2022年中考数学真题分类汇编：19圆解析版

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2022年中考数学真题分类汇编：19 圆
一、单选题
1．如图，在 △ABC 中， CA=CB=4，∠BAC=α ，将 △ABC 绕点A逆时针旋转 2α ，得到 △AB′C′ ，连接 B′C 并延长交AB于点D，当 B′D⊥AB 时， BB′ 的长是（　　）
A．233π B．433π C．839π D．1039π
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵CA=CB，B'D⊥AB ，
∴AD=DB=12AB ，
∵△AB′C′ 是 △ABC 绕点A逆时针旋转 2α 得到，
∴AB=AB' ， AD=12AB' ，
在 RtΔAB'D 中， cos∠B'AD=ADAB'=12 ，
∴∠B'AD=60° ，
∵∠CAB=α，∠B'AB=2α ，
∴∠CAB=12∠B'AB=12×60°=30° ，
∵AC=BC=4 ，
∴AD=AC·cos30°=4×32=23 ，
∴AB=2AD=43 ，
∴BB′ 的长= 60πAB180=433π .
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD=DB=12AB，根据旋转的性质可得AB=AB′，AD=12AB′，求出sin∠B′AD的值，可得∠B′AD=60°，则∠CAB=30°，根据三角函数的概念可得AD，然后求出AB，接下来结合弧长公式计算即可.
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB=128°，则∠P的度数为（　　）
A．32° B．52° C．64° D．72°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠AOB=128°，
则∠P=360°−90°−90°−128°=52°.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
3．如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，随机地往⊙O内投一粒米，落在正六边形内的概率为（　　）
A．332π B．32π
C．34π D．以上答案都不对
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；解直角三角形；几何概率
【解析】【解答】解：如图：连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在Rt△OAH中，OH=OA⋅sin∠OAB=r×32=32r，
∴S△OAB=12AB⋅OH=12r×32r=34r2，
∴正六边形的面积=6×34r2=332r2，
∵⊙O的面积=πr2，
∴米粒落在正六边形内的概率为：332r2πr2=332π，
故答案为：A.

【分析】连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，利用正六边形的性质可求出中心角∠AOB的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OAB是等边三角形，利用解直角三角形求出OH的长；利用三角形的面积公式求出△AOB的面积，即可求出正六边形ABCDEF的面积，同时求出圆O的面积；然后利用概率公式求出随机地往⊙O内投一粒米，落在正六边形内的概率.
4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（　　）
A．45 B．35 C．34 D．43
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；切线长定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连结OA
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
AP=BP∠APD=∠BPDAD=AD，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=OA2+AP2=10，
∴sin∠ADB=APOP=810=45.
故答案为：A

【分析】连结OA，利用切线长定理可证得PA=PB，∠APD=∠BPD，OP⊥AP；再利用SAS证明△APD≌△BPD，利用全等三角形的性质可得到∠ADP=∠BDP可推出∠AOP=∠ADB，在Rt△AOP中，利用勾股定理求出OP的长；然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠ADB的值.
5．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径，
∴OE⊥CD，OE⊥AB，
∴PA=PB，PE=AC，
∵AB=CD=16cm，
∴PA=8cm，
∵AC=BD=PE=4cm，
在Rt△OAP，由勾股定理得，
PA2+OP2=OA2
82+(OA-4)2=OA2
解得，OA=10，
则这种铁球的直径＝2OA=2×10=20cm.
故答案为：C.
【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，易得四边形ABDC是矩形，根据切线的性质可得OE⊥CD，OE⊥AB，根据垂径定理可得PA=PB，PE=AC，易得PA=8cm，AC=4cm，根据勾股定理可得OA，进而可得这种铁球的直径.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为（　　）
A．π B．43π C．53π D．2π
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°−30°=60°，AC=12AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴AD的长为：60π×4180=43π.
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据直角三角形两锐角互余可得∠A=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB=4，由题意可得AC=CD，推出△ACD为等边三角形，得到∠ACD=60°，然后结合弧长公式进行计算.
7．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与 AMB 所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则 AMB 的长是（）
A．11π cm B．112π cm C．7π cm D．72π cm
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵ PA，PB分别与 AMB 所在圆相切于点A，B．
∴∠PAO=∠PBO=90° ，
∵ ∠P＝40°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−40°=140° ，
∵ 该圆半径是9cm，
∴AMB=360−140180π×9=11π cm，
故答案为：A．
【分析】先求出∠AOB=360°−90°−90°−40°=140°，再利用弧长公式求解即可。
8．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°．
∵∠D=∠B=20°，
∴∠CAD=180°−90°−∠D=108°−90°−20°=70°．
故答案为：C．
【分析】连接CD，根据圆周角的性质可得∠ACD=90°，∠D=∠B=20°，再利用角的运算可得∠CAD=180°−90°−∠D=108°−90°−20°=70°。
9．如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　）
A．3π−33 B．3π−932 C．2π−33 D．6π−932
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：依题意：△ACB≌△AOB，AO=BO=3
∴AC=BC=AO=BO=3
∴四边形OACB是菱形
∴AB⊥CO
连接OC
∵OC=OB=3
∴OC=OB=BC=3
∴△OBC是等边三角形
同理：△OAC是等边三角形
故∠AOB=120°
由三线合一，在Rt△OBD中：
∠OBD=12∠OBC=30°
OD=12OB=32
BD=3OD=323
S菱形OACB=12×2BD⋅2OD=12×2×323×2×32=923
S扇形AOB=120°360°⋅π⋅32=3π
S阴影=S菱形OACB−S扇形AOB=3π−923
故答案为：B

