2021-2022学年江西省赣州市宁都县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江西省赣州市宁都县八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列根式中属最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在四边形中，，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 将平行四边形放在平面直角坐标系中，顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是(    )

A. ， B. ，
C. 方程的解是 D. 方程的解是

5. 为了了解某校学生课后参加体有锻炼的时间，学校体育组随机抽样调查了若干名学生的每天锻炼时间，统计结果如表．下列说法错误的是(    )

A. 众数是分钟 B. 中位数是分钟 C. 平均数是分钟 D. 样本容量是

6. 如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 二次根式中字母的取值范围是______．
8. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
9. 在矩形中，对角线、相交于点，，，则矩形的面积为______．
10. 若一次函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为______．
11. 如图，在中，平分，，垂足为，延长交于点，点为的中点，连接，，，则的长为______．

12. 如图，中，，，点在线段上运动点不与点，重合，连接，作，交线段于点当是等腰三角形时，的度数为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    计算．
    甲乙两位运动员在一次射击训练中各打了五发子弹，他们的平均成绩相同，甲的方差为，乙的成绩单位：环，，，，请你通过计算说明这两位运动员，谁的成绩较稳定．
14. 本小题分
    先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
15. 本小题分
    如图，四边形为菱形，已知，．
    求点的坐标；
    求直线的解析式．

16. 本小题分
    如图，在矩形中，，，过对角线的中点作，分别交，于点，，连接，求四边形的面积．

17. 本小题分
    三个面积都为的等边三角形共源文一个顶点，均匀分布组成的平面图形如图，请仅用无刻度的直尺作图．
    
    在图中，作出图形的一条对称轴；
    在图中，作一个面积为的菱形．
18. 本小题分
    某校为了解本校九年级男生“立定跳远”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试满分分，成绩均记为整数分，并按测试成绩单位：米分成四类：类，类，类，类绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
    
    本次抽取样本容量为______，扇形统计图中类所对的圆心角是______度，被抽取样本的中位数在______类中；
    请补全条形统计图；
    若该校九年级男生有名，若成绩为类和类的为优秀，请估计该校九年级男生“立定跳远”项目成绩优秀的共有多少人？
19. 本小题分
    如图，、是四边形的对角线，、分别为、的中点，、分别为、的中点．请你判断与的关系，并证明你的结论．

20. 本小题分
    华为手机专卖店销售一部型手机比销售一部型手机多获得元利润，销售部型手机和销售部型手机共获得利润元．
    求销售一部型手机和销售一部型手机的销售利润分别是多少元？
    该专卖店计划一次购进这两种型号的手机共部，其中型手机的进货量不超过型手机的倍，设购进型手机部，这部手机的销售总利润为元．
    求关于的函数关系式；
    该专卖店销售型手机和型手机各多少部时，销售利润最大，最大利润是多少元？
21. 本小题分
    已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
    求证：；
    作点关于直线的对称点，连接，．
    依据题意补全图形；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

22. 本小题分
    在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
    
    已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    填表：

填空：
书店到陈列馆的距离为______；
李华在陈列馆参观学习的时间为______；
李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______；
当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为______
当时，请直接写出关于的函数解析式．

23. 本小题分
    问题提出：已知≌，，并且与完全重合在一起，将绕点顺时针方向旋转，且，连接并延长交于点线段与有怎样的数量关系？
    问题探究：先将问题特殊化．如图，当点在上时，证明：．
    思路一：要证，因为，所以只要证，若能证得，问题就容易解决了．
    思路二：要证，因为，又易得，所以想到构造≌，则有，若能证得，就可以得到．
    反思：这两种思路表面看起来完全不一样，其实这两种思路的思考问题的方式是一样的，就是由已知想可知，由未知想需知．还有，这两种证明思路用到的一些基础知识也是一样的，如：等角的余角相等，等边对等角，等角对等边，顶角相等的两个等腰三角形的底角也相等，等等．
    再探究一般情形．如图，当点不在上时，证明中的结论还成立．
    问题拓展：如图，过点作交的延长线于点若，，直接写出四边形的面积．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
先证四边形是平行四边形，则，再由平行线的性质得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由平行四边形的性质得，，，
顶点，，的坐标分别是，，，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得，，，从而得出，即可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，
关于方程的解是，
故选：．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：这组数据的众数为分钟，选项说法正确，不符合题意；
中位数为分钟，选项说法错误，符合题意；
平均数为分钟，选项说法正确，不符合题意；
样本容量为，选项说法正确，不符合题意；
故选：．
分别根据众数、中位数、加权平均数、样本容量的定义求解可得．
本题考查了众数，加权平均数、样本容量及中位数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可得，
，
当、、三点共线时，有最小值，
是的中点，
点是的中点，
是的中点，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，当、、三点共线时，有最小值，最小值为，求出即可．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

8.【答案】相等的角为对顶角 

【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示

四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
矩形的面积为．
故答案为：．
由矩形的性质得出，再由已知条件得出是等边三角形，得出，即可得出的长，再求出的长即可求解面积．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：若一次函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，
故答案为：．
根据平移法则左加右减可得出解析式．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，在中，平分，，则，且点是的中点．
点为的中点，
是的中位线，
．
，
．
故答案为：．
由等腰三角形“三线合一”性质推知，；然后由三角形中位线定理知．
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
 

