2022年中考数学真题分类汇编:19圆解析版
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一、单选题
1.如图,在 △ABC 中, CA=CB=4,∠BAC=α ,将 △ABC 绕点A逆时针旋转 2α ,得到 △AB′C′ ,连接 B′C 并延长交AB于点D,当 B′D⊥AB 时, BB′ 的长是( )
A.233π B.433π C.839π D.1039π
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质;弧长的计算;锐角三角函数的定义;旋转的性质
【解析】【解答】解: ∵CA=CB,B'D⊥AB ,
∴AD=DB=12AB ,
∵△AB′C′ 是 △ABC 绕点A逆时针旋转 2α 得到,
∴AB=AB' , AD=12AB' ,
在 RtΔAB'D 中, cos∠B'AD=ADAB'=12 ,
∴∠B'AD=60° ,
∵∠CAB=α,∠B'AB=2α ,
∴∠CAB=12∠B'AB=12×60°=30° ,
∵AC=BC=4 ,
∴AD=AC·cos30°=4×32=23 ,
∴AB=2AD=43 ,
∴BB′ 的长= 60πAB180=433π .
故答案为:B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD=DB=12AB,根据旋转的性质可得AB=AB′,AD=12AB′,求出sin∠B′AD的值,可得∠B′AD=60°,则∠CAB=30°,根据三角函数的概念可得AD,然后求出AB,接下来结合弧长公式计算即可.
2.如图,PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为( )
A.32° B.52° C.64° D.72°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角;切线的性质
【解析】【解答】解:∵PA,PB是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∵∠AOB=128°,
则∠P=360°−90°−90°−128°=52°.
故答案为:B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA,OB⊥PB,根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°,然后结合四边形内角和为360°进行计算.
3.如图,已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O,随机地往⊙O内投一粒米,落在正六边形内的概率为( )
A.332π B.32π
C.34π D.以上答案都不对
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆内接正多边形;解直角三角形;几何概率
【解析】【解答】解:如图:连接OB,过点O作OH⊥AB于点H,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB=60°,
∵OA=OB=r,
∴△OAB是等边三角形,
∴AB=OA=OB=r,∠OAB=60°,
在Rt△OAH中,OH=OA⋅sin∠OAB=r×32=32r,
∴S△OAB=12AB⋅OH=12r×32r=34r2,
∴正六边形的面积=6×34r2=332r2,
∵⊙O的面积=πr2,
∴米粒落在正六边形内的概率为:332r2πr2=332π,
故答案为:A.
【分析】连接OB,过点O作OH⊥AB于点H,利用正六边形的性质可求出中心角∠AOB的度数,利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,可证得△OAB是等边三角形,利用解直角三角形求出OH的长;利用三角形的面积公式求出△AOB的面积,即可求出正六边形ABCDEF的面积,同时求出圆O的面积;然后利用概率公式求出随机地往⊙O内投一粒米,落在正六边形内的概率.
4.如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,连接PO并延长与⊙O交于点C、D,若CD=12,PA=8,则sin∠ADB的值为( )
A.45 B.35 C.34 D.43
【答案】A
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义;切线长定理;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:连结OA
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,
∴PA=PB,OP平分∠APB,OP⊥AP,
∴∠APD=∠BPD,
在△APD和△BPD中,
AP=BP∠APD=∠BPDAD=AD,
∴△APD≌△BPD(SAS)
∴∠ADP=∠BDP,
∵OA=OD=6,
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP,
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB,
在Rt△AOP中,OP=OA2+AP2=10,
∴sin∠ADB=APOP=810=45.
故答案为:A
【分析】连结OA,利用切线长定理可证得PA=PB,∠APD=∠BPD,OP⊥AP;再利用SAS证明△APD≌△BPD,利用全等三角形的性质可得到∠ADP=∠BDP可推出∠AOP=∠ADB,在Rt△AOP中,利用勾股定理求出OP的长;然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠ADB的值.
5.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求,设计了一个如图(1)所示的工件槽,其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点,该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图,已知⊙O的直径就是铁球的直径,AB是⊙O的弦,CD切⊙O于点E,AC⊥CD、BD⊥CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为( )
A.10cm B.15cm C.20cm D.24cm
【答案】C
【知识点】勾股定理;矩形的判定与性质;垂径定理;切线的性质
【解析】【解答】解:如图所示,连接OA,OE,设OE与AB交于点P,
∵AC=BD,AC⊥CD,BD⊥CD,
∴四边形ABDC是矩形,
∵CD与⊙O切于点E,OE为⊙O的半径,
∴OE⊥CD,OE⊥AB,
∴PA=PB,PE=AC,
∵AB=CD=16cm,
∴PA=8cm,
∵AC=BD=PE=4cm,
在Rt△OAP,由勾股定理得,
PA2+OP2=OA2
82+(OA-4)2=OA2
解得,OA=10,
则这种铁球的直径=2OA=2×10=20cm.
