初中第3章 圆的基本性质3.3 垂径定理优秀教学设计

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一、创设情景，引出课题

问题：

谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论.

巧手来做一做

在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.

你能说说这样找的理由？

想一想

垂径定理的逆命题是什么？

逆命题1：平分弦的直径垂直于弦．

逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦．

已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.

求证：CD⊥AB，=

证明：连结OA，OB，则OA=OB

∴△AOB是等腰三角形

∵AE=BE

∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）

=

归纳

定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.

探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。

已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，=

求证：CD⊥AB

归纳出：定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦.

如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.  如果在下列五个条件中:

①         CD是直径,

②         CD⊥AB,

③         AM=BM,

④         =

⑤         =

只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.

你可以写出相应的命题吗?

二、提炼概念

垂径定理的逆定理

定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．

定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．

垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分

注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．

思考

自议

经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论.

理解垂径定理的逆定理时，平分弦作为条件时，忽略不能为直径这一条件而出现错误；

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三、典例精讲

例3  赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).

解：弧AB表示桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交弧AB于点D.

∵C是弧AB的中点,

∴OC就是拱高.

∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,

OD=OC-DC=（R-7.23）.

在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 

∴R2=18.512+(R-7.23)2,

解得R≈27.31.

答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.

总结：

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

抓住弦长的一半、弦心距(圆心到弦的距离)、弓形的高及半径之间的关系；已知其中的两个量可以用勾股定理求出另外两个未知量．

通过作半径(或弦心距)构造直角三角形．

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四、巩固训练

1.判断：

 ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.                                           （     ）

⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.                                            （     ）

⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.  （  ）

⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（     ）

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（     ）

答案： ⑴×（2）√（3）×（4）×（5）√

2.如图所示，AB是半圆的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D.已知BC＝8 cm，DE＝2 cm，则AB的长为______cm.

【解析】 E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥BC，CD＝BD＝4 cm.设OB＝x cm，则OD＝(x－2)cm.在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝OB2，∴(x－2)2＋42＝x2，解得x＝5，2x＝10.

3．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．

(1)请你确定弧AB的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)

(2)如果已知石拱桥的桥拱的跨度(即弧所对的弦长)为24 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为8 m，求桥拱所在圆的半径．

解：(1)如图，点E即为所求．

(2)由(1)知OE⊥AB，在Rt△AOD中，AB＝24 m，DE＝8 m，

∴AD＝AB＝12(m)，

设AO＝r m，

∴OD＝(r－8)m，

∴r2＝122＋(r－8)2.

解得：r＝13.

答：桥拱所在圆的半径为13 m.

4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米?

解 如图，OB＝1.5，OA＝1.15，

∵ AB2=OB2-OA2，

∴ AB≈0.96m.

∵ 0.96+2＝2.96＜3,

∴高为3m，宽为2.3m的集装箱

车不能顺利通过.

由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,

又∵AB2=OB2-OA2，

∴OB≈2.31m.

∴要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车能顺利通过,半圆拱半径至少为2.31m.

课堂小结

垂径定理的逆定理

定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．

定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．

垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分

注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．