12.【答案】或 

【解析】解：，，
，
，
，
是等腰三角形，分情况讨论：
时，，
，
此时点与点重合，不符合题意；
时，，
；
时，，
，
综上，的度数为或，
故答案为：或．
根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：时，时，时，分别求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
 

13.【答案】解：原式
；
乙的平均成绩为，
方差为，
甲的方差为，
甲的方差较小，
成绩较稳定的是甲． 

【解析】先计算乘方和除法，再计算加减即可；
利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定．
本题考查了二次根式混合运算和方差的知识，解题的关键是了解方程的意义并牢记方差的计算公式，难度不大．
 

14.【答案】解：

，
解不等式组得：
，
当时，原式． 

【解析】直接将括号里面通分化简，进而利用分式混合运算法则计算，进而解不等式组，得出符合题意的的值，进而得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及不等式组的解法，正确化简分式是解题关键．
 

15.【答案】解：，，
，，
，
四边形为菱形，
，
，
；
四边形为菱形，
，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为． 

【解析】先利用勾股定理计算出，再根据菱形的性质得到，然后计算出的长，从而得到点坐标；
先根据菱形的性质得到，，则，，然后利用待定系数法求出的解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了菱形的性质．
 

16.【答案】解：过对角线的中点作，
，
设，则，
，，
，
在矩形中，，
根据勾股定理，得，
解得，
，
在矩形中，，
，
是对角线的中点，
，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形的面积． 

【解析】根据题意可得，根据勾股定理可得的长，根据矩形的性质易证≌，根据全等三角形的性质可得四边形是平行四边形，进一步求四边形的面积即可．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，直线即为所求答案不唯一．
如图，菱形即为所求答案不唯一．
 

【解析】根据轴对称的性质作图即可．
根据菱形的判定与性质作图即可．
本题考查作图轴对称变换、等边三角形的性质、菱形的判定与性质，熟练掌握基础知识是解答本题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：样本容量为，
类的人数为，
类所对的圆心角是，
中位数是第和第个的平均数，在类内，
故答案为：，，．
补全的统计图如图：
，
名，
答：该校九年级男生“立定跳远”项目成绩优秀的共有人．
根据的人数除以所占的百分比，可得答案；根据按比例分配，可得答案；
根据有理数的减法，可得类的人数，根据类的人数，可得答案；
根据样本估计总体，可得答案．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

19.【答案】解：与互相平分，
理由如下：连接、、、，
、分别为、的中点，、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形，
与互相平分． 

【解析】连接、、、，根据三角形中位线定理得到，，，，进而得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每部型手机销售利润为元，每部型手机的销售利润为元，
则，
解得：，
答：每部型手机的销售利润是元，型手机的销售利润是元；
设购进型手机部，则购进型手机部，
则，
其中，，即，
关于的函数关系式为 为整数；
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，取得最大值，最大值为元，
购进型手机数量为：，
答：购进型手机部、型手机部时，才能使销售总利润最大； 

【解析】设每部型手机的销售利润为元，每部型手机的销售利润为元，根据题意列出方程组求解；
据题意得，，
利用不等式求出的范围，又因为是减函数，所以取，取最大值；
本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况．
 

21.【答案】证明：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
又，，，
．
如图：图形即为所求作．

解：结论：．
理由：在上截取点，使得，连接．

四边形是正方形，
．
在和中，

≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
点关于直线的对称点是点，
，
，，
，
，
，
．
，，
，
四边形为平行四边形，
，
． 

【解析】根据等角的余角相等证明即可．
根据要求画出图形即可．
结论：在上截取点，使得，连接证明≌，推出，，再证明四边形为平行四边形，可得结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】            或 

【解析】解：由图象可知：李华从学校出发，匀速骑行到达书店，途中速度是，
时，；
由图象知，时，，
时，，
故答案为：，，；
书店到陈列馆的距离为，
故答案为：；
李华在陈列馆参观学习的时间为，
故答案为：；
李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为，
故答案为：；
当李华从学校出发去书店时，；
当从陈列馆回学校时，，
故答案为：或；
当时，设，
将，代入得：
，
解得，
；
当时，设，
将，代入得：
，
解得，
，
综上所述，．
由图象知，时，；时，，时，；
书店到陈列馆的距离为，
李华在陈列馆参观学习的时间为，
李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为，
当李华从学校出发去书店时，；当从陈列馆回学校时，，
分两钟情况：当时，可得；当时，可得．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息．
 

23.【答案】证明：≌，
，，，
和是顶角相等的等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：的结论成立，理由如下； 
连接，
≌，
，，，
和是顶角相等的等腰三角形，
，
、、、四点共圆，
，
，
是的中点，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，且，
≌，
，，
，
又，且，
≌，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质可得和是顶角相等的等腰三角形，则可得，再由等角的余角相等可得，根据等角对等边可得，，，从而可得；
连接，同的证明可知、、、四点共圆，可得，再由等腰三角形的性质，可得是的中点，即可证明；
先证明四边形为矩形，再证明≌，从而可得，，然后证明≌，得到，，求出，最后由即可求解．
本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质是解题的关键．