故答案为:C.
【分析】连接OA,OE,设OE与AB交于点P,易得四边形ABDC是矩形,根据切线的性质可得OE⊥CD,OE⊥AB,根据垂径定理可得PA=PB,PE=AC,易得PA=8cm,AC=4cm,根据勾股定理可得OA,进而可得这种铁球的直径.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以点C为圆心,CA的长为半径画弧,交AB于点D,则AD的长为( )
A.π B.43π C.53π D.2π
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;弧长的计算
【解析】【解答】解:连接CD,如图所示:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,AB=8,
∴∠A=90°−30°=60°,AC=12AB=4,
由题意得:AC=CD,
∴△ACD为等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∴AD的长为:60π×4180=43π.
故答案为:B.
【分析】连接CD,根据直角三角形两锐角互余可得∠A=60°,根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB=4,由题意可得AC=CD,推出△ACD为等边三角形,得到∠ACD=60°,然后结合弧长公式进行计算.
7.某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与 AMB 所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9cm,∠P=40°,则 AMB 的长是()
A.11π cm B.112π cm C.7π cm D.72π cm
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:如图,
∵ PA,PB分别与 AMB 所在圆相切于点A,B.
∴∠PAO=∠PBO=90° ,
∵ ∠P=40°,
∴∠AOB=360°−90°−90°−40°=140° ,
∵ 该圆半径是9cm,
∴AMB=360−140180π×9=11π cm,
故答案为:A.
【分析】先求出∠AOB=360°−90°−90°−40°=140°,再利用弧长公式求解即可。
8.如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接CD,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°.
∵∠D=∠B=20°,
∴∠CAD=180°−90°−∠D=108°−90°−20°=70°.
故答案为:C.
【分析】连接CD,根据圆周角的性质可得∠ACD=90°,∠D=∠B=20°,再利用角的运算可得∠CAD=180°−90°−∠D=108°−90°−20°=70°。
9.如图,扇形纸片AOB的半径为3,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在AB上的点C处,图中阴影部分的面积为( )
A.3π−33 B.3π−932 C.2π−33 D.6π−932
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解:依题意:△ACB≌△AOB,AO=BO=3
∴AC=BC=AO=BO=3
∴四边形OACB是菱形
∴AB⊥CO
连接OC
∵OC=OB=3
∴OC=OB=BC=3
∴△OBC是等边三角形
同理:△OAC是等边三角形
故∠AOB=120°
由三线合一,在Rt△OBD中:
∠OBD=12∠OBC=30°
OD=12OB=32
BD=3OD=323
S菱形OACB=12×2BD⋅2OD=12×2×323×2×32=923
S扇形AOB=120°360°⋅π⋅32=3π
S阴影=S菱形OACB−S扇形AOB=3π−923
故答案为:B
【分析】利用列表法列出算式S阴影=S菱形OACB−S扇形AOB,再利用扇形的面积公式和菱形的面积公式求解即可。
10.如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙O ,连接 OB , OD , BD ,若 ∠C=110° ,则 ∠OBD= ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆周角定理;圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD内接于 ⊙O ,
∴∠A=180°−∠BCD=70° ,
由圆周角定理得, ∠BOD=2∠A=140° ,
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB=180°−∠BOD2=20°
故答案为:B.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°,结合∠BCD的度数可得∠A的度数,由圆周角定理可得∠BOD=2∠A,然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
11.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,若∠CAB=65°,则∠ADC的度数为( )
A.25° B.35° C.45° D.65°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质;圆周角定理
【解析】【解答】解:∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
又∵∠CAB=65°,
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°,
∴∠ADC=∠ABC=25°.
故答案为:A.
【分析】根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC,∠ACB=90°,根据余角的性质可得∠ABC=90°-∠CAB=25°,据此解答.
12.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则⊙O的半径是( )
A.32 B.32 C.3 D.52
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;勾股定理;圆周角定理
【解析】【解答】解:作直径AD,连接CD,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°,
∵AD为直径,
∴∠ACD=90°,
∵∠D=∠B=60°,
∴∠DAC=30°,
∴CD=12AD,
∵AD2=CD2+AC2,即AD2=(12AD)2+32,
∴AD=23,
∴OA=OB=12AD=3.
