北京市朝阳区2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

北京市朝阳区2021~2022学年度第二学期质量检测

高一数学试卷

2022.7

（考试时间120分钟     满分150分）

本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题     共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.

【详解】解：，

则对应点的坐标为，位于第一象限.

故选：A.

2. 已知向量，且，则x的值为（    ）

A. 4 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量共线的坐标表示即可得出答案.

【详解】解：因为，且，

所以，解得.

故选：B.

3. 如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向量的减法可判断C选项.

【详解】对于A选项，，A错；

对于B选项，，B错；

对于C选项，，C对；

对于D选项，，D错.

故选：C.

4. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（    ）

A. 钝角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形，但不是等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】先由正弦定理得，进而得到，即可求解.

【详解】由正弦定理得，则，又为三角形内角，

则，则是等边三角形.

故选：B.

5. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，，下列结论中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若m与n不相交，则 D. 若，则m与n不相交

【答案】D

【解析】

【分析】根据面面平行的判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案.

【详解】若，则可能平行、可能相交，故A不正确；

若，则可能平行、可能异面，故B不正确；

若m与n不相交，则也不一定平行，故C不正确；

若m与n不相交，则，故D正确

故选：D.

6. 某西瓜种植基地种植了三个品种的西瓜共计1200亩，其中A品种600亩，B品种400亩，C品种200亩．为了解该西瓜种植基地的西瓜产量，按照各品种的种植亩数在总体中所占的比例进行分层随机抽样，从总体中抽出60亩作为样本进行调查，测得样本中A品种总产量为108吨，B品种总产量为50吨，C品种总产量为20吨，则这1200亩西瓜的总产量估计为（    ）

A. 1200吨 B. 3000吨 C. 3560吨 D. 6480吨

【答案】C

【解析】

【分析】根据抽样方法是按照各品种的种植亩数在总体中所占的比例进行分层随机抽样即可求解.

【详解】解：根据题意这1200亩西瓜的总产量估计为吨，

故选：C.

7. 两位射击运动员在射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

用分别表示甲、乙两名运动员10次射击成绩的第80百分位数，用分别表示甲、乙两名运动员10次射击成绩的标准差，则有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据百分位数和方差的定义计算求解即可.

【详解】将甲、乙两组数据分别从小到大排列：

甲：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10

乙：5，6，6，7，7，7，7，8，8，10

因为，所以，.

甲的平均数，

乙的平均数，

所以，

同理可得.

所以，.

故选：D.

8. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由化简得，再由余弦定理得，即可求得角A的取值范围.

【详解】由可得，整理得，

由余弦定理得，则，又，则.

故选：A.

9. 把和的图象围成的封闭平面图形绕x轴旋转一周，所得几何体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式即可求解.

【详解】解：由题意，该几何体可以看作一个圆柱挖去两个完全相同的圆锥，

所以所得几何体的体积为，

故选：A.

10. 已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（    ）

①直线与直线垂直；                ②直线与平面平行；

③点C与点G到平面的距离相等；       ④平面截正方体所得的截面面积为．

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④

【答案】C

【解析】

【分析】由即为直线与直线所成的角，即可判断①；对于②，连接，由线面平行的判定即可判断②；由平面不过的中点即可判断③；先找出截面，再计算面积即可判断④.

【详解】解：对于①，由正方体得，则即为直线与直线所成的角，

连接AC，而平面ABCD，所以，所以在中，则不可能是直角，直线与直线不垂直，故①不正确；

对于②，连接，则，所以平面，平面，平面，所以∥平面，故②正确；

对于③，若点C与点G到平面的距离相等，则平面必过的中点，连接交于，且不是的中点，

则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，③不正确；

对于④，因为，，所以等腰梯形即为平面截正方体所得的截面，

则，之间的距离为，

则面积为，故④正确.

故选：C.

第二部分（非选择题  共100分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11. 若复数（其中i为虚数单位），则共轭复数________.

【答案】

【解析】

【分析】由复数乘法法则计算出后可得其共轭复数．

【详解】由已知得，，则

故答案为：．

12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，___________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用正弦定理即可得出答案，注意大边对大角.

【详解】解：因为，

又正弦定理得，

所以，

由，得，

所以.

故答案为：.

13. 已知向量，且，则___________，___________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据向量坐标的线性运算求出，再根据数量积的坐标运算即可求出，再根据向量的模的坐标公式即可求出.

【详解】解：因为，

所以，

则，解得，

所以，

所以.

故答案为：；.

14. 一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为___________．

【答案】2或8

【解析】

【分析】先求出取出2个球颜色不同的概率，再解方程求解即可.

【详解】由题意知，取出的2个球颜色不同的概率为，

化简得，解得或8.

故答案为：2或8.

15. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D．已知湿地夹在公路之间（的长度均超过），且．在公路上分别设有游客接送点E，F，．若要求观景台D建在E，F两点连线的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路与，，则观光线路与之和最长为___________．

【答案】4

【解析】

【分析】利用余弦定理得到关于与的方程，借助基本不等式求的最大值.

【详解】在中，；

在中，设，由余弦定理可得：，

即：，即，

因为，所以，，

当且仅当时，取到最大值4，即与之和最长为4.