【分析】利用列表法列出算式S阴影=S菱形OACB−S扇形AOB，再利用扇形的面积公式和菱形的面积公式求解即可。
10．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，连接 OB ， OD ， BD ，若 ∠C=110° ，则 ∠OBD= （　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于 ⊙O ，
∴∠A=180°−∠BCD=70° ，
由圆周角定理得， ∠BOD=2∠A=140° ，
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB=180°−∠BOD2=20°
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，结合∠BCD的度数可得∠A的度数，由圆周角定理可得∠BOD=2∠A，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC，∠ACB=90°，根据余角的性质可得∠ABC=90°-∠CAB=25°，据此解答.
12．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（　　）
A．32 B．32 C．3 D．52
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，
∴∠DAC=30°，
∴CD=12AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(12AD)2+32，
∴AD=23，
∴OA=OB=12AD=3.
故答案为：C.
【分析】作直径AD，连接CD，根据等边三角形的三个角都等于60°，可得∠B=60°，根据圆周角定理可得∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=12AD，结合勾股定理求出AD，据此可得⊙O的半径.
13．如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（　　）
A．115° B．118° C．120° D．125°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠DFE=180°−∠A=120°，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠DFE=180°，据此计算.
14．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（　　）
A．44° B．45° C．54° D．67°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.
故答案为：A.
【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°，结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，据此计算.
15．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⊥CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（　　）
A．713 B．1213 C．712 D．1312
【答案】B
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB=26，
∴OC=13，
∵AB⊥CD ，
∴CE=ED=12CD=12，
∴cos∠OCE=CEOC=1213.
故答案为：B.

【分析】先求出OC长，再由垂径定理求出CE长，然后余弦的定义列式计算即可.
二、填空题
16．如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=　 　°.
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵边AB与⊙O相切，切点为 B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，
∴∠C=12∠AOB=25°.
故答案为：25.
【分析】连接OB，利用切线的性质可证得∠ABO=90°，利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数；再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可求出∠C的度数.
17．如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是　 　cm2.（结果用含π的式子表示）
【答案】134π
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴∠ABO=∠CBO；∠ACO=∠BCO
设∠ABO=∠CBO=a，∠ACO=∠BCO=b
在△ABC中：∠A+2a+2b=180°①
在△BOC中：∠DOE+a+b=180°②
由①②得：∠DOE=90°+12∠A=90°+12×80°=130°
扇形面积：S=130°360°×π×32=134π（cm2）
故答案为：134π

【分析】利用三角形的内切圆可知内切圆圆心是三条角平分线的交点，利用角平分线的定义可设∠ABO=∠CBO=a，∠ACO=∠BCO=b，利用三角形的内角和定理，可得到∠A+2a+2b=180°，∠DOE+a+b=180°，从而可求出∠DOE的度数；然后利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积.
18．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为　 　.
【答案】7
【知识点】菱形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB、AC，
∵ A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵ D为OC的中点，
∴OD=DC，
∴四边形AOBC是菱形，
∴BC=AO=7.
故答案为：7.
【分析】连接OB、CA，根据垂径定理可得AD=DB，由中点的概念可得OD=DC，推出四边形AOBC为菱形，然后结合OA的值可得BC的值.
19．如图，在⊙O中，AB为直径，AB=8，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点（不与点B重合），且OE=DE.
（1）若∠B=35°，则AD的长为　 　（结果保留π）；
（2）若AC=6，则DEBE=　 　.
【答案】（1）14π9
（2）2539
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOD=2∠ABD=70°，
∴AD的长=70⋅π⋅4180=14π9；
故答案为：14π9；
（2）连接AD，
∵AC是切线，AB是直径，
∴AB⊥AC，
∴BC=AB2+AC2=82+62=10，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥CB，
∴12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AD，
∴AD=245，
∴BD=AB2−AD2=82−(245)2=325，
∵OB=OD，EO=ED，
∴∠EDO=∠EOD=∠OBD，
∴△DOE∽△DBO，
∴DODB=DEDO，
∴4325=DE4，
∴DE=52，
∴BE=BD−DE=325−52=3910，
∴DEBE=523910=2539.
故答案为：2539.
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD=70°，然后结合弧长公式进行计算；
（2）连接AD，根据切线的性质可得AB⊥AC，由勾股定理可得AC，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，然后根据△ABC的面积公式可求出AD，由勾股定理可得BD，根据等腰三角形的性质可得∠EDO=∠EOD=∠OBD，证明△DOE∽△DBO，根据相似三角形的性质可得DE，由BE=BD-DE可得BE，据此求解.
20．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm，C为⊙O上一点，∠ACB=60°，则AB的长为　 　cm．
【答案】33
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
∴AD=BD=12AB，∠ODA=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵OA=3cm，
∴OD=32cm，
∴AD=OA2−OD2=332cm，
∴AB=33cm，
故答案为：33．

