（人教A版2019选择性必修第一册）专题02 立体几何中存在性问题的向量解法

专题02  立体几何中存在性问题的向量解法

题型一  与平行有关的存在性问题

1．如图，在正方体中，是棱的中点．

（1）求二面角的余弦值；

（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明．

2．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．

（1）若平面，求二面角的大小；

（2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由．

3．已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

4．如图：平面，四边形为直角梯形，，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

6．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍chú甍méng者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．

（1）求二面角的大小；

（2）求三棱锥的体积；

（3）点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

题型二  与垂直有关的存在性问题

7．如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面．

（1）求二面角的正弦值；

（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．

8．如图所示，在长方体中，，分别是，的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9．如图，在直三棱柱中、．，是中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．

10．如图，在长方体中，，，为中点，为中点．

（1）求证：平面；

（2）若线段上存在点使得，求与平面所成角的正弦值．

11．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点．已知，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

12．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小为，设平面与平面的交线为．

（1）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由；

（2）若点在上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

题型三  与距离有关的存在性问题

13．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？

14．如图，长方体中，，为棱中点，为棱中点．

（1）求二面角平面角的大小；

（2）线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

15．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．

（1）求平面和平面夹角的余弦值；

（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．

题型四  与角度有关的存在性问题

16．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，，，．

（1）证明：；

（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由．

17．如图1，在直角梯形中，，，，．将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为．

（1）求线段的长度；

（2）试判断在线段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由．

18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为线段的中点，为线段上的动点．

（1）求证：平面；

（2）是否存在点，使平面与平面所成的锐二面角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

19．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点．

（1）证明：，，三线共点；

（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面，所成角的正弦值为，若存在，请旨出点的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由．

20．如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，与平行并且相等，．

（1）证明：；

（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．

（1）证明：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

22．如图，在四棱锥中，，，，．

（1）证明：平面；

（2）设平面平面，平面，，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明由．

23．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是和的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求异面直线与之间的距离；

（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

24．如图，三棱柱所有的棱长为2，，是棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）在线段是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

25．如图，四棱锥的底面为菱形，，平面，且，分别为，的中点，点为棱上一动点．

（1）证明：平面平面；

（2）若，在线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，试确定的位置；若不存在，说明理由．

26．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点．

（1）求证：；

（2）棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．