陕西省榆林市神木市2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份陕西省榆林市神木市2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省榆林市神木市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．4x2﹣1 B．x2+2x﹣1 C．x2+2x+1 D．x2﹣xy+y2
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向下平移1个单位长度，得到的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（﹣2，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
4．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
5．（3分）若分式方程＝+1有增根，则k的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
7．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，6），则不等式kx+b＞6的解集为（　　）

A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜6 D．x＞6
8．（3分）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）若分式的值为0，则x的值是 　 　．
10．（3分）多项式6x3y﹣4x2y各项的公因式是 　 　．
11．（3分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是　 　．
12．（3分）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是　 　．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝10°，则∠AED＝　 　．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）分解因式：4m2（x+2y）﹣n2（x+2y）．
15．（5分）+＝
16．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在BC上求作一点E，使得点E到AB、AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

17．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4cm，DC＝6cm，将DC向左平移4cm，得到AE交BC于E，判断四边形ADCE的形状，并求四边形ADCE的周长．

18．（5分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．

19．（5分）如图，已知点E和点F分别在平行四边形ABCD的边BC和AD上，线段EF恰好经过BD的中点O．求证：DF＝BE．

20．（5分）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集．

21．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2022．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，并写出点A2的坐标．

23．（7分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套280元，420元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买A，B两种型号的健身器材共40套，且支出不超过12000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
24．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．

25．（8分）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．

26．（10分）春季是呼吸道传染病高发季节，除了通过飞沫传播，也会经手接触传播，正确洗手是预防呼吸传到传染病最有效的措施之一．某商场用600元购进甲品牌洗手液后，供不应求，又用2100元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的3倍，进价贵了1元．
（1）求该商场购进的第二批甲品牌洗手液的进价；
（2）该商场计划新进一批甲品牌和乙品牌洗手液共420瓶，且乙品牌的进货数量不超过甲品牌数量的2倍．甲品牌的进价与第二批价格相同，乙品牌的进价为9元，甲、乙品牌的售价分别为12元和15元，应该如何组织进货才能使这批洗手液所获利润最大？最大利润是多少？

2021-2022学年陕西省榆林市神木市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，正确掌握中心对称图形的概念是解题关键．
2．（3分）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．4x2﹣1 B．x2+2x﹣1 C．x2+2x+1 D．x2﹣xy+y2
【分析】根据完全平方公式的结构特征分别进行分析判断．
【解答】解：A、4x2﹣1可以用平方差公式因式分解为（2x+1）（2x﹣1）．故选项A不符合题意；
B、x2+2x﹣1不能用完全平方公式进行因式分解，故选项B不符合题意；
C、x2+2x+1＝（x+1）2，故选项C符合题意；
D、x2﹣xy+y2不能用完全平方公式进行因式分解，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解式子的特征，能用完全平方公式进行因式分解式子的特点是：1、是二次三项式；2、首平方，尾平方，两倍乘积放中央．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向下平移1个单位长度，得到的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（﹣2，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可．
【解答】解：将点（﹣2，3）向下平移1个单位长度，所得到的点的坐标是（﹣2，2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据平行四边形可得O为BD中点，进而根据中位线定理可得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DO＝BO，
∵E是CD的中点，
∴BC＝2OE＝6，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质和中位线定理是解题关键．
5．（3分）若分式方程＝+1有增根，则k的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把x＝﹣1代入即可得出k的值．
【解答】解：∵，
∴1＝k+x+1 ①，
把增根x＝﹣1代入①，
得1＝k﹣1+1，
∴k＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴AD＝BD，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝8＝AD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
7．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，6），则不等式kx+b＞6的解集为（　　）

A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜6 D．x＞6
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【解答】解：观察图象知：当x＞﹣3时，kx+b＞6，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．（3分）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质即可得到结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴GA＝GP，故①正确；
②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，
∴点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP＝∠BCP，
故②正确；
③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）若分式的值为0，则x的值是 　2　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点评】由于此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
10．（3分）多项式6x3y﹣4x2y各项的公因式是 　2x2y　．
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【解答】解：∵各项系数4、6的最大公约数是2，各项都含有的字母是x与y，x的最低指数是2，y的最低指数是1，
∴该多项式的公因式为：2x2y，
故答案为：2x2y．
【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．
11．（3分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是　6　．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
12．（3分）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是　3＜m≤4　．
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有3个整数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：1≤x＜m，
由不等式组恰有3个整数解，得到整数解为1，2，3，
∴3＜m≤4．
故答案为：3＜m≤4．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝10°，则∠AED＝　70°　．

