2021-2022学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷（Word解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷  第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知向量，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 对于数据，，，，，，，，四位同学得出了下列结论，正确的个数为(    )
甲：平均数为；
乙：没有众数；
丙：中位数是；
丁：百分位数是．A.  B.  C.  D. 从，，，，，，，，中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的数是偶数”，事件为“第二次取到的数是奇数”，则(    )A.  B.  C.  D. 若，则(    )A.  B.  C.  D. 除以的余数是(    )A.  B.  C.  D. 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为(    )A.  B.  C.  D. 某班将名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配名同学的方法共有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种已知，，，，，，若，，且，记随机变量，则(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）在的展开式中，若第项为二项式系数最大的项，则的值可能是(    )A.  B.  C.  D. 房地产市场与城市经济发展密切相关，更与百姓的生活密切相关．按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系．如图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图，则下列结论中正确的是(    )
A. 这七个楼盘中，每个楼盘的成交均价都在内
B. 这七个楼盘中，楼盘的成交总额最大
C. 这七个楼盘，成交面积的平均值低于
D. 这七个楼盘，成交面积与成交均价呈负相关如图是一块高尔顿反示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，，，，，用表示小球落入格子的号码，则(    )A.
B.
C.
D.
 
 在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则(    )A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面平面
C. 当时，直线与所成角的余弦值为
D. 三棱锥的外接球体积的最大值为第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）在，，三地爆发了流感，这三个地区分别为，，的人患了流感．设这三个地区人口数的比为：：，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是______．袋中放有形状、大小完全相同的个黑球和个红球．从袋中任取个球，则至少有个红球的概率为______．由，，，，，组成各位数字既不全相同，也不两两互异的四位数，要求，则这样的四位数的个数为______．在长方体中，已知，，若线段上存在点，使得，则长方体的体积的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）如图，在正三棱柱中，为的中点，，．
求证：平面平面；
求点到平面的距离．
已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为：．
求展开式中的常数项；
若的展开式中含项的系数为，求的值．下表所示是我国年至年生活垃圾无害化处理量单位：亿吨．年份处理量亿吨由数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
建立关于的回归方程系数精确到，并预测年我国生活垃圾无害化处理量．
附：，，，．
相关系数；
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性．因其独有的新鲜性、刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．为调查系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向前、后人群各随机发放了份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表． 前后总计购买未购买总计是否有的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？
已知系列盲盒共有个款式，每个盲盒随机装有个款式．甲同学已经买到个不同款，乙、丙同学分别已经买到个不同款．他们各自新购买一个盲盒，相互之间不受影响．设表示三个同学中各自买到自己不同款的总人数，求的概率分布和数学期望．
附：其中．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
为抢占市场，某品牌电动汽车近期进行了一系列优惠促销方案．要保证品质兼优，在车辆出厂前抽取辆款汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率直方图：