故答案为：4.

16. 已知是单位向量，向量满足，且，其中，且．则下列结论中，正确结论的序号是___________．

①；

②；

③存在x，y，使得；

④当取最小值时，．

【答案】①③④

【解析】

【分析】由结合数量积运算得；又由，求得，进而得；结合基本不等式求得；进而得到，同时平方即得.

【详解】由可得，即，①正确；

又且，则，即，所以，

又，则，同理，

则，即，②错误；

由知至少一正，若一正一负，则，显然不满足，

故均为正，则，当且仅当时等号成立，则，

当且仅当时等号成立，则存在x，y，使得，③正确；

当取最小值2时，，由可得，则，

即，则，④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】本题关键点在于由结合得到，进而得，再结合基本不等式求得，最后由平方即可求解.

三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. 为方便A，B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从A，B两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：，整理得到如下频率分布直方图：

根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：

（1）从A地区随机抽取一名乘客，以频率估计概率，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率；

（2）从A地区与B地区各随机抽取一名乘客，记事件C为“抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为非常满意且另一名乘客的满意程度等级为不满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件C的概率；

（3）设为从A地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从B地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从A，B两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较与的大小，并说明理由．

【答案】（1）0.2；   

（2）0.1；    （3），理由见解析

【解析】

【分析】（1）先由频率和为1解出，再求是非常满意的概率即可；

（2）分别求出A、B地区非常满意和不满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可；

（3）由频率分布直方图求得，进而求出，计算求解即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图知，，解得，

则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为；

【小问2详解】

从A地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为，是不满意的概率为；

从B地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为，是不满意的概率为；

则；

【小问3详解】

，理由如下：，

，

因A，B两地区人数比为，则，

则，，则.

18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求角B：

（2）从①，②中选取一个作为条件，证明另外一个成立；

（3）若D为线段上一点，且，求的面积．

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）4

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理即可得解；

（2）选①，根据结合（1）求出，可得，则有，再根据正弦定理化角为边即可得证；

选②，利用正弦定理化边角，再结合（1）即可得出结论；

（3）利用正弦定理求得，再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案.

【小问1详解】

解：因为，

所以，

所以，

又，

所以；

【小问2详解】

证明：选①，

因为，，

所以，

所以，即，

所以；

选②，因为，

所以，

所以，

又，则，

所以，

即，

所以；

【小问3详解】

解：由（1）得，则，

因为，所以

，

所以的面积为4．

19. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，四边形为菱形，，E，F分别为的中点．

（1）证明平面，并求点C到平面的距离；

（2）证明：四点共面．

【答案】（1）证明见解析，距离为；   

（2）证明见解析；

【解析】

【分析】（1）由及即可证得平面；设交于，即为点C到平面的距离，再由三角形知识求解即可；

（2）取中点，先证得四边形为平行四边形，得到，进而证得，即可证得结论.

【小问1详解】

因为四边形为菱形，所以，又侧棱底面，底面，则，

又，所以，又，平面，所以平面；

设交于，则即为点C到平面的距离，又，则，

即点C到平面的距离为；

【小问2详解】

取中点，连接，易得，则四边形为平行四边形，

则，又，则，所以四点共面．

20. 如图，在四棱锥中，平面平面∥平面，，E是的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）若M是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点N，使得∥平面？请说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）当为中点时，∥平面.

【解析】

【分析】（1）由线面平行的性质定理即可证明.

（2）由面面垂直的性质定理证得平面，又因为平面，所以平面平面.

（3）取的中点，连接，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性质定理可证得∥平面.

【小问1详解】

∥平面平面平面平面,

所以.

【小问2详解】

因为平面平面平面平面，

，所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

【小问3详解】

取的中点，连接，

分别为的中点，所以，

平面，平面，所以平面，

又因为，，所以四边形为平行四边形，

所以，平面，平面，所以平面，

，所以平面平面，又因为平面，所以∥平面.

线段上存在点N，使得∥平面.

21. 若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分．

（1）写出集合的所有不同的2划分；

（2）设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；

①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；

②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；

③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；

④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．

（3）设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得．

【答案】（1）   

（2）①可能成立，例子见解析；②可能成立，例子见解析；③可能成立，例子见解析；④不可能成立，证明过程见解析；   

（3）证明过程见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可；

（2）①②③可以举出反例，④可以利用反证法进行证明；

（3）用反证法进行证明,

【小问1详解】

集合的所有不同的2划分为

【小问2详解】

①可能成立，举例如下：，；

②可能成立，举例如下：，；

③可能成立，举例如下：，；

④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设中元素的最大值为S，中元素的最小值为t，由题可知：s<t，所以，

因为s为中元素的最大值，所以，

因为t为中元素的最小值，所以，

因为，所以，

这与矛盾，

所以假设不成立，即④不可能成立；

【小问3详解】

由于集合A中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素，

不妨设中至少包含6个元素，

设且，

假设对任意，对任意，都有，

那么，

又因为，

所以，

则，中必有一个集合至少包含中的3个元素，

不妨设这3个元素为，

由假设可知：，

对任意，存在，

都有，

又因为，而，与假设矛盾，

所以假设不成立，

所以存在，存在，使得

【点睛】对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论.