广东省韶关市武江区广东北江实验中学2021-2022学年下学期八年级期末数学试题(word版含答案)

这是一份广东省韶关市武江区广东北江实验中学2021-2022学年下学期八年级期末数学试题(word版含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省韶关市武江区北江实验中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（每题3分，12小题，共3×12＝36分）
1．（3分）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（）0＝0 C．a﹣2＝﹣ D．3﹣2＝
3．（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（　　）
A．邻角互补 B．对角互补
C．中心对称图形 D．内角和是360°
4．（3分）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）
A．﹣4 B． C．2 D．8
5．（3分）某家书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表：
书名
《西游记》
《水浒传》
《三国演义》
《红楼梦》
销售量/本
180
120
125
85
依据统计数据，为了更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．（3分）函数y＝﹣x的图象与函数y＝x+2的图象的交点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝6，则BF的长为（　　）

A．6 B．4 C．3 D．5
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（　　）

A．k＞0，b＜0
B．直线上两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜x2，则y1＞y2
C．直线经过第四象限
D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），则点D的坐标为（　　）

A．（，2） B．（2，） C．（，2） D．（2，）
10．（3分）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）

A．138° B．132° C．121° D．111°
11．（3分）如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（　　）

A． B． C． D．y＝﹣2x+2
12．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB，当直线l沿射线BC的方向从点B开始向右平移时，直线I与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示．则下列结论：①BC的长为5；②AB的长为3；③当4≤x≤5时，△BEF的面积不变；④当x＝6时，△BEF的面积为；其中正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（每题4分，6小题，共4×6＝24分）
13．（4分）已知：在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是　 　．
14．（4分）若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则化简＝的结果是　 　．

15．（4分）2022年北京冬奥会的单板U形技巧资格赛中，计分规则是：去掉一个最高成绩和一个最低成绩后，计算平均分，这个平均分就是选手最终得分．谷爱凌滑完后，六名裁判打分如下：
成绩
94
96
97
次数
2
3
1
根据评分规则，谷爱凌的最终得分是 　 　分．
16．（4分）正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 　 　．

17．（4分）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 　 　．

18．（4分）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点小B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝3．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 　．

三、解答题（一）（每题8分，2小题，共8×2＝16分）
19．（8分）计算：
（1）+﹣（﹣1）0．
（2）设6﹣的整数部分为a，小数部分为b，求（2a+）b的值．
20．（8分）睡眠是机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要．为了解教育部发布的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》的实施成效，某调查组随机调查了某学校部分初中生的睡眠时间，假设平均每天的睡眠时间为x小时，为了方便统计，当6≤x＜7时记为6小时，当7≤x＜8时记作7小时，以此类推……
根据调查数据绘制了以下不完整的统计图：
根据图中信息回答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）本次抽查的学生平均每天睡眠时间的众数为 　 　，中位数为 　 　；
（3）平均每天睡眠时间为7小时所对应的圆心角的度数为 　 　°；
（4）根据“通知”要求，初中生睡眠时间要达到9小时．该校有1800名学生，根据抽样调查结果，估计该校有 　 　名学生平均每天睡眠时间低于9小时．

四、解答题（二）（每题10分，2小题，共10×2＝20分）
21．（10分）如图，在▱ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的长．

22．（10分）为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是25元和8元．
（1）学校第一次购买甲、乙两种图书共100本，且恰好支出1820元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？
（2）若学校准备再次购买甲、乙两种图书共210本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？
五、解答题（三）（每题12分，2小题，共12×2＝24分）
23．（12分）请阅读下列材料：
问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴正半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．