估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算样本标准差的近似值为用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在千米到千米之间的概率；
为迅速抢占市场举行促销活动，销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第格、第格、第格、、第格．汽车模型开始在第格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出，，，点，汽车模型向前移动一格从第格到第格，若掷出，点，汽车模型向前移动两格从第格到第格，直到移到第格幸运之神或第格赠送汽车模型时游戏结束．设汽车模型移到第格的概率为．
(ⅰ)求；
(ⅱ)若有人玩该游戏，每人一局，求这人获得优惠券总金额的期望结果精确到万元．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：向量，，且，
，，
，
，
故选：．
先根据求出的值，再根据向量的模长公式求解．
本题主要考查了平行向量的坐标关系，考查了向量的模长公式，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：将数据从小到大排列为：，，，，，，，，
平均数为：，故甲对；
该组数据的众数为，，，故乙错；
该组数据的中位数为，故丙错；
，故该组数据的百分数是，故丁对．
故选：．
将数据由小到大排列，根据平均数公式、众数、中位数和百分位数的定义能求出结果．
本题考查平均数公式、众数、中位数和百分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由题意可得，，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题意可得令，则，
令，则，
所以，
故选：．
分别令，，建立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：因为
，
由展开式可知只有最后一项不能被整除，
所以整除的余数为，
故选：．
因为，然后根据展开式的特征分析即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：点，点，
，
又直线的方向向量为，
点到的距离，
故选：．
利用空间中点到直线的距离公式求解．
本题主要考查了空间中点到直线的距离公式，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：根据题意，分步分析：
先人中选出人，安排到甲社区，有种方法，
将剩下人分成组，安排到乙、丙社区，有种方法，
则有种安排方法；
故选：．
根据题意，分步分析：先人中选出人，安排到甲社区，将剩下人分成组，安排到乙、丙社区，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意，中的元素有：
，，，，，
，，，，，
，，共计个．
记以上的各点，，．
其有个．
满足其的共有个，所以满足的有个．
所以．
故选：．
利用列举法找出古典概型的所有基本事件个数，再利用古典概型的概率公式求值即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：若只有第项的二项式系数最大，则，
若只有第项与第项的二项式系数最大，则，
若只有第项与第项的二项式系数最大，则，
故选：．
根据二项式系数的性质讨论只有第项或者只有第，项或者只有第，项的二项式系数最大，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，由折线图可知，楼盘，，，，的楼盘的成交均价低于，故选项A错误；
对于，楼盘的成交总额为：万元，
楼盘的成交总额为：万元，
楼盘的成交总额为：万元，
楼盘的成交总额为：万元，
楼盘的成交总额为：万元，
楼盘的成交总额为：万元，
楼盘的成交总额为：万元，
所以这个楼盘中，楼盘的成交总额最大，故选项B正确；
对于，成交面积的均值为，故选项C错误；
对于，个楼盘整体呈现均价越低，则成交面积越大的趋势，故选项D正确．
故选：．
利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：设，依题意，，
所以，故A正确；
，
，则成立，故B成立，
，故C不正确；
，故D正确．
故选：．
设，则，分别计算出概率，计算出方差后可判断各选项．
本题主要考查二项分布的应用，二项分布的均值与方差等知识，属于中等题．
 12.【答案】 【解析】解：对于，，所以A正确；
对于，若存在线段，使平面平面，
因为线段，平面平面，平面平面，
于是，应在的延长线上，所以B错误；
对于，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

当时，则，
则，，，
所以，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为，所以C错误；
对于，当在点时，三棱锥外接球半径最大，
连接交于点，则为的中点，
因为三角形为直角三角形，所以外接球的球心在过点且垂直于面的直线上，与交于，设球心为，
如平面展开图，