【分析】首先证明△ABE是等边三角形，再证明∠AED≌△DCA，可得∠AED＝∠DCA，求出∠DCA即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠EAB＝∠EAD，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴BA＝BE，
∵AB＝AE，
∴AB＝BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°，
∴∠EAD＝∠CDA＝60°，
∵EA＝AB，CD＝AB，
∴EA＝CD，
∵AD＝DA，
∴∠AED≌△DCA，
∴∠AED＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°+10°＝70°，
∴∠AED＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）分解因式：4m2（x+2y）﹣n2（x+2y）．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：4m2（x+2y）﹣n2（x+2y）
＝（x+2y）（4m2﹣n2）
＝（x+2y）（2m+n）（2m﹣n）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15．（5分）+＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣3x+6＝x2+3x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在BC上求作一点E，使得点E到AB、AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】由题意，结合角平分线的性质可知，作∠CAB的角平分线即可．
【解答】解：如图，点E为所作．

【点评】本题考查尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．
17．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4cm，DC＝6cm，将DC向左平移4cm，得到AE交BC于E，判断四边形ADCE的形状，并求四边形ADCE的周长．

【分析】根据平移的性质得到AE∥DC，进而得出四边形ADCE是平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知，AE∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD＝4cm，DC＝6cm，
∴四边形ADCE的周长为2×（4+6）＝20（cm）．
【点评】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定，根据平移的性质得到AE∥DC是解题的关键．
18．（5分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．

【分析】由题意可求得∠ABC＝∠ACB，再由高得∠BQC＝∠CPB＝90°，从而可求得∠OBC＝∠OCB，即有OB＝OC，从而得证△BCO是等腰三角形．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，
∴∠BQC＝∠CPB＝90°，
∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴△BCO为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．
19．（5分）如图，已知点E和点F分别在平行四边形ABCD的边BC和AD上，线段EF恰好经过BD的中点O．求证：DF＝BE．

【分析】直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出△FOD≌△EOB，进而得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠ADB＝∠DBC，
在△FOD和△EOB中，
，
∴△FOD≌△EOB（ASA），
∴FD＝BE．
【点评】此题主要考查了平行四边形性质以及全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20．（5分）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由①解得x＜4，
由②解得x≥3，
所以不等式组的解集为3≤x＜4．
解集在数轴上表示如下图：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2022．
【分析】先利用分式的混合运算的法则进行化简，再将x＝2022代入运算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当x＝2022时，
原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确利用分式的混合运算的法则进行运算是解题的关键．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，并写出点A2的坐标．

【分析】（1）根据中心对称的性质，即可得出点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
（2）根据旋转的性质，即可得出点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，从而画出三角形．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣4，1）．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23．（7分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套280元，420元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买A，B两种型号的健身器材共40套，且支出不超过12000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
【分析】设A种型号健身器材购买x套，则B种型号健身器材购买（40﹣x）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过12000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设A种型号健身器材购买x套，则B种型号健身器材购买（40﹣x）套，
依题意得：280x+420（40﹣x）≤12000，
解得：x≥．
又∵x为整数，
∴x的最小值为35．
答：A种型号健身器材至少要购买35套．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
24．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．

【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，进而解答即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25．（8分）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．

【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是线段AC的垂直平分线，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD．根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，于是得到结论．
【解答】解：（1）△CEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AB＝BC，CF＝CE＝4．
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB∥DE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE．
∵BC＝BE+EC＝DE+CF，
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
26．（10分）春季是呼吸道传染病高发季节，除了通过飞沫传播，也会经手接触传播，正确洗手是预防呼吸传到传染病最有效的措施之一．某商场用600元购进甲品牌洗手液后，供不应求，又用2100元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的3倍，进价贵了1元．
（1）求该商场购进的第二批甲品牌洗手液的进价；
（2）该商场计划新进一批甲品牌和乙品牌洗手液共420瓶，且乙品牌的进货数量不超过甲品牌数量的2倍．甲品牌的进价与第二批价格相同，乙品牌的进价为9元，甲、乙品牌的售价分别为12元和15元，应该如何组织进货才能使这批洗手液所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设商场购进第一批洗手液的单价为x元，由题意：某商场用600元购进一批洗手液后，商场用2100元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了1元．列出分式方程，解方程即可；
（2）先求出y的取值范围，再根据利润与进价，售价的关系列出关系式，即可求出答案．
【解答】解：（1）设商场购进第一批洗手液的单价为x元，
由题意得：3×＝，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
x+1＝6+1＝7（元），
答：该商场购进的第二批甲品牌洗手液的进价为7元；
（2）设甲品牌洗手液y瓶，这批洗手液所获利润为w元，则乙品牌的进货数量为（420﹣y）瓶，
由题意得，420﹣y≤2y，
∴y≥140，
∵y是正整数，
∴y的最小值是140，
根据题意得：w＝（12﹣7）y+（15﹣9）（420﹣y）＝﹣y+2520，
∵﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当y＝140元时，w的最大值为﹣140+2520＝2380（元），
答：进甲品牌洗手液140瓶，乙品牌的数量为280瓶，这批洗手液所获利润最大，最大利润是2380元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．