高中数学5.4 三角函数的图象与性质优质教案

这是一份高中数学5.4 三角函数的图象与性质优质教案，共14页。

5.4.3正切函数的性质与图象
[目标]1.能够作出y＝tanx的图象；
2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
[重点] 正切函数的性质．
[难点]正切函数的图象、性质及其应用．
知识点一正切函数y＝tanx的图象
[填一填]
正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线.
[答一答]
1.正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z有公共点吗？
提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．
2.直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？
提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.
3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合．
(1)满足tanx＝0的集合为．{x|x＝kπ，k∈Z}
(2)满足tanx<0的集合为．{x|kπ－eq \f(π,2)(3)满足tanx>0的集合为．{x|kπ知识点二正切函数y＝tanx的性质
[填一填]
(1)定义域是．{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
(2)值域是R，即正切函数既无最大值，也无最小值．
(3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π.
(4)奇偶性：正切函数是.奇函数
(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))，k∈Z
(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
[答一答]
4.y＝tanx在定义域上是增函数吗？
提示：y＝tanx在每个开区间(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)，k∈Z内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性．
5.正切函数图象与x轴有无数个交点，交点的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，因此有人说正切函数图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，这种说法对吗？
提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(kπ，0)对称，还关于点(eq \f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)对称，因此正切函数y＝tanx的对称中心为(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)．
类型一利用正切函数图象求定义域及值域
[例1] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))；(2)y＝eq \r(\r(3)－tanx).
[解] (1)由x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得，x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的定义域为{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))，其值域为(－∞，＋∞)．
(2)由eq \r(3)－tanx≥0得，tanx≤eq \r(3).
结合y＝tanx的图象可知，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，满足tanx≤eq \r(3)的角x应满足－eq \f(π,2)1求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式组，然后求出x的范围.
2求值域要用换元的思想，把tanx看作可取任意实数的自变量.
[变式训练1] (1)求函数y＝eq \r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定义域．
(2)求函数y＝sinx＋tanx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域．
解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tanx＋1≥0，,1－tanx>0，))即－1≤tanx<1.
∵在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又y＝tanx的周期为π，∴所求x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z，即为此函数的定义域．
(2)y1＝sinx，y2＝tanx均满足在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增，∴函数y＝sinx＋tanx也满足在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增，
∴此函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－1，\f(\r(2),2)＋1)).
类型二正切函数的周期性
[例2] 求函数y＝eq \r(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))与函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期．
[解] 函数y＝eq \r(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))的最小正周期为T＝eq \f(π,4)；
f(x)＝tanx＋|tanx|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))，,2tanx，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，))k∈Z，
作出f(x)＝tanx＋|tanx|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期T＝π.
一般地，函数y＝Atanωx＋φ＋BA≠0，ω>0的最小正周期为T＝eq \a\vs4\al(\f(π,ω))，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.
[变式训练2] 若函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3ax－\f(π,3)))(a≠0)的最小正周期为eq \f(π,2)，则a＝. ±eq \f(2,3)
解析：T＝eq \f(π,|3a|)＝eq \f(π,2)，所以a＝±eq \f(2,3).
类型三正切函数的单调性及应用
[例3] (1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调区间；
(2)比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))的大小．
[解] (1)由kπ－eq \f(π,2)(2)由于taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3π－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－taneq \f(π,4)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))＝－taneq \f(2π,5)，
又0所以taneq \f(π,4)所以－taneq \f(π,4)>－taneq \f(2π,5)，
即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5))).
1求函数y＝Atanωx＋φ的单调性时可将ωx＋φ看成一个整体，利用y＝tanx的单调性求解，但需注意A、ω的正负性对函数单调性的影响.
2比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间eq \a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))))内，再利用正切函数的单调性比较.
[变式训练3] (1)函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的单调区间是.递减;eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))，k∈Z
(2)比较大小：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)π)).>
解析：(1)y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))，由kπ－eq \f(π,2)所以y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))，k∈Z.
(2)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)π))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,4)))＝taneq \f(π,4)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)π))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,5)))＝taneq \f(π,5)，
又0∴taneq \f(π,5)∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)π))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)π)).
类型四正切函数图象与性质的综合应用
[例4] 设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集．
[解] (1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2)，即eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,2).
因为ω>0，所以ω＝2.
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称，所以2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＋φ＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z.
