2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）(解析版)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 直角三角形的两条直角边长分别是，，则该直角三角形的斜边长是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 由下列三条线段组成的三角形，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列在平面直角坐标系中的曲线表示是的函数图象是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知函数，随的增大而减小，则常数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在平行四边形中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题中，逆命题是真命题的是(    )

A. 菱形是对角线互相垂直的四边形
B. 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 正方形是对角线互相垂直且相等的四边形
D. 平行四边形是对角线互相平分的四边形

7. 如图，在中，，，，为的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知小明家、体育场、超市在一条笔直的公路旁小明家、体育场、超市到公路的距离忽略不计，图中的信息反映的过程是小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到超市买些学习用品，然后再走回家．图中表示小明所用的时间，表示小明离家的距离．根据图中的信息，下列说法中错误的是(    )

A. 体育场离小明家的距离是
B. 小明在体育场锻炼的时间是
C. 小明从体育场出发到超市的平均速度是
D. 小明从超市回家的平均速度是

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 一次函数，当时，则______．
12. 如图，为测量池塘边，两点的距离，小军在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是、，且的长为米，则，间的距离为______米．

13. 函数的图象向上平移个单位长度后，则此图象不经过第______象限．
14. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为______．
15. 已知菱形的对角线长分别为和，则这个菱形的面积为______．
16. 如图，已知函数的图象与轴的交点坐标为，则根据图象可得不等式的解集是______．

17. 如图，矩形中，，，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是______．

18. 在“绿色低碳，节能先行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计，某商城月份销售自行车辆，月份销售了辆．若该商城年月的自行车销量的月平均增长率相同，则商城自行车销量的月平均增长率为______．
19. 在矩形中，平分，交直线于点，若，，则的长为______．
20. 如图，在中，，于点，把线段绕点旋转得到线段，点恰好落在的延长线上，，的面积是，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共60分）

21. 解下列方程：
    ；
    ．
22. 图，图中的小正方形的边长均为，线段，的端点，，，均在小正方形的顶点上．
    在图中画出一个以线段为边的平行四边形，点，均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
    在图中画出以线段为边的菱形，点，均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为，连接，直接写出的长．
     

23. 如图，已知一次函数的图象经过点和，图象与轴，轴的交点分别为，两点．
    求这个一次函数的解析式；
    求的面积．

24. 如图，点，在上，，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    直接写出图中所有相等的线段除外．

25. “人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，月份第一周接待游客人，第三周接待游客人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．
    求该景点在月份的第二周接待游客多少人？
    该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的倍，平均每位游客购买件旅游纪念品．该景点只销售，两种旅游纪念品，种纪念品每件利润元，种纪念品每件利润元，且售出的种纪念品的数量不多于种纪念品的倍，设第四周该景点售出种旅游纪念品件，获得的总利润为元，求与的函数关系式，并求出获得的最大利润．
26. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点，，是一元二次方程的两个解，且．
    求直线的解析式；
    以为边作正方形，点在第一象限，有一点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线运动，到点停止运动，设的面积为，点的运动时间为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
    在的条件下，连接与交于点，当为何值时，，并求出此时点的坐标．
     

27. 菱形的对角线，交于点，以为边作矩形，点恰好落在线段的垂直平分线上，点在上，是上一点，且，连接，．
    如图，求证：；
    如图，为菱形外一点，连接与交于点，与交于点连接，，若，求证：；
    如图，在的条件下，若，，连接，求线段的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键．
利用勾股定理即可求解．
【解答】
解：由勾股定理得：斜边长．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图象可知，选项A、、的图象不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，
选项C图象满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，
所以选项C中的曲线表示是的函数，
故选：．
函数是对于的任意取值，都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断．
本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数，随的增大而减小，
，解得．
故选：．
先根据正比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在▱中有：，，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
为的中点，
，
．
故选：．
利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上的中线的性质解决问题即可．
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，，，，
，
解得．
故选：．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、三象限．
先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】
解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
体育场离小明家的距离是，故选项A正确；
小明在体育场锻炼的时间是，故选项B正确；
小明从体育场出发到超市的平均速度是，故选项C错误；
小明从超市回家的平均速度是，故选项D正确；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入，

