种自行车的进价分别是多少？
    现在商城准备一次购进这两种自行车共辆，设购进型自行车辆，要求购进型自行车数量不超过型自行车数量的倍，总利润不低于元，那么商城共有几种购货方案？
    若这辆自行车的销售总利润为元，在第问的各种方案中，哪一种方案获利最大，最大利润是多少？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不等式有：；是代数式，是等式．
故选：．
主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“”、“”、“”、“”、“”另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，故A错误，符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C正确，不符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据不等式性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：、、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A、B正确；
C、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C正确；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；
故选：．
根据不等式的性质，可判断、，根据不等式的性质，可判断，根据不等式的性质，可判断．
本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项排除可得出答案．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
由▱的对角线，相交于点，，易得是的中位线，即可求得的长，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意证得是的中位线是关键．
【解答】
解：▱的对角线，相交于点，
，，，
，，
，
▱的周长．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【解答】
解：由旋转的性质可知，的度数为旋转度数，，，
在中，
，
，
，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值即可．
此题考查了分式方程增根的知识．注意增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：方程两边都乘，
得：，
原方程有增根，
最简公分母：，
解得，
当时，．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：、任意三角形的内角和是，放在同一顶点处个即能密铺，不符合题意；
B、任意四边形的内角和是，放在同一顶点处个即能密铺，不符合题意；
C、正六边形每个内角是，能整除，故能密铺，不符合题意；
D、正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，符合题意．
故选：．
分别求出三角形，四边形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，，，
四边形、是平行四边形，
在和中
，
≌，
即和的面积相等；
同理和的面积相等，和的面积相等，
四边形和四边形的面积相等，
即．
故选A．
根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证≌，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出和的面积相等，和的面积相等，和的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等
 

10.【答案】 

【解析】解：、、分别为、、的中点，
，，，
的周长为：，
同理可得：的周长为：，

则第个三角形的周长为：，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，进而求出的周长，根据题意总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】三个角都大于 

【解析】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．

【解答】
解：与的和表示为：，由题意可列不等式为：，
故答案为：．
与的和表示为：，“不小于”用数学符号表示为“”，由此可得不等式．  

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
该不等式的正整数解为：，，，
不等式的正整数解有个，
故答案为：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出是解此题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质求出，求出，即可得出答案．
【解答】
解：在中，，，
，
是边的垂直平分线，，
，
，
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长为：．
故答案为：．
根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

17.【答案】 

【解析】解：两个条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的上方，故不等式的解集为．
故本题答案为：．
由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集．
本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
 

18.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，
可将绕点逆时针旋转得，
连，如图，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
．
故答案为．
将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；
如图，满足条件的点的坐标为或或．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平行四边形的定义画出图形，可得结论．
本题考查作图旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：，
解得：，
解得：．
则不等式组的解集是：．
数轴表示为：
． 

【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

21.【答案】解：原式
，
当时，
原式． 

【解析】先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值．
本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
 

22.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

23.【答案】；
原式
；
  ，  ． 

【解析】

解：，
故答案为：；

见答案；

若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是；；；，
故答案为：，．
【分析】
利用十字相乘法分解因式即可；
将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得．
找出所求满足题意的值即可．
此题考查了因式分解十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．  

24.【答案】证明：平分，，，
，即为等腰三角形，
；

点是的平分线上一点，，，
，，，
≌，
；

由知，≌，
，，
是线段的垂直平分线． 

【解析】根根据等边对等角即可得出结论；
根据全等三角形的对应边相等得到结论；
由知，≌，得出，，进而得到是的垂直平分线．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
的平分线交于点，的平分线交于点，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
的平分线交于点，
，
，
，
同理：，
，
，
，
，
． 

【解析】证出，由角平分线的定义得出，，得出，证出，即可得出结论；
由平行四边形的性质得出，，，由平行线的性质和角平分线定义证出，得出，同理：，得出，，证出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是等腰三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：设每辆型自行车的进价为元，则每辆型自行车的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：每辆型自行车的进价为元，每辆型自行车的进价为元；
由题意，得，
由题意，得，
解得：，
为正整数，
，，，
购进方案三种，类辆，类辆；类辆，类辆；类辆，类辆；
，，
随的增大而减小，
时，最大，最大值为，
答：购进类辆，类辆时利润最大，最大利润为元． 

【解析】设每辆型自行车的进价为元，则每辆型自行车的进价为元，根据商城用元购进型自行车的数量与用元购进型自行车的数量相等列出方程，解方程即可；
购进型自行车辆，则购进型自行车辆，根据题意列出不等式组即可；
根据函数的性质求最值以及此时的购进方案．
本题考查了分式方程的应用、一次函数和不等式组，要特别注意自变量的取值范围．