故答案为:C.
【分析】作直径AD,连接CD,根据等边三角形的三个角都等于60°,可得∠B=60°,根据圆周角定理可得∠ACD=90°,∠D=∠B=60°,则∠DAC=30°,根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=12AD,结合勾股定理求出AD,据此可得⊙O的半径.
13.如图所示,等边△ABC的顶点A在⊙O上,边AB、AC与⊙O分别交于点D、E,点F是劣弧DE上一点,且与D、E不重合,连接DF、EF,则∠DFE的度数为( )
A.115° B.118° C.120° D.125°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质;圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∴∠DFE=180°−∠A=120°,
故答案为:C.
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°,由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠DFE=180°,据此计算.
14.如图,△ABC内接于⊙O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB=( )
A.44° B.45° C.54° D.67°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质;圆周角定理
【解析】【解答】解:连接OB,如图,
∵∠C=46°,
∴∠AOB=2∠C=92°,
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.
故答案为:A.
【分析】连接OB,由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°,结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°,根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA,据此计算.
15.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是OO的弦,AB⊥CD.垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
A.713 B.1213 C.712 D.1312
【答案】B
【知识点】垂径定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵AB=26,
∴OC=13,
∵AB⊥CD ,
∴CE=ED=12CD=12,
∴cos∠OCE=CEOC=1213.
故答案为:B.
【分析】先求出OC长,再由垂径定理求出CE长,然后余弦的定义列式计算即可.
二、填空题
16.如图,射线AB与⊙O相切于点B,经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C,连接BC,若∠A=40°,则∠ACB= °.
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质;切线的性质
【解析】【解答】解:连接OB,如图,
∵边AB与⊙O相切,切点为 B,
∴OB⊥AB,
∴∠ABO=90°,
∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,
∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C,
∴∠C=12∠AOB=25°.
故答案为:25.
【分析】连接OB,利用切线的性质可证得∠ABO=90°,利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数;再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质,可求出∠C的度数.
17.如图,在△ABC中,∠A=80°,半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆,连接OB、OC,则图中阴影部分的面积是 cm2.(结果用含π的式子表示)
【答案】134π
【知识点】三角形的内切圆与内心;扇形面积的计算
【解析】【解答】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴∠ABO=∠CBO;∠ACO=∠BCO
设∠ABO=∠CBO=a,∠ACO=∠BCO=b
在△ABC中:∠A+2a+2b=180°①
在△BOC中:∠DOE+a+b=180°②
由①②得:∠DOE=90°+12∠A=90°+12×80°=130°
扇形面积:S=130°360°×π×32=134π(cm2)
故答案为:134π
【分析】利用三角形的内切圆可知内切圆圆心是三条角平分线的交点,利用角平分线的定义可设∠ABO=∠CBO=a,∠ACO=∠BCO=b,利用三角形的内角和定理,可得到∠A+2a+2b=180°,∠DOE+a+b=180°,从而可求出∠DOE的度数;然后利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积.
18.如图,A、B、C是⊙O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
【答案】7
【知识点】菱形的判定与性质;垂径定理
【解析】【解答】解:如图,连接OB、AC,
∵ A、B、C是⊙O上的点,OC⊥AB,
∴AD=DB,
∵ D为OC的中点,
∴OD=DC,
∴四边形AOBC是菱形,
∴BC=AO=7.
故答案为:7.
【分析】连接OB、CA,根据垂径定理可得AD=DB,由中点的概念可得OD=DC,推出四边形AOBC为菱形,然后结合OA的值可得BC的值.
19.如图,在⊙O中,AB为直径,AB=8,BD为弦,过点A的切线与BD的延长线交于点C,E为线段BD上一点(不与点B重合),且OE=DE.
(1)若∠B=35°,则AD的长为 (结果保留π);
(2)若AC=6,则DEBE= .
【答案】(1)14π9
(2)2539
【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理;切线的性质;弧长的计算;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:(1)∵∠AOD=2∠ABD=70°,
∴AD的长=70⋅π⋅4180=14π9;
故答案为:14π9;
(2)连接AD,
∵AC是切线,AB是直径,
∴AB⊥AC,
∴BC=AB2+AC2=82+62=10,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥CB,
∴12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AD,
∴AD=245,
∴BD=AB2−AD2=82−(245)2=325,
∵OB=OD,EO=ED,
∴∠EDO=∠EOD=∠OBD,
∴△DOE∽△DBO,
∴DODB=DEDO,
∴4325=DE4,
∴DE=52,
∴BE=BD−DE=325−52=3910,
∴DEBE=523910=2539.
