【最新版】高中数学高三培优小题练第87练　几何概型

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第87练　几何概型，共6页。试卷主要包含了欧阳修《卖油翁》中写道等内容，欢迎下载使用。

考点一 与长度、角度有关的几何概型
1．在区间[－1,6]内随机取一个数x，则该数满足－x2＋5x－6≥0的概率为( )
A．1 B.eq \f(3,5) C.eq \f(1,7) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 求解不等式－x2＋5x－6≥0，
可得2≤x≤3，
由几何概型的概率计算公式可得，
在区间[－1,6]内随机取一个数x，则该数满足－x2＋5x－6≥0的概率为eq \f(1,7).
2．已知公共汽车每7 min一班，在车站停留1 min，开走后再过7 min第二辆车到站，则乘客到达车站立即可以上车的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,7) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,9)
答案 B
解析 由于公共汽车每7 min一班，则两班车停靠站之间时间可用长度为7的线段表示，而汽车在车站停1 min，乘客到达站点立即乘上车的时间可用长度为1的线段表示，则乘客到达站点立即上车的概率为eq \f(1,7).
3.如图所示，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 如图所示，当AA′长度等于半径R时，A′位于点B或点C处，此时∠BOC＝eq \f(2π,3)，则优弧BC的长为eq \f(4π,3)R，
∴所求概率P＝eq \f(\f(4π,3)R,2πR)＝eq \f(2,3).
考点二 与面积有关的几何概型
4．如图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为45°的等腰三角形，若在圆内随机取一点，则点落到阴影部分内的概率为( )
A.eq \f(\r(2),π) B.eq \f(\r(3),π) C.eq \f(2,π) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 设圆的半径为R，阴影部分的面积为S1＝4×eq \f(1,2)×R×R×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)R2，
圆的面积为S2＝πR2.
所以该点落到阴影部分的概率为P＝eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(2),π).
5.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )
A.eq \f(363π,10) mm2 B.eq \f(363π,5) mm2
C.eq \f(726π,5) mm2 D.eq \f(363π,20) mm2
答案 A
解析 向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝eq \f(30,100)×π×112＝eq \f(363π,10)(mm2)．
6．(2022·成都模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝2eq \r(3)，BC＝2，在矩形ABCD中随机取一点M，则点M与A，B的距离都不小于2的概率为( )
A.eq \f(3,4)－eq \f(\r(3)π,9) B.eq \f(3,4)－eq \f(\r(3)π,36)
C.eq \f(3,4)－eq \f(\r(3)π,6) D.eq \f(3,4)－eq \f(\r(3)π,12)
答案 A
解析 如图，设圆弧交点为E，过E作EF⊥AB于F，
在△AEF中，AE＝BE＝2，AB＝2eq \r(3)，
可求得∠EAF＝eq \f(π,6)，
则S阴影＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1－2eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,6)×π×22－\f(1,2)×2))
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(\r(3),2)))＝3eq \r(3)－eq \f(4π,3).
所以点M与A，B的距离都不小于2的概率为eq \f(3\r(3)－\f(4π,3),2×2\r(3))＝eq \f(3,4)－eq \f(\r(3)π,9).
7．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱的形状是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是________．
答案 eq \f(4,9π)
解析 根据几何概型可知，所求概率P＝eq \f(1×1,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝eq \f(4,9π).
考点三 与立体几何有关的几何概型
8．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体
6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.eq \f(4π,81) B.eq \f(81－4π,81) C.eq \f(1,27) D.eq \f(8,27)
答案 C
解析 由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：
以这个正方体的中心为中心且边长为1的小正方体内．
这个小正方体的体积为1，
大正方体的体积为27，
故安全飞行的概率为eq \f(1,27).
9．在正方体内随机放入n个点，恰有m个点落入正方体的内切球内，则π的近似值为( )
A.eq \f(2m,n) B.eq \f(m,2n) C.eq \f(6m,n) D.eq \f(m,6n)
答案 C
解析 设正方体的边长为2，则其内切球的半径为1，
正方体与其内切球的体积分别为8，eq \f(4π,3)，
恰有m个点落入正方体的内切球概率为eq \f(m,n)，
根据几何概型得eq \f(m,n)＝eq \f(4π,3×8)，
∴π＝eq \f(6m,n).
10．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于eq \f(V,3)的概率是________．
答案 eq \f(2,3)
解析 由题可知eq \f(VS－APC,VS－ABC)>eq \f(1,3)，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，
所以eq \f(VS－APC,VS－ABC)＝eq \f(S△APC,S△ABC)＝eq \f(PM,BN)>eq \f(1,3)，
又eq \f(PM,BN)＝eq \f(AP,AB)，所以eq \f(AP,AB)>eq \f(1,3)，
故所求的概率为eq \f(2,3)(即为长度之比)．
11．在[－1,1]上随机取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－13)2＋y2＝25相交”发生的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 因为直线y＝kx与圆(x－13)2＋y2＝25相交，
所以d＝eq \f(|13k|,\r(1＋k2))<5，则k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,12)，\f(5,12)))，
当直线斜率k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,12)，\f(5,12)))时直线与圆相交，
故所求概率P＝eq \f(\f(10,12),2)＝eq \f(5,12).
12．在圆的一条直径上任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,5)
答案 C
解析 如图所示，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M.若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为eq \f(r,2).设EF为与CD平行且到圆心O的距离为eq \f(r,2)的弦，交直径AB于点N.易知当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝eq \f(r,2r)＝eq \f(1,2).
13．已知A＝{(x，y)|x2＋y2≤π2}，B是曲线y＝sin x与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B内的概率为________．
答案 eq \f(4,π3)
解析 由题意可作出如图所示图形，
由几何概型可知所求概率P＝eq \f(2\\al(π,0)sin xdx,π3)＝eq \f(4,π3).
14．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 正方体的棱长为2，则其内切球的半径为1，
设正方体的体积为V，正方体的内切球的体积为V1，“牟合方盖”的体积为V2，
∴正方体的体积为V＝23＝8，
∴正方体的内切球的体积为V1＝eq \f(4,3)π×13＝eq \f(4,3)π，
由题意得eq \f(V1,V2)＝eq \f(π,4)，
则“牟合方盖”的体积为V2＝eq \f(4,π)×eq \f(4,3)π＝eq \f(16,3)，
所以在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为P＝eq \f(V2,V)＝eq \f(\f(16,3),8)＝eq \f(2,3).