因为0<φ故f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
(2)令－eq \f(π,2)＋kπ<2x＋eq \f(π,4)即－eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)所以函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋\f(kπ,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)，知f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
由－1≤taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≤eq \r(3)，
得－eq \f(π,4)＋kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z.
即－eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)≤x≤eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(kπ,2)≤x≤\f(π,24)＋\f(kπ,2)，k∈Z)))).
1正切函数y＝tanx与x轴相邻交点间的距离为一个周期；2y＝tanx的对称中心为eq \a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0)))，不但包含y＝tanx的零点，而且包括直线x＝eq \f(π,2)＋kπk∈Z与x轴的交点.
[变式训练4] 已知函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，若－eq \f(π,2)<θ解：因为函数y＝tanx图象的对称中心为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，其中k∈Z，所以2x＋θ＝eq \f(kπ,2)，令x＝eq \f(π,3)，得θ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(2π,3)，k∈Z.又－eq \f(π,2)<θ1.若tanx≥0，则( D )
A．2kπ－eq \f(π,2)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．2kπ－eq \f(π,2)D．kπ≤x2.函数y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的一个对称中心是( C )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))
解析：由3x－eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)，得x＝eq \f(kπ,6)＋eq \f(π,12)，
令k＝－2得x＝－eq \f(π,4).故选C．
3.函数y＝eq \f(1,tanπ－x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
4.使函数y＝2tanx与y＝csx同时为单调增的区间是.
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π＋2kπ，－\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)和eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，2kπ))(k∈Z)
解析：由y＝2tanx与y＝csx的图象知，同时为单调增的区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π＋2kπ，－\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)和eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，2kπ))(k∈Z)．
5．求函数y＝tan(π－x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域．
解：y＝tan(π－x)＝－tanx，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上为减函数，所以值域为(－eq \r(3)，1)．
——本课须掌握的两大问题
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tanx的定义域是{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝eq \f(π,|ω|).
(3)正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．
第五章5.4.3正切函数的性质与图象
A组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝tan(x＋eq \f(π,4))的定义域是( A )
A．{x∈R|x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z}
B．{x∈R|x≠kπ－eq \f(π,4)，k∈Z}
C．{x∈R|x≠2kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z}
D．{x∈R|x≠2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z}
[解析] 由正切函数的定义域可得，x＋eq \f(π,4)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
∴x≠eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x∈R|x≠eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z}．
2.已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(eq \f(π,12)，0)，则φ可以是( A )
A.－eq \f(π,6) B.eq \f(π,6)
C.－eq \f(π,12) D.eq \f(π,12)
[解析] ∵函数的图象过点(eq \f(π,12)，0)，∴tan(eq \f(π,6)＋φ)＝0，
∴eq \f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，令k＝0，则φ＝－eq \f(π,6)，故选A．
3．函数f(x)＝tan(ωx－eq \f(π,4))与函数g(x)＝sin(eq \f(π,4)－2x)的最小正周期相同，则ω＝( A )
A．±1B．1
C．±2D．2
[解析] eq \f(π,|ω|)＝eq \f(2π,|－2|)，ω＝±1.
4．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的图象是( A )
[解析] 由f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，
知f(x＋2π)＝tan[eq \f(1,2)(x＋2π)－eq \f(π,3)]
＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))＝f(x)．
∴f(x)的周期为2π，排除B，D．
令taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))＝0，得eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)．
∴x＝2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，若k＝0，则x＝eq \f(2π,3)，
即图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，故选A．
5．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(3π,2)))，则函数的值域为( C )
A．(eq \r(3)，＋∞)B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，＋∞))
C．(－eq \r(3)，＋∞)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))
[解析] 由eq \f(2π,3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))＝－eq \r(3).故函数的值域为(－eq \r(3)，＋∞)．
6．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为( B )
A．3B．5
C．7D．9
[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y＝tanx与函数y＝sinx在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B．
二、填空题
7．函数y＝3tan(2x＋eq \f(π,3))的对称中心的坐标为__(eq \f(kπ,4)－eq \f(π,6)，0)(k∈Z)__.
[解析] 令2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，
得x＝eq \f(kπ,4)－eq \f(π,6)(k∈Z)，
∴对称中心的坐标为(eq \f(kπ,4)－eq \f(π,6)，0)(k∈Z)．
8．求函数y＝tan(－eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4))的单调区间是__(2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3,2)π)(k∈Z)__.
