高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件优秀教案

1.4.2  充要条件

教学目标

1.理解充要条件的意义.

2.理解数学定义与充要条件的关系.

教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．

教学难点：判断条件与结论之间的充要性．

教学过程：

一、核心概念

充要条件

(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为

(sufficient and necessary condition)．

(2)当p是q的充要条件时，q也是p的条件．

(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立q成立”，或“p与q”．

新知拓展

1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件

(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．

(3)若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．

(4)若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．

(5)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

(4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．

(5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．

(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．

3．“⇔”的传递性

若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．

二、评价自测

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)

(2)符号“⇔”具有传递性．(　　)

(3)若pq和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　)

(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．(　　)

(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．(　　)

答案：（1）√、（2）√、（3）√、（4）×、（5）√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是______________________．

(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)

(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)

答案：(1)x＝1或x＝2　(2)充要　(3)充要

三、典例分析

题型一   全称量词命题与存在量词命题的判定

例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．

(1)p：a＝b，q：ac＝bc；

(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；

(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

(4)p：A∩B＝A，q：.

【答案】(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．

(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．

(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．

(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．

题型探究 

已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：

(1)p是r的什么条件？

(2)s是q的什么条件？

(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？

【答案】作出“⇒”图，如右图所示，可知：

p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.

(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．

(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，

∴s是q的充要条件．

(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.

金版点睛：

判断p是q的充分必要条件的两种思路

(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．

(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．

此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．

跟踪训练1

指出下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；

(2)p：q：

(3)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0.

【答案】(1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A，所以A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．

(2)由根据不等式的性质可得

即p⇒q，而由不能推出

如：α＝1，β＝5满足但不满足α>2.

所以p是q的充分不必要条件．

(3)由a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p是q的充要条件．

题型二   充要条件的证明

例2已知，求证：是的充要条件．

【证明】　①充分性：

∵，∴，

∴

，即.

②必要性：∵，

∴，

∴.

∵，∴且，

∴.

∴，∴.

综上可知，当时，是的充要条件．

题型探究

已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．

【证明】因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.

即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．

另一方面，若a4－b4－2b2＝1，

即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0，

(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.

又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.

因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件．

金版点睛：

充要条件的证明

证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.

跟踪训练2

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

【证明】①必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，∴ac<0.

②充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1x2＝<0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

题型三   探求充要条件

例3求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

【答案】①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．

②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⇒a<0；

(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为⇒0<a≤1.

综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

金版点睛：

探求充要条件的两种方法

(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．

跟踪训练3

已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

【答案】方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：

⇔

⇔

四、随堂练习

1．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件

答案：D

解析：由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．

2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析： x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的充分不必要条件．

3．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：因为x<－1⇒|x|>1，而|x|>1⇒x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．

4．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．

答案：a<0

解析：由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.

5．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.

证明：证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.

②必要性：由<，得－<0，即<0.

因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.

所以<的充要条件是xy>0.

证法二：<⇔－<0⇔<0.

由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.

所以<⇔xy>0，即<的充要条件是xy>0.