故答案为:2539.
【分析】(1)根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD=70°,然后结合弧长公式进行计算;
(2)连接AD,根据切线的性质可得AB⊥AC,由勾股定理可得AC,根据圆周角定理可得∠ADB=90°,然后根据△ABC的面积公式可求出AD,由勾股定理可得BD,根据等腰三角形的性质可得∠EDO=∠EOD=∠OBD,证明△DOE∽△DBO,根据相似三角形的性质可得DE,由BE=BD-DE可得BE,据此求解.
20.如图,在⊙O中,AB是⊙O的弦,⊙O的半径为3cm,C为⊙O上一点,∠ACB=60°,则AB的长为 cm.
【答案】33
【知识点】勾股定理;垂径定理;圆周角定理
【解析】【解答】解:连接OA、OB,过点O作OD⊥AB于点D,
∴AD=BD=12AB,∠ODA=90°,
∵∠ACB=60°,
∴∠AOB=120°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∵OA=3cm,
∴OD=32cm,
∴AD=OA2−OD2=332cm,
∴AB=33cm,
故答案为:33.
【分析】连接OA、OB,过点O作OD⊥AB于点D,先求出∠OAB=∠OBA=30°,再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD=32cm,再利用勾股定理和垂径定理可得AB=33cm。
三、综合题
21.如图,在 △ABC 中, AB=AC ,以AC为直径作 ⊙O 交BC于点D,过点D作 DE⊥AB ,垂足为E,延长BA交 ⊙O 于点F.
(1)求证:DE是 ⊙O 的切线
(2)若 AEDE=23,AF=10 ,求 ⊙O 的半径.
【答案】(1)证明:连接OD;
∵OD=OC,
∴∠C=∠ODC,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠ODC,
∴OD ∥ AB,
∴∠ODE=∠DEB;
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠ODE=90°,
即DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线
(2)解:连接CF,
由(1)知OD⊥DE,
∵DE⊥AB,
∴OD ∥ AB,
∵OA=OC,
∴BD=CD,即OD是△ABC的中位线,
∵AC是 ⊙O 的直径,
∴∠CFA=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠BED=90°,
∴∠CFA=∠BED=90°,
∴DE ∥ CF,
∴BE=EF,即DE是△FBC的中位线,
∴CF=2DE,
∵AEDE=23 ,
∴设AE=2x,DE=3k,CF=6k,
∵AF=10,
∴BE=EF=AE+AF=2k+10,
∴AC=BA=EF+AE=4k+10,
在Rt△ACF中,由勾股定理,得
AC2=AF2+CF2,即(4k+10)2=102+(6k)2,
解得:k=4,
∴AC=4k+10=4×4+10=26,
∴OA=13,
即 ⊙O 的半径为13.
【知识点】平行线的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理;切线的判定;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC,∠B=∠C,则∠B=∠ODC,推出OD∥ AB,由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°,即DE⊥OD,据此证明;
(2)连接CF,由(1)知OD⊥DE,则OD∥ AB,易得OD是△ABC的中位线,根据圆周角定理可得∠CFA=90°,根据垂直的概念可得∠BED=90°,则DE∥CF,推出DE是△FBC的中位线,得CF=2DE,设AE=2x,DE=3k,CF=6k,则BE=EF=2k+10,AC=BA=4k+10,根据勾股定理可得k的值,然后求出AC、OA,据此可得半径.
22.(1)请在图中作出△ABC的外接圆⊙O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE是⊙O的直径,点B是CE的中点,过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证:BD⊥AD;
②若AC=6,tan∠ABC=34,求⊙O的半径.
【答案】(1)解:如下图所示
(2)解:①如下图所示,连接OC、OB
∵BD是⊙O的切线
∴OB⊥BD
∵∠CAE是CE对应的圆周角,∠COE是CE对应的圆心角
∴∠COE=2∠CAE
∵点B是CE的中点
∴∠COE=2∠BOE
∴∠CAE=∠BOE
∴∠CAE=∠BOE
∴AD//OB
∴BD⊥AD
②如下图所示,连接CE
∵∠ABC与∠AEC是AC对应的圆周角
∴∠ABC=∠AEC
∵AE是⊙O的直径
∴∠ACE=90°
∴tan∠AEC=ACCE=34
∴CE=8
∵AE2=CE2+AC2
∴AE=10
∴⊙O的半径为5.
