2022年中考数学真题分类汇编：圆-解答题专题(含答案)

2022年全国各省市中考数学真题汇编

圆解答题专题

1. (2022·四川省德阳市)如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
   求证：是的切线；
   如果，，
   求的长；
   求的面积．

2. (2022·江苏省扬州市)【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
   【初步尝试】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
   【问题联想】如图，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
   【问题再解】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
   友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹

3. (2022·浙江省湖州市)如图，已知在中，，是边上一点，以为直径的半圆与边相切，切点为，过点作，垂足为．
   求证：；
   若，，求的长．

4. (2022·江西省)课本再现
   在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心与的位置关系进行分类．图是其中一种情况，请你在图和图中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；
   
   知识应用
   如图，若的半径为，，分别与相切于点，，，求的长．

5. (2022·湖南省邵阳市)如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．
   求的度数；
   若的半径为，求圆弧的长．

6. (2022·浙江省金华市)如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
   作法如图．
   作直径．
   以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，．
   连结，，．
   求的度数．
   是正三角形吗？请说明理由．
   从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正边形，求的值．

7. (2022·湖北省十堰市)如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
   求证：是的切线；
   若，，求的长．

8. (2022·福建省)如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，．
   求证：；
   若的半径为，，求的长结果保留．

9. (2022·安徽省)已知为的直径，为上一点，为的延长线上一点，连接．
   如图，若，，，求的长；
   如图，若与相切，为上一点，且求证：．
    

10. (2022·浙江省绍兴市)如图，半径为的与的边相切于点，交边于点，，，连结，．
    若，求的长结果保留．
    求证：平分．

11. (2022·湖北省宜昌市)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶如图，隋代建造的赵州桥距今约有年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度弧所对的弦长，设所在圆的圆心为，半径，垂足为拱高弧的中点到弦的距离连接．
    直接判断与的数量关系；
    求这座石拱桥主桥拱的半径精确到．

12. (2022·黑龙江省齐齐哈尔市)如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接．
    求证：是的切线；
    若，，求图中阴影部分的面积．

13. (2022·广东省)如图，四边形内接于，为的直径，．
    试判断的形状，并给出证明；
    若，，求的长度．

14. (2022·湖北省武汉市)如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
    判断的形状，并证明你的结论；
    若，，求的长．

15. (2022·江苏省宿迁市)如图，在中，，，以为直径的与边交于点．
    判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，求图中阴影部分的面积．

16. (2022·天津市)已知为的直径，，为上一点，连接，．
    Ⅰ如图，若为的中点，求的大小和的长；
    Ⅱ如图，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长．
     

17. (2022·湖南省衡阳市)如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
    直线与相切吗？并说明理由；
    若，，求的长．

18. (2022·江苏省泰州市)如图，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，点以个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．
    如图，当时，求半圆在矩形内的弧的长度；
    在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、连接、，若为直角，求此时的值．
     

参考答案

1.证明：连接，如图，

是的直径，，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
．
是的半径，
是的切线；
解：，
，
是的直径，，
．
，
，，
∽，
，
，
．
；
过点作，交的延长线于点，如图，

，，
∽．
，
设，则，
，
，，
．
，
，
解得：．
．
的面积． 

2.解：【初步尝试】如图，直线即为所求；
【问题联想】如图，三角形即为所求；
【问题再解】如图中，即为所求．
 

3.证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
解：，
，
，，
，
． 

4.解：如图，连接，并延长交于点，

，
，，
，，
，
；
如图，连接，并延长交于点，

，
，，
，，
，
；
如图，连接，，，

，
，
，分别与相切于点，，
，，
，
，
． 

5.解：连接，

是的切线，点为切点，
，
又，，
，
设，则在中，
，
解得：，
的度数为；
，
，
． 

6.解：五边形是正五边形，
，
即；
是正三角形，
理由：连接，，
由题意可得：，
是等边三角形，
，
，
同理可得：，
，
是正三角形；
，
，
，
，
，
的值是． 

7.证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
解：如图，连接，过点作于，

，，，
，
与相切于点，
，
又，，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
，
，
． 

8.证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
．
连接，，
由得，
，
，
的长． 

9.解：，，，
，
；
与相切，
，
即，
，
，
，
，
，
即． 

10.解：连结，如图：

，
，
；
证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分． 

11.解：，
；
设主桥拱半径为，由题意可知，，
，
，
，
，
，
解得，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为． 

12.证明：如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，即，
为直径，
是的切线；
解：如图，连接、交于点，连接，

是直径，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是的中位线，
，
，，，
，


． 

13.解：是等腰直角三角形，证明过程如下：
为的直径，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
在中，，
，
在中，，，
．
即的长为：． 

14.解：为等腰直角三角形．理由如下：
平分，平分，
，．
，，
．
．
为直径，

是等腰直角三角形．
另解：计算也可以得证．
解：连接、、，交于点．
．
．
．
垂直平分．
是等腰直角三角形，，
．
，
．
设，则．
在和中，，
解得，
．
．
另解：分别延长，相交于点则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得． 

15.解：直线与相切，理由如下：
，，
，
，
，
是的直径，
直线与相切；
连接，，

是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
图中阴影部分的面积


． 

16.解：Ⅰ为的直径，
，
为的中点，
，
，
；
Ⅱ是的切线，
，
，，
四边形为矩形，
，
在中，，，，
则，
，
，
． 

17.解：直线与相切，
理由：连接，

与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
是的半径，
直线与相切；
设的半径为，
在中，，
，
，
，
，
由得：≌，
，
在中，，
，
，
，
的长为． 

18.解：设与交于点，

当时，，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
即半圆在矩形内的弧的长度为；
连接，，

，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，，
即的值为或．