【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，先求出∠OAB=∠OBA=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD=32cm，再利用勾股定理和垂径定理可得AB=33cm。
三、综合题
21．如图，在 △ABC 中， AB=AC ，以AC为直径作 ⊙O 交BC于点D，过点D作 DE⊥AB ，垂足为E，延长BA交 ⊙O 于点F.
（1）求证：DE是 ⊙O 的切线
（2）若 AEDE=23，AF=10 ，求 ⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：连接OD；
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴OD ∥ AB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：连接CF，
由（1）知OD⊥DE，
∵DE⊥AB，
∴OD ∥ AB，
∵OA=OC，
∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，
∵AC是 ⊙O 的直径，
∴∠CFA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠CFA=∠BED=90°，
∴DE ∥ CF，
∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，
∴CF=2DE，
∵AEDE=23 ，
∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，
∵AF=10，
∴BE=EF=AE+AF=2k+10，
∴AC=BA=EF+AE=4k+10，
在Rt△ACF中，由勾股定理，得
AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，
∴AC=4k+10=4×4+10=26，
∴OA=13，
即 ⊙O 的半径为13.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC，∠B=∠C，则∠B=∠ODC，推出OD∥ AB，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE⊥OD，据此证明；
（2）连接CF，由（1）知OD⊥DE，则OD∥ AB，易得OD是△ABC的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE∥CF，推出DE是△FBC的中位线，得CF=2DE，设AE=2x，DE=3k，CF=6k，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k的值，然后求出AC、OA，据此可得半径.
22．（1）请在图中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证：BD⊥AD；
②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如下图所示
（2）解：①如下图所示，连接OC、OB
∵BD是⊙O的切线
∴OB⊥BD
∵∠CAE是CE对应的圆周角，∠COE是CE对应的圆心角
∴∠COE=2∠CAE
∵点B是CE的中点
∴∠COE=2∠BOE
∴∠CAE=∠BOE
∴∠CAE=∠BOE
∴AD//OB
∴BD⊥AD
②如下图所示，连接CE
∵∠ABC与∠AEC是AC对应的圆周角
∴∠ABC=∠AEC
∵AE是⊙O的直径
∴∠ACE=90°
∴tan∠AEC=ACCE=34
∴CE=8
∵AE2=CE2+AC2
∴AE=10
∴⊙O的半径为5.
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC的外接圆；

