专题2 不等式（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第2讲 不等式的性质及其解法

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一、知识梳理

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法.

2.不等式的性质

(1)不等式的性质

①可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；

②可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b，c<0⇒ac<bc；

③传递性：a>b，b>c⇒a>c；

④对称性：a>b⇔b<a.

(2)不等式的推论

①移项法则：a＋b>c⇔a>c－b；

②同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

④可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1)；

⑤可开方性：a>b>0⇒>.

3.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.

4.三个“二次”间的关系

5.一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).

6.分式不等式及其解法

(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).

(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

二、考点和典型例题

1、不等式的性质

【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知，且，则以下不正确的是（       ）

A． B． C． D．

【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知，，且，则下列不等关系成立的是（       ）

A． B． C． D．

【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（       ）

A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．

【典例1-5】（2022·福建三明·模拟预测）（多选）设，且，则（       ）

A． B． C． D．

2、不等式的证明和解法

【典例2-1】（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）已知

(1)求集合A和B；

(2)求A∪B，A∩B，

【典例2-2】（2021·全国·高三专题练习）已知常数a∈R，解关于x的不等式.

【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，求证：

(1)；

(2).

【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)已知，，且，不等式恒成立，求实数x的取值范围．

【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.

(1)求的最小值；

(2)求证：.

3、不等式的综合应用

【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为_______.

【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.

【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数，

（1）若恒成立，求的范围．

（2）求的最小值．