新高考高考数学一轮复习巩固练习5.4第45练《平面向量中的综合问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 平面向量在几何中的应用
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A．|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))
B．|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
C．|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))
D．|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))×\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|2)
3．如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为60°，则|eq \(MA,\s\up6(→))|＝________.
4．已知点A(2,0)，B(1,2)，C(2，2)，|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，O为坐标原点，则|eq \(AP,\s\up6(→))|＝________，eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))夹角的取值范围是________．
考点二 和向量有关的最值(范围)问题
5．2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS(船舶自动识别系统)基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成．已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔(杆)的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如图所示，则|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))|的最小值为( )
A．40 B．20eq \r(7) C．20eq \r(10) D．80
6．已知△ABC的外接圆的半径等于3，AB＝4，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－4,24] B．[－8,20]
C．[－8,12] D．[－4,20]
7．已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．4eq \r(2) D．3
8．(多选)在△ABC中，D为AC上一点且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，若P为BD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是( )
A．λμ的最小值为16
B．λμ的最大值为eq \f(1,16)
C.eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)的最大值为16
D.eq \f(1,λ)＋eq \f(1,4μ)的最小值为4
9．已知向量a＝(eq \r(3)sin θ，1)，b＝(1，cs θ)，则a·b的最大值为________．
10．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|的最小值为________．
11．(多选)引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m⊗n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的是( )
A．a⊗b＝b⊗a
B．(λa)⊗b＝λ(a⊗b)
C．a·(b⊗c)＝(a⊗b)·c
D．|a|·|b|≥|a⊗b|
12．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD上，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))的最小值为( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(9,20) C．－eq \f(3,5) D.eq \f(9,20)
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→)).
(1)求eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(CB,\s\up6(→))|)的值；
(2)已知A(1，cs x)，B(1＋cs x，cs x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m＋\f(2,3)))|eq \(AB,\s\up6(→))|.若f(x)的最小值为g(m)，求g(m)的最大值．
14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且m＝(2cs Acs C，－1)，n＝(tan Atan C－1,1)，m⊥n.
(1)求B的大小；
(2)若b＝7，sin A＋sin C＝eq \f(13\r(3),14)，求△ABC的面积．