【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.
（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF.
（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）当DC=CB，∠DFE=2∠CDB时，则AEBE−DECE=　 　；AFAB+FEAD=　 　；1AB+1AD−1AF=　 　.（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足S=S1+S2，试判断，△ABE，△CDE的形状，并说明理由.
②当DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，n，p的式子表示AE⋅CE.
【答案】（1）证明：∵AD=AD，
∴∠ACD=∠ABD，
即∠ABE=∠DCE，
又∠DEC=∠AEB，
∴△ABE∽△DCE
（2）0；1；0
（3）解：①记△ADE，△EBC的面积为S3，S4，
则S=S1+S2+S3+S4，
∵S1S3=S4S2=BEDE，
∴S1S2=S3S4①
∵S=S1+S2，
即S=S1+S2+2S1S2，
∴S3+S4=2S1S2②
由①②可得S3+S4=2S3S4，
即(S3−S4)2=0，
∴S3=S4，
∴S△ABE+S△ADE=S△ABE+S△EBC，
即S△ABD=S△ADC，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠BAC，∠CDB=∠DBA，
∵∠ACD=∠ABD，∠CDB=∠CAB，
∴∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB，
∴△ABE，△DCE都为等腰三角形；
②∵DC=BC，
∴∠DAC=∠EAB，
∵∠DCA=∠EBA，
∴△DAC∽△EAB，
∴ADEA=ACAB，
∵AB=m，AD=n，CD=p，
∴EA⋅AC=DA×AB=mn，
∵∠BDC=∠BAC=∠DAC，
∴∠CDE=∠CAD，
又∠ECD=∠DCA，
∴△DCE∽△ACD，
∴CDAC=CECD，
∴CE⋅CA=CD2=p2，
∴EA⋅AC+CE⋅AC=AC2=mn+p2，
则AC=mn+p2，EC=CD2AC=p2mn+p2，
∴AE=AC−CE=mnmn+p2，
∴AE⋅EC=mnp2mn+p2
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵△ABE∽△DCE，
∴ABDC=BECE=AEDE，
∴AE⋅CE=BE⋅DE，
∴AEBE−DECE=AE⋅CE−BE⋅DEBE⋅CE=0，
∵∠CDB+∠CBD=180°−∠BCD=∠DAB=2∠CDB，
∵∠DFE=2∠CDB，
∴∠DFE=∠DAB，
∴EF∥AB，
∴∠FEA=∠EAB，
∵DC=CB，
∴∠DAC=∠BAC
∴∠FAE=∠FEA，
∴FA=FE，
∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB，
∴EFAB=DFAD，
∴AFAB+FEAD=EFAB+AFAD=DFAD+AFAD=ADAD=1，
∵AFAB+AFAD=AFAB+EFAD=1，
∴AFAB+AFAD=1，
∴1AB+1AD−1AF=0
故答案为：0，1，0；
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得∠ACD=∠ABD，即∠ABE=∠DCE，由对顶角的性质可得∠DEC=∠AEB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质可得AE·CE=BE·DE，对AEBE−DECE进行通分可得可得第一空的答案；根据内角和定理、圆内接四边形的性质可得∠CDB+∠CBD=180°-∠BCD=∠DAB=2∠CDB，结合已知条件可得∠DFE=∠DAB，推出EF∥AB，由平行线的性质可得∠FEA=∠EAB，根据圆周角定理可得∠DAC=∠BAC，进而得到FA=FE，证明△DFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得AFAB+FEAD=EFAB+AFAD=DFAD+AFAD=ADAD，据此可得第二空的答案；根据AFAB+AFAD=AFAB+EFAD=1可得AFAB+AFAD=1，据此可得第三空的答案；
（3）①记△ADE、△EBC的面积为S3、S4，则S=S1+S2+S3+S4，易得S1S2=S3S4，根据已知条件可得S3+S4=2S1S2，则可推出S3=S4，结合面积间的和差关系可得S△ABD=S△ADC，推出CD∥AB，结合平行线的性质以及圆周角定理可得∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB，据此证明；
②根据圆周角定理可得∠DAC=∠EAB，∠DCA=∠EBA，证明△DAC∽△EAB，△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得EA·AC=DA·AB=mn，CE·CA=CD2=p2，然后表示出AC、EC，由AE=AC-CE可得AE，据此求解.
24．如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.
【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠PCB=∠OAC，
∴∠PCB=∠OCA，
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切
（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，
∴BCAC=12，
∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴PCPA=PBPC=BCCA=12，
∴PA=8，PB=2，
∴AB=6，
∴OC=OB=3，
∴OP=5，
∵BC∥OD，
∴△PBC∽△POD，
∴PBOP=PCPD，即25=4PD，
∴PD=10，
∴CD=6，
∴S△OCD=12OC⋅CD=9
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；
（2）根据三角函数的概念可得BCAC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.
25．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.
（1）求证：BF=BD；
（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.
【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：
∵AC为圆O的切线，
∴∠AEO=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴OE∥BC，
∴∠F=∠DEO，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠F=∠ODE，
∴BD=BF.
（2）解：连接BE，如下图所示：
由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，
∴tan∠EDB=tan∠F=ECCF，代入数据：2=EC1，
∴EC=2，
又BD是圆O的直径，
∴∠BED=∠BEF=90°，
∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB，
∴∠F=∠CEB，
∴tan∠F=tan∠CEB=BCCE，代入数据：2=BC2，
∴BC=4，
由(1)可知：BD=BF=BC+CF=4+1=5，
∴圆O的直径为5.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OE，利用切线的性质和垂直的定义可证得∠AEO=∠ACB=90°，可推出OE∥BC；再利用平行线的性质可得到∠F=∠DEO，利用等边对等角可证得∠ODE=∠DEO，由此可推出∠F=∠ODE，利用等角对等边，可证得结论.
（2）连接BE，由∠EDB=∠F；再利用解直角三角形可求出EC的长，利用直径所对的圆周角是直角得到BE⊥DF，利用余角的性质可得到∠F=∠CEB，利用解直角三角形求出BC的长；然后根据BD=BF=BC+CF，代入计算求出BD的长