【最新版】高中数学高三培优小题练第29练　两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第29练　两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式，共7页。

考点一 公式的直接应用
1．(2022·内江模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,7) B．7 C．－eq \f(1,7) D．－7
答案 A
解析 ∵sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan α·tan \f(π,4))＝eq \f(1,7).
2．(2022·银川模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α－1＝cs 2α，则cs α等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 D
解析 ∵2sin 2α－1＝cs 2α，
∴4sin αcs α＝1＋cs 2α＝2cs2α，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴cs α>0，
∴2sin α＝cs α.又sin2α＋cs2α＝1，
∴cs α＝eq \f(2\r(5),5).
3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期和最大值分别为( )
A．π，1 B．π，eq \r(2)
C．2π，eq \r(2) D．π，eq \r(3)
答案 D
解析 依题意，y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 2x－\f(\r(3),2)sin 2x))＝eq \r(3)sin 2x，
则ω＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝π，
当2x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
即x＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)时，
sin 2x＝1，ymax＝eq \r(3)，
所以原函数的最小正周期和最大值分别为π，eq \r(3).
考点二 公式的逆用与变形用
4．sin 54°sin 66°＋cs 126°sin 24°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 sin 54°sin 66°＋cs 126°sin 24°
＝sin 54°cs 24°－cs 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
5．下列各式的值等于eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 67.5°cs 67.5° B．2cs2eq \f(5π,12)－1
C．1－2sin215° D.eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)
答案 C
解析 2sin 67.5°cs 67.5°＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2)，故A不符合；
2cs2eq \f(5π,12)－1＝cs eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，故B不符合；
1－2sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，故C符合；
eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝tan 45°＝1，故D不符合．
6．计算eq \f(2cs2α－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的结果为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 B
解析 eq \f(2cs2α－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))
＝eq \f(cs 2α,\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))
＝eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(2cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))＝2.
7．(2022·琅琊模拟)tan 80°＋tan 40°－eq \r(3)tan 80°·tan 40°＝________.
答案 －eq \r(3)
解析 根据两角和的正切公式，
可得tan 120°＝tan(80°＋40°)
＝eq \f(tan 80°＋tan 40°,1－tan 40°tan 80°)＝－eq \r(3)，
所以tan 40°＋tan 80°
＝－eq \r(3)(1－tan 40°tan 80°)
＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan 40°tan 80°，
所以tan 80°＋tan 40°－eq \r(3)tan 80°tan 40°＝－eq \r(3).
考点三 角的变换
8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),5) B.eq \f(2\r(3),5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
答案 D
解析 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
可得eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
即eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，
所以eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5).
9．(2022·沈阳模拟)若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))＝－eq \f(\r(10),10)，则sin β等于( )
A.eq \f(7\r(2),10) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,10)
答案 B
解析 β＝α－(α－β)，
∵eq \f(π,2)<α<π，eq \f(π,2)<β<π，
∴－π<－β<－eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,2)<α－β∵sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)<0，
∴－eq \f(π,2)<α－β<0，
则cs(α－β)＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β)))
＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))2)＝eq \f(3\r(10),10)，
∵sin α＝eq \f(2\r(5),5)，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2)
＝－eq \f(\r(5),5)，
则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2).
10．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则cs(30°－2α)的值为________．
答案 eq \f(7,9)
解析 cs(75°＋α)＝sin(15°－α)＝eq \f(1,3)，
所以cs(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).
11．(2021·全国甲卷)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α等于( )
A.eq \f(\r(15),15) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(15),3)
答案 A
解析 方法一 因为tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)，
且tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，
所以eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)＝eq \f(cs α,2－sin α)，
解得sin α＝eq \f(1,4).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(\r(15),4)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(15),15).
方法二 因为tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(\f(2sin α,cs α),1－\f(sin2α,cs2α))＝eq \f(2sin αcs α,cs2α－sin2α)＝eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)，
且tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，
所以eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)＝eq \f(cs α,2－sin α)，
解得sin α＝eq \f(1,4).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(\r(15),4)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(15),15).
12．(2022·镇江质检)已知tan α＝2，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，α，β∈(0，π)，则2α－β的值为( )
A.eq \f(5π,4) B．－eq \f(3π,4) C.eq \f(π,4) D．－eq \f(π,4)
答案 D
解析 因为tan α＝2，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(4,1－4)＝－eq \f(4,3)，
又cs β＝－eq \f(7\r(2),10)<0，β∈(0，π)，
所以β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \r(1－\f(98,100))＝eq \f(\r(2),10)，所以tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝－eq \f(1,7)，
所以tan(2α－β)＝eq \f(tan 2α－tan β,1＋tan 2αtan β)＝eq \f(－\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7))))＝－1，
因为tan α＝2>0，α∈(0，π)，
所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则 2α∈(0，π)，
因为tan 2α＝－eq \f(4,3)<0，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以2α－β＝－eq \f(π,4).
13．(2022·杭州模拟)在△ABC中，“tan A＋tan B＋tan C>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,tan Atan B－1)，
故tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C，tan A，tan B，tan C最多只有一个为负，
若tan A＋tan B＋tan C>0，则tan A·tan B·tan C>0，
故tan A>0，tan B>0，tan C>0，A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形．
若△ABC为锐角三角形，则tan A>0，tan B>0，tan C>0，
故tan A＋tan B＋tan C>0.
综上所述，“tan A＋tan B＋tan C>0”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件．
14．已知数列{an}满足an＝eq \f(sin 1°,cs n°csn－1°)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项的和记为Sn，则eq \f(S60,S30)＝________.
答案 3
解析 ∵an＝eq \f(sin 1°,cs n°csn－1°)
＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(n°－n－1°)),cs n°csn－1°)
＝eq \f(sin n °csn－1°－cs n°sinn－1°,cs n°csn－1°)
＝tan n°－tan(n－1)°
＝－tan(n－1)°＋tan n°，
∴Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan 0°＋tan 1°))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan 1°＋tan 2°))
＋(－tan 2°＋tan 3°)＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－tann－1°＋tan n°))＝tan n°，
∴eq \f(S60,S30)＝eq \f(tan 60°,tan 30°)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),3))＝3.