（1）求出直线CD对应的函数表达式；
（2）点M是线段CD上一动点（不与点C、D重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若E（﹣1，a）为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年广东省韶关市武江区北江实验中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，12小题，共3×12＝36分）
1．（3分）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．注意“y有唯一的值与其对应”对图象的影响．
【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应，
所以A、C、D错误．
故选：B．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（）0＝0 C．a﹣2＝﹣ D．3﹣2＝
【分析】利用幂的乘方的法则，零指数幂的法则，负整数指数幂的法则，二次根式的减法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；
B、（）0＝1，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的减法，幂的乘方，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（　　）
A．邻角互补 B．对角互补
C．中心对称图形 D．内角和是360°
【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．平行四边形的邻角互补，故本选项不合题意；
B..平行四边形的对角相等，但不一定互补，故本选项符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D..平行四边形的内角和是360°，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
4．（3分）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）
A．﹣4 B． C．2 D．8
【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．
【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；
B选项，＝，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，＝2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
5．（3分）某家书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表：
书名
《西游记》
《水浒传》
《三国演义》
《红楼梦》
销售量/本
180
120
125
85
依据统计数据，为了更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一 组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货种销的最多，故值得关注的是众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
6．（3分）函数y＝﹣x的图象与函数y＝x+2的图象的交点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】联立两函数解析式，求出交点坐标即可进行判断．
【解答】解：联立函数y＝﹣x与函数y＝x+2，
解得x＝﹣1，y＝1，
∴两函数图象的交点坐标为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的交点问题，联立两个函数解析式求出交点坐标是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝6，则BF的长为（　　）

A．6 B．4 C．3 D．5
【分析】根据三角形中位线定理求出AC，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，若DE＝6，
∴AC＝2DE＝12，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，
∴BF＝AC＝6，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（　　）

A．k＞0，b＜0
B．直线上两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜x2，则y1＞y2
C．直线经过第四象限
D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与方程的关系即可判断．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，故A错误；
∵直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、三象限，
∴y随x的增大而增大，
（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2，故B错误；
∴直线y＝kx+b经过一、二、三象限，故C错误；
∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），
∴当x＝﹣5时，函数y＝kx+b＝0，
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象和系数的关系，一次函数与一元一次方程，熟知一次函数的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），则点D的坐标为（　　）

A．（，2） B．（2，） C．（，2） D．（2，）
【分析】由菱形的性质可得AD＝AB＝，AD∥BC，即可求解．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），
∴OB＝1，AO＝2，
∴AB＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝，AD∥BC，
∴点D坐标为（，2），
故选A．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）

A．138° B．132° C．121° D．111°
【分析】直接利用长方形的性质结合平行线的性质得出∠3＝∠6＝∠4，再利用四边形内角和定理得出答案．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠3＝∠6，
∵把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，
∴∠3＝∠4＝∠6，
∵∠1＝48°，
∴∠5＝132°，
∴∠6＝∠4＝＝69°，
∴∠2＝180°﹣69°＝111°．
故选：D．

【点评】此题主要考查了长方形的性质、平行线的性质、四边形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．
11．（3分）如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（　　）

A． B． C． D．y＝﹣2x+2
【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC＝AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM＝OA，AM＝OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．
【解答】解：对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即B（0，2），OB＝2，
令y＝0，得到x＝﹣3，即A（﹣3，0），OA＝3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC＝∠BOA＝90°，
∴∠ACM+∠CAM＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC＝90°，AC＝BA，
∴∠CAM+∠BAO＝90°，
∴∠ACM＝∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM＝OB＝2，CM＝OA＝3，即OM＝OA+AM＝3+2＝5，
∴C（﹣5，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（0，2），
∴，
解得 ．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y＝﹣x+2．
故选：B．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
12．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB，当直线l沿射线BC的方向从点B开始向右平移时，直线I与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示．则下列结论：①BC的长为5；②AB的长为3；③当4≤x≤5时，△BEF的面积不变；④当x＝6时，△BEF的面积为；其中正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】当4≤x≤5时，即当BE＝4，BE经过点A，EF＝2；当BE＝5时，EF经过点C，可得BC＝5，AB＝；当x＝6时，根据面积比等于相似比的平方或运用三角函数求出面积．
【解答】解：从图2知：
∵当4≤x≤5时，y的值不变，
∴相应的对应图1是：直线EF从过点A开始到经过C点结束，EF的值不变，
即当BE＝4，BE经过点A，当BE＝5时，EF经过点C，
∴BC＝5，故①结论正确；
从图1，BE1＝4，E1F1＝2，∠BF1E1＝90°，
∴AB＝，故②结论不正确；当4≤x≤5时，
如图3，
S△BEF＝BE•FH，
∵FH不变，BE变化，
∴△BEF的面积变化，
故③结论不正确；
如图4所示，
∵直线l⊥AB，BE＝x，EF＝x，
当x≤4时，由图可知y＝x，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝2，
∴AN＝AB＝，
当x＝6时，直线l3与四边形ABCD的边分别相交于点E1，F1，
此时，E1是F1G的中点，且BG＝6，
∴S＝S＝BG•AN＝＝．
故④结论正确．
综上所述，结论正确的有①④共2个．
故选：B．