【知识点】圆周角定理;三角形的外接圆与外心;切线的性质;解直角三角形;作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】(1)∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点,半径为交点到任意顶点的距离,
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O,以OB为半径,以O为圆心做圆即可得到△ABC的外接圆;
【分析】(1)利用尺规作图分别作出AC,AB的垂直平分线,两垂直平分线交于点O,然后以点O为圆心,OB的长为半径画圆即可.
(2)①连接OC,OB,利用切线的性质可证得OB⊥BD,利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE,由点B是弧CE的中点,可推出∠CAE=∠BOE,利用平行线的判定定理可证得AD∥OB,由此可证得结论;②连接CE,利用同弧所对的圆周角相等,可证得∠ABC=∠AEC,利用直径所对的圆周角是直角,可推出∠ACE=90°;再利用解直角三角形求出CE的长,利用勾股定理求出AE的长.
23.如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD相交于点E,点F在边AD上,连接EF.
(1)求证:△ABE∽△DCE;
(2)当DC=CB,∠DFE=2∠CDB时,则AEBE−DECE= ;AFAB+FEAD= ;1AB+1AD−1AF= .(直接将结果填写在相应的横线上)
(3)①记四边形ABCD,△ABE,△CDE的面积依次为S,S1,S2,若满足S=S1+S2,试判断,△ABE,△CDE的形状,并说明理由.
②当DC=CB,AB=m,AD=n,CD=p时,试用含m,n,p的式子表示AE⋅CE.
【答案】(1)证明:∵AD=AD,
∴∠ACD=∠ABD,
即∠ABE=∠DCE,
又∠DEC=∠AEB,
∴△ABE∽△DCE
(2)0;1;0
(3)解:①记△ADE,△EBC的面积为S3,S4,
则S=S1+S2+S3+S4,
∵S1S3=S4S2=BEDE,
∴S1S2=S3S4①
∵S=S1+S2,
即S=S1+S2+2S1S2,
∴S3+S4=2S1S2②
由①②可得S3+S4=2S3S4,
即(S3−S4)2=0,
∴S3=S4,
∴S△ABE+S△ADE=S△ABE+S△EBC,
即S△ABD=S△ADC,
∴CD∥AB,
∴∠ACD=∠BAC,∠CDB=∠DBA,
∵∠ACD=∠ABD,∠CDB=∠CAB,
∴∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB,
∴△ABE,△DCE都为等腰三角形;
②∵DC=BC,
∴∠DAC=∠EAB,
∵∠DCA=∠EBA,
∴△DAC∽△EAB,
∴ADEA=ACAB,
∵AB=m,AD=n,CD=p,
∴EA⋅AC=DA×AB=mn,
∵∠BDC=∠BAC=∠DAC,
∴∠CDE=∠CAD,
又∠ECD=∠DCA,
∴△DCE∽△ACD,
∴CDAC=CECD,
∴CE⋅CA=CD2=p2,
∴EA⋅AC+CE⋅AC=AC2=mn+p2,
则AC=mn+p2,EC=CD2AC=p2mn+p2,
∴AE=AC−CE=mnmn+p2,
∴AE⋅EC=mnp2mn+p2
【知识点】平行线的判定与性质;圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:(2)∵△ABE∽△DCE,
∴ABDC=BECE=AEDE,
∴AE⋅CE=BE⋅DE,
∴AEBE−DECE=AE⋅CE−BE⋅DEBE⋅CE=0,
∵∠CDB+∠CBD=180°−∠BCD=∠DAB=2∠CDB,
∵∠DFE=2∠CDB,
∴∠DFE=∠DAB,
∴EF∥AB,
∴∠FEA=∠EAB,
∵DC=CB,
∴∠DAC=∠BAC
∴∠FAE=∠FEA,
∴FA=FE,
∵EF∥AB,
∴△DFE∽△DAB,
∴EFAB=DFAD,
∴AFAB+FEAD=EFAB+AFAD=DFAD+AFAD=ADAD=1,
∵AFAB+AFAD=AFAB+EFAD=1,
∴AFAB+AFAD=1,
∴1AB+1AD−1AF=0
故答案为:0,1,0;
【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得∠ACD=∠ABD,即∠ABE=∠DCE,由对顶角的性质可得∠DEC=∠AEB,然后根据相似三角形的判定定理进行证明;
(2)根据相似三角形的性质可得AE·CE=BE·DE,对AEBE−DECE进行通分可得可得第一空的答案;根据内角和定理、圆内接四边形的性质可得∠CDB+∠CBD=180°-∠BCD=∠DAB=2∠CDB,结合已知条件可得∠DFE=∠DAB,推出EF∥AB,由平行线的性质可得∠FEA=∠EAB,根据圆周角定理可得∠DAC=∠BAC,进而得到FA=FE,证明△DFE∽△DAB,根据相似三角形的性质可得AFAB+FEAD=EFAB+AFAD=DFAD+AFAD=ADAD,据此可得第二空的答案;根据AFAB+AFAD=AFAB+EFAD=1可得AFAB+AFAD=1,据此可得第三空的答案;