[解析] y＝tan(－eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4))
＝－tan(eq \f(1,2)x－eq \f(π,4))，
由kπ－eq \f(π,2)得2kπ－eq \f(π,2)∴函数y＝tan(－eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4))的单调递减区间是(2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3,2)π)，k∈Z.
9．函数f(x)＝tanax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,3)所得线段长为2，则a的值为__eq \f(π,2)__.
[解析] 由题意可得T＝2，所以eq \f(π,a)＝2，a＝eq \f(π,2).
三、解答题
10．求下列函数的周期及单调区间．
(1)y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))；
(2)y＝|tanx|.
[解析] (1)y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))，
∴T＝eq \f(π,|ω|)＝4π，
∴y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的周期为4π.
由kπ－eq \f(π,2)得4kπ－eq \f(4π,3)∴y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)内单调递增，无单调递增区间．
∴y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)内单调递减．
(2)由于y＝|tanx|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tanx，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))k∈Z，,－tanx，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))k∈Z.))
∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，单调减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．
11．已知－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4)，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
[解析] ∵－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4)，∴－eq \r(3)≤tanx≤1，
f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，
当tanx＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，ymin＝1；
当tanx＝1，即x＝eq \f(π,4)时，ymax＝5.
B组·素养提升
一、选择题
1．若a＝lgeq \f(1,2)tan70°，b＝lgeq \f(1,2)sin25°，c＝lgeq \f(1,2)cs25°，则( D )
A．aC．c[解析] ∵0∴lgeq \f(1,2)sin25°>lgeq \f(1,2)cs25°>lgeq \f(1,2)tan70°.即a2．(2019·河北新高考高一模拟选科)已知函数f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，若f(eq \f(π,3))＝1，则f(－eq \f(π,3))＝( C )
A．1B．－1
C．3D．－3
[解析] ∵f(x)＝mtan x－ksin x＋2(m，k∈R)，f(eq \f(π,3))＝1，
∴f(eq \f(π,3))＝mtaneq \f(π,3)－ksineq \f(π,3)＋2＝eq \r(3)m－eq \f(\r(3),2)k＋2＝1，
∴eq \r(3)m－eq \f(\r(3),2)k＝－1，
∴f(－eq \f(π,3))＝mtan(－eq \f(π,3))－ksin(－eq \f(π,3))＋2＝－eq \r(3)m＋eq \f(\r(3),2)k＋2＝3.
3．(多选题)下列说法正确的是( BD )
A．taneq \f(8π,7)>taneq \f(2π,7)
B．sin 145°C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(π,ω)
D．函数y＝2tanx(eq \f(π,4)≤x[解析] A错误，taneq \f(8π,7)＝tan(π＋eq \f(π,7))＝taneq \f(π,7)，因为01，故sin145°4．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对任意x1，x2∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是( AD )
A．f(x1＋π)＝f(x1)B．f(－x1)＝f(x1)
C．f(0)＝1D．eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0
[解析] 由于f(x)＝tanx的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tanx为奇函数，故B不正确；f(0)＝tan0＝0，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)＝tanx为区间(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))上的增函数，故D正确．
二、填空题
5．若函数y＝tanωx在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.
[解析] 若ω使函数在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0.
6．给出下列命题：
(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；
(3)函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2)；
(4)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x))是偶函数．
其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.
[解析] y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tanx在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2).∴(3)对；y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋x))＝csx是偶函数，∴(4)对．
因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．
7．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，则x的取值范围是__eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋\f(kπ,2)，\f(5π,24)＋\f(kπ,2)))(k∈Z)__.
[解析] 令z＝2x－eq \f(π,6)，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足tanz≤1的z的值是－eq \f(π,2)三、解答题
8．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))时，若使a－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的值总大于零，求a的取值范围．
[解析] ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，∴0≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,3).
又y＝tanx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))内单调递增，
∴0≤taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤eq \r(3)，
∴0≤2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤2eq \r(3).
由题意知a－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))>0对x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))恒成立，
即a>2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))对x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))恒成立．
∴a>2eq \r(3).∴实数a的取值范围是(2eq \r(3)，＋∞)．
9．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的主要性质．
[解析] 由y＝|tanx|＋tanx知
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x∈kπ－\f(π,2)，kπ]，,2tanx，x∈kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
其图象如图所示．
函数的主要性质为：
①定义域：{x|x∈R，x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}；
②值域：[0，＋∞)；
③周期性：T＝π；
④奇偶性：非奇非偶函数；
⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋eq \f(π,2))，k∈Z.