【点评】本题考查的是图形的实际运动和其对应的函数图象问题，解决问题的关键是找出函数图象上关键点对应的实际图形的位置．
二、填空题：（每题4分，6小题，共4×6＝24分）
13．（4分）已知：在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是　100°　．
【分析】直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝∠C＝80°，
∴∠B的度数是：100°．
故答案为：100°．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．
14．（4分）若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则化简＝的结果是　b﹣2a　．

【分析】直接利用数轴得出a＜0，b﹣a＞0，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜0，b﹣a＞0，
原式＝﹣a+b﹣a
＝b﹣2a．
故答案为：b﹣2a．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键．
15．（4分）2022年北京冬奥会的单板U形技巧资格赛中，计分规则是：去掉一个最高成绩和一个最低成绩后，计算平均分，这个平均分就是选手最终得分．谷爱凌滑完后，六名裁判打分如下：
成绩
94
96
97
次数
2
3
1
根据评分规则，谷爱凌的最终得分是 　95.5　分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：根据评分规则，谷爱凌的最终得分是＝95.5（分），
故答案为：95.5．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
16．（4分）正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 　8　．

【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【解答】解：由图形可得：
S阴影＝•S正方形ABCD＝×4×4＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会于转化的思想思考问题．
17．（4分）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 　6　．

【分析】先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题．
【解答】解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝3，
∴AC2+BC2＝（）2+42＝18，AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理逆定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．
18．（4分）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点小B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝3．运动过程中点D到点O的最大距离是 　3+3　．

【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON＝90°，AB＝6，
∴OE＝AE＝AB＝3，
∵BC＝3，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，
∴DE＝＝＝3，
根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE，
∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为3+3．
故答案为：3+3．

【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
三、解答题（一）（每题8分，2小题，共8×2＝16分）
19．（8分）计算：
（1）+﹣（﹣1）0．
（2）设6﹣的整数部分为a，小数部分为b，求（2a+）b的值．
【分析】（1）根据二次根式的除法，化简二次根式，零指数幂即可得出答案；
（2）估算无理数的大小，求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：（1）原式＝+3﹣1
＝2+3﹣1
＝1+3；
（2）∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴2＜6﹣＜3，
∴a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，
∴原式＝（4+）×（4﹣）
＝16﹣10
＝6．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，零指数幂，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
20．（8分）睡眠是机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要．为了解教育部发布的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》的实施成效，某调查组随机调查了某学校部分初中生的睡眠时间，假设平均每天的睡眠时间为x小时，为了方便统计，当6≤x＜7时记为6小时，当7≤x＜8时记作7小时，以此类推……
根据调查数据绘制了以下不完整的统计图：
根据图中信息回答下列问题：
（1）本次共调查了 　50　名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）本次抽查的学生平均每天睡眠时间的众数为 　8　，中位数为 　8　；
（3）平均每天睡眠时间为7小时所对应的圆心角的度数为 　43.2　°；
（4）根据“通知”要求，初中生睡眠时间要达到9小时．该校有1800名学生，根据抽样调查结果，估计该校有 　1008　名学生平均每天睡眠时间低于9小时．

【分析】（1）根据睡眠时间为10小时的人数可求出总人数，再求出睡眠时间为8小时的人数，根据所求数据即可补全统计图；
（2）根据补全的统计图可直接求出众数盒中位数；
（3）360°乘以平均每天睡眠时间为7小时所占比例即可；
（4）全校总人数乘以平均每天睡眠时间低于9小时的学生所占比例即可．
【解答】解：（1）本次共调查学生数为4÷8%＝50（名），
∴睡眠时间为8小时的人数为50﹣2﹣6﹣4﹣18＝20（名），
补全的统计图如下：