(3)①记△ADE、△EBC的面积为S3、S4,则S=S1+S2+S3+S4,易得S1S2=S3S4,根据已知条件可得S3+S4=2S1S2,则可推出S3=S4,结合面积间的和差关系可得S△ABD=S△ADC,推出CD∥AB,结合平行线的性质以及圆周角定理可得∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB,据此证明;
②根据圆周角定理可得∠DAC=∠EAB,∠DCA=∠EBA,证明△DAC∽△EAB,△DCE∽△ACD,根据相似三角形的性质可得EA·AC=DA·AB=mn,CE·CA=CD2=p2,然后表示出AC、EC,由AE=AC-CE可得AE,据此求解.
24.如图,△ABC内接于⊙O,P是⊙O的直径AB延长线上一点,∠PCB=∠OAC,过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.
(1)试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若PC=4,tanA=12,求△OCD的面积.
【答案】(1)解:PC与⊙O相切,理由如下:
∵AB是圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OCB+∠OCA=90°,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵∠PCB=∠OAC,
∴∠PCB=∠OCA,
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°,即∠PCO=90°,
∴PC与⊙O相切
(2)解:∵∠ACB=90°,tanA=12,
∴BCAC=12,
∵∠PCB=∠OAC,∠P=∠P,
∴△PBC∽△PCA,
∴PCPA=PBPC=BCCA=12,
∴PA=8,PB=2,
∴AB=6,
∴OC=OB=3,
∴OP=5,
∵BC∥OD,
∴△PBC∽△POD,
∴PBOP=PCPD,即25=4PD,
∴PD=10,
∴CD=6,
∴S△OCD=12OC⋅CD=9
【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理;切线的判定;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)由圆周角定理得∠ACB=90°,根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC,结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA,结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°,据此证明;
(2)根据三角函数的概念可得BCAC=12,易证△PBC∽△PCA,根据相似三角形的性质可得PA、PB,然后求出AB、OP,证明△PBC∽△POD,根据相似三角形的性质可得PD,由PD-PC=CD可得CD,然后根据三角形的面积公式进行计算.
25.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与AC相切于点E,连接DE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:BF=BD;
(2)若CF=1,tan∠EDB=2,求⊙O直径.
【答案】(1)证明:连接OE,如下图所示:
∵AC为圆O的切线,
∴∠AEO=90°,
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∴OE∥BC,
∴∠F=∠DEO,
又∵OD=OE,
∴∠ODE=∠DEO,
∴∠F=∠ODE,
∴BD=BF.
(2)解:连接BE,如下图所示:
由(1)中证明过程可知:∠EDB=∠F,
∴tan∠EDB=tan∠F=ECCF,代入数据:2=EC1,
∴EC=2,
又BD是圆O的直径,
∴∠BED=∠BEF=90°,
∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB,
∴∠F=∠CEB,
∴tan∠F=tan∠CEB=BCCE,代入数据:2=BC2,
∴BC=4,
由(1)可知:BD=BF=BC+CF=4+1=5,
∴圆O的直径为5.
【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理;切线的性质;解直角三角形
【解析】【分析】(1)连接OE,利用切线的性质和垂直的定义可证得∠AEO=∠ACB=90°,可推出OE∥BC;再利用平行线的性质可得到∠F=∠DEO,利用等边对等角可证得∠ODE=∠DEO,由此可推出∠F=∠ODE,利用等角对等边,可证得结论.
(2)连接BE,由∠EDB=∠F;再利用解直角三角形可求出EC的长,利用直径所对的圆周角是直角得到BE⊥DF,利用余角的性质可得到∠F=∠CEB,利用解直角三角形求出BC的长;然后根据BD=BF=BC+CF,代入计算求出BD的长
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