故答案为：．
把代入，求出的值即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：、分别是，的中点，
是的中位线，
，
米，
米，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】四 

【解析】解：将一次函数的图象向上平移个单位，得，
直线经过一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
根据一次函数图象的平移规律，可得答案．
本题考查了一次函数图象与几何变换，利用一次函数图象的平移规律是解题关键，注意求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为．
把代入方程得，然后解方程并利用一元二次方程的定义确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

15.【答案】 

【解析】解：菱形的面积，
故答案为：．
由菱形的面积等于对角线乘积的一半，可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：函数的图象与轴的交点坐标是，
不等式的解集是．
故答案为：．
不等式的解集是轴上方的函数图象所对应的自变量的取值．
考查一次函数与一元一次不等式的相关知识；掌握不等式的解集是轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的易错点．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，，
沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，
，，
在中，，
，
设，，
在中，，
，解得，
即的长为．
故答案为．
先利用矩形的性质得，，，则根据折叠的性质得，，再利用勾股定理计算出，则，设，，然后利用勾股定理得到，再解方程求出即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是求出和用表示．
 

18.【答案】 

【解析】解：设商城自行车销量的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
商城自行车销量的月平均增长率为．
故答案为：．
设商城自行车销量的月平均增长率为，利用月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，点在线段上时，

四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
如图，点在线段延长线上时，

四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由矩形的性质和角平分线的性质可得，由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，运用分类思想，画出图形进行分析是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，

，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
．
设，则，
．
，，
，
，
．
．
．
的面积是，
．
，
，
．
，，
．
故答案为．
过点作于点，通过证明≌，得到，；设，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理得到，利用三角形的面积公式求得值，再利用勾股定理即可得出结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，过点作于点，构造全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
或，
解得：，；

，
，
配方，得，
，
开方得：，
解得：，． 

【解析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
 

22.【答案】解：如图，四边形即为所求；
如图，四边形即为所求．．
 

【解析】作一个底为，高为的平行四边形即可；
作一个对角线分别为，的菱形即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：根据题意得：，
解得：，
则函数的解析式是：；
在中，令，解得：，则与轴的交点是；
令，则，解得：，即函数与轴的交点是；
所以的面积是：． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
求得直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可直接求解．
本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

24.【答案】证明：
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：由可知，≌，四边形是平行四边形，
，，，
，
，
即，
图中所有相等的线段除外为：，，，． 

【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
由全等三角形的性质和平行四边形的性质得，，，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：设该景点接待游客数量的周平均增长率为，根据题意，
得，
解得：，，舍去，
该景点接待游客数量的周平均增长率为，
人，
该景点在月份的第二周接待游客为人；
该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的倍，
该景点第四周接待游客为人，
设第四周该景点售出种旅游纪念品件，则该景点售出种旅游纪念品件，
根据题意得：，
售出的种纪念品的数量不多于种纪念品的倍，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最大，最大值为，
与的函数关系式为，最大利润为元． 

【解析】设该景点接待游客数量的周平均增长率为，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
根据总利润，两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
 

26.【答案】解：，
，
，，
、是一元二次方程的两个解，，
，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；

当点在线段上时，

；
当点在线段上时，

；
当点在线段上时，

．
综上，当时，；当时，；当时，；

当点在线段上时，

四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线：得：，
，
点的坐标为；
当点在线段上时，

四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线：得：，
，
点的坐标为．
综上，当时，，此时点的坐标为；当时，，此时点的坐标 ． 

【解析】解方程得，的值，利用待定系数法即可求解；
分三种情况：点在线段上，当点在线段上，当点在线段上，由三角形面积公式可得出答案；
分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，根据全等三角形的判定和性质，即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了解一元二次方程，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
 

27.【答案】证明：如图中，

点在的垂直平分线上，
，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；

证明：如图中，

，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
≌，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
；

解：如图中，过等作交的延长线于点．

由可知，，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，，
，
，，
，
∽，
，即，
． 

【解析】首先证明，再证明≌，推出，可得结论；
证明∽，推出，推出，推出∽，可得结论；
图中，过等作交的延长线于点首先证明，四边形是矩形，证明∽，可得，由此即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．