初中数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质3.3 垂径定理优秀教学设计及反思

《垂径定理》教案

教学目标：

1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；

掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；

能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.

2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.

3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.

教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.

教学用具：圆规，三角尺，PPT课件

教学过程：

一、复习引入

1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）

2、实验：探究圆的轴对称性.如图（1），若将⊙O沿直径AB

对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片

亲自实验，教师引导学生努力发现：

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）

都是它的对称轴.

3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E.此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容.

二、新课

（一）猜想，证明，形成垂径定理

1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？

2、猜想：可能出现的位置关系是：

线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.

可能出现的数量关系是：

3、证明：

利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等.板书：

4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

（二）分析垂径定理的条件和结论

1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象.

2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解.

练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？

3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段.

（三）例题

例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，

圆心O到AB的距离为3cm.

求：⊙O的半径.

变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离

为3cm，⊙O的半径为5cm.

求：弦AB的长为多少？

总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决.

例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中， 

大圆的弦AB交小圆于C、D两点.

求证:AC=BD.

三、小结

1、这节课我们学习了哪些主要内容？

2、应用垂径定理要注意那些问题？