设半径，
因为，所以，
故体积的最大值为，所以D正确，
故选：．
选项A，求三棱锥体积判断；选项B，用反证法判断；选项C，建立空间坐标系，用向量法求直线与直线所成角的余弦值来断；选项D，求外接球心，用方程求解判断．
本题主要考查了三棱锥的体积计算、几何体的外接球问题以及空间角的求解，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：．
故答案为：．
根据全概率公式进行求解即可．
本题主要考查全概率公式，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 14.【答案】 【解析】解：从个小球中任取个的基本事件总数为：，
记“所取个球中没有红球”为事件，则事件的基本事件总数为：，所以，
则至少有个红球的概率为．
故答案为：．
先确定从个小球中任取个的基本事件总数，以及其中所取的个球没有任何一个红球所包含的基本事件个数，从而利用古典概型概率计算公式及对立事件的概率即可求出所求概率．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 15.【答案】 【解析】解：只用个不同数字这样的数字组合有种，按照位数要求，每种数字符合的四位数有个，比如数字和，可以构成的数字有：，，，这类组合共个符合要求的四位数；
只用个不同数字这样的数字组合有种，按照位数要求，每种数字符合的四位数有个，比如数字、、，可以构成的数字有：，，这类组合共个符合要求的四位数；
故符合要求的四位数总共有个．
故答案为：．
由题意可知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：只用个数字，使用个不同的数字；有四位数，要求，即注意位数大小，分别分析求解即可求得答案．
本题考查了排列组合，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，，，，
所以，
因为在线段上，，与共线，
设，所以，
则，
由，得，
化简得，，
由，即，所以，，
因此，当取最大值时，长方体的体积的最大值为，
故答案为：．
根据题意，建立空间直角坐标系，然后利用已知条件，列出相应的方程，利用判别式，得到长方体的高取最大值时，有长方体的体积最大，进而计算求解，可得答案．
本题主要考查了长方体体积得最值问题，属于中档题．
 17.【答案】证明：由正三棱柱的结构特征可得，平面，
又因为平面，所以，
在正三角形中，为的中点，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
解：由可知，平面，又因为平面，
所以，
在正三角形中，，
在正三棱柱中，平面，
又因为平面，所以，所以，
因为，
所以点到平面的距离． 【解析】因为，，所以平面，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面；
根据勾股定理求出，的长，进而得到的面积，再利用等体积法即可求出点到平面的距离．
本题主要考查了面面垂直的判断定理，考查了等体积法求点到平面的距离公式，属于中档题．
 18.【答案】解：第项与第项的二项式系数分别为，
所以由已知可得，
即，解得或舍，
所以展开式中的常数项为；
由可得，
则多项式的展开式中含项的系数为，
解得． 【解析】分别求出第项与第项的二项式系数，由已知建立方程即可求出的值，再根据二项式定理即可求出常数项；根据求出多项式的关系式，再根据二项式定理求出展开式中含项的系数，建立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到组合数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由表中数据和附注中数据可得：，，
则，
与的相关系数近似为，说明与的线性相关相当高，
可以用线性回归模型拟合与的关系．
由得，，
关于的回归方程为：，
将代入回归方程得：，
预测年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨． 【解析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法，求出回归方程，再将代入上式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法是解本题的关键，属于中档题．
 20.【答案】解：提出假设：是否购买该系列盲盒与年龄没有关系．
根据列联表中的数据，可以求得，
因为当成立时，的概率约为，
所以有的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关．
甲、乙、丙各自买到不同款的概率分别为，，．
的所有可能为，，，，
所以，
，
，
，
所以的概率分布为： 数学期望． 【解析】列出列联表，计算出然后判断；
分析的取值后，由概率的加法公式和乘法公式计算，得到分布列，然后计算期望．
本题主要考查独立性检验的实际应用，离散型随机变量及其分布列，随机变量的数学期望等知识，属于中等题．
 21.【答案】解：证明：连接，在中，，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，
所以，，又，所以，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则即
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
由图形可知，二面角的余弦值为．
假设存在点，设，
则．
由知，平面的一个法向量为，
则，
即，所以，
故存在满足题意的点，此时． 【解析】利用三角形中位线证明，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面的一个法向量，即可根据向量的夹角公式求得答案；
假设存在点，设，表示出的坐标，根据与平面所成角的大小为，利用向量的夹角公式计算，可得答案．
本题考查了线面平行的判定定理，线面角和二面角的求法以及空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 22.【答案】这辆汽车的单次最大续航里程的平均值千米．
因为，，，
所以．
由题意知，，．
汽车模型移到第格的情况是下列两种：
汽车模型先到第格，又掷出，点，概率为；
汽车模型先到第格，又掷出，，，点，概率为．
，
则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．


，．
．
设玩游戏的人中有人获得优惠券，则，
所以这人获得优惠券总金额的期望值为万元． 【解析】根据平均数的公式列式计算即可；
根据正态分布曲线的对称性计算即可；
根据题意求得是以为首项，公比为的等比数列，从而求得，再根据，求数学期望．
本题考查根据频率分布直方图求平均数，正态分布曲线的特点及对称性，以及离散型随机变量的期望，属于中档题．