故答案为：50．
（2）根据补全的条形统计图可知，学生平均每天睡眠时间的众数为8小时，中位数为8小时，
故答案为：8，8；
（3）平均每天睡眠时间为7小时所对应的圆心角的度数为360°×＝43.2°，
故答案为：43.2；
（4）该校学生平均每天睡眠时间低于9小时的人数为1800×＝1008（名），
故答案为：1008．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
四、解答题（二）（每题10分，2小题，共10×2＝20分）
21．（10分）如图，在▱ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的长．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】（1）证明：由作图知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴DP＝＝＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
22．（10分）为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是25元和8元．
（1）学校第一次购买甲、乙两种图书共100本，且恰好支出1820元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？
（2）若学校准备再次购买甲、乙两种图书共210本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？
【分析】（1）根据题意列方程组解答即可；
（2）设购买费用为w元，购买乙种图书x本，数量根据题意w与x的关系式，并根据题意列不等式得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性解答即可．
【解答】解：（1）设购买甲种图书a本，乙种图书b本，根据题意，得：
，
解得，
答：购买甲种图书60本，乙种图书40本；
设购买费用为w元，购买乙种图书x本，则买甲种图书（210﹣x）本，根据题意，得：
w＝25（210﹣x）+8x＝﹣17x+5250，
由甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，得：
210﹣x，
解得x≤140，
∵w＝﹣17x+5250，﹣17＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝140时，w最小＝﹣17×140+5250＝2870，
此时210﹣140＝70，
答：当购买甲种图70本，购买乙种图书140本时，购买费用最少，最少费用是2870元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
五、解答题（三）（每题12分，2小题，共12×2＝24分）
23．（12分）请阅读下列材料：
问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
（2）∵x＝，
∴x2＝（）2＝，
则x3＝x•x2＝×＝﹣2，
∴x3+x2+1＝﹣2++1＝．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴正半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．

（1）求出直线CD对应的函数表达式；
（2）点M是线段CD上一动点（不与点C、D重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若E（﹣1，a）为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出OA＝2，OB＝4，由全等三角形的性质可得OD＝2，OC＝4，利用待定系数法可求解析式；
（2）由全等三角形的性质可得∠OBA＝∠OCD，OB＝OC，由“ASA”可证△OBN≌△OCM，可得OM＝ON，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝2x+4得：y＝4，
∴点B（0，4），
∴OB＝4，
把y＝0代入y＝2x+4得：x＝﹣2，
∴点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵△AOB≌△DOC，
∴OC＝OB＝4，OD＝OA＝2，
∴C（4，0），D（0，2），
设直线CD对应的函数表达式为：y＝kx+b
把C（4，0），D（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线CD对应的函数表达式为：；
（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
∵△AOB≌△DOC，
∴∠OBA＝∠OCD，OB＝OC，
又∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
即∠MOD+∠BON＝90°，
∵∠COD＝90°，
即∠COM+∠MOD＝90°，
∴∠BON＝∠COM，
在△OBN与△OCM中，
，
∴△OBN≌△OCM（ASA）
∴OM＝ON，
又∠MON＝90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；
（3）直线CD上存在点Q，使△EPQ得是以E为直角顶点的等腰三角形．
∵E（﹣1，a）为直线AB上的点，
∴a＝2×（﹣1）+4，
∴a＝2，
∴E（﹣1，2），
①当点P在点B下方时，如图，连接DE，过点Q作QM⊥DE，交DE的延长线于M点，

∵D（0，2），
∴DE⊥y轴，DE＝1，点M的纵坐标为2，∠M＝∠EDP＝90°，
∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°，
∴∠QEM+∠PED＝90°＝∠QEM+∠EQM，
∴∠DEP＝∠EQM，
在△DEP与△MQE中，
，
∴△DEP≌△MQE（AAS），
∴MQ＝DE＝1，
∴Q点的纵坐标为3，
把y＝3代入中得：x＝﹣2，
∴点Q（﹣2，3）；
②当点P在点B上方时，如图，过E点作EM∥y轴，过点Q作QM⊥EM于M点，过P点作PN⊥EM交ME的延长线于N点．

则∠M＝∠N＝90°，
∴N点的橫坐标为﹣1，
则PN＝1，
∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°，
∴∠QEM+∠PEN＝90°＝∠PEN+∠NPE，
∴∠MEQ＝∠NPE，
在△EQM与△PEN中，
，
∴△EQM≌△PEN（AAS），
∴EM＝PN＝1，
∴M点的纵坐标为1，
∴Q点的纵坐标为1，
把y＝1代入中得：x＝2，
∴Q（2，1）；
综上所述，直线CD上存在点Q（﹣2，3）或（2，1），使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．