2022年中考数学真题分类汇编：03代数式解析版

这是一份2022年中考数学真题分类汇编：03代数式解析版，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学真题分类汇编：03 代数式
一、单选题
1．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（　　）
A．8x元 B．10(100−x)元
C．8(100−x)元 D．(100−8x)元
【答案】C
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本（100-x）本，乙种读本的单价为8元/本，则购买乙种读本的费用为8（100-x）元
故答案为：C.
【分析】设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100-x)本，根据乙种读本的单价×本数可得购买乙种读本的费用，据此解答.
2．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示.即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4.
故答案为：C.
【分析】观察发现：尾数每4个一循环，求出2022÷4的商以及余数，据此解答.
3．若10x=N，则称x是以10为底N的对数.记作：x=lgN.例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1.对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（　　）
A．5 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵lgM+lgN=lg(MN)，
∴(lg5)2+lg5×lg2+lg2
=lg5(lg5+lg2)+lg2
=lg5·lg10+lg2
=lg5+lg2
=lg10
=1.
故答案为：C.
【分析】原式可边形为lg5(lg5+lg2)+lg2，然后结合lgM+LGN=lg(MN)进行计算.
4．我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3︸n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=a︸n个根号时，称(a，b)为一组完美方根数对.如上面(3，6)是一组完美方根数对.则下面4个结论：①(4，12)是完美方根数对；②(9，91)是完美方根数对；③若(a，380)是完美方根数对，则a=20；④若(x，y)是完美方根数对，则点P(x，y)在抛物线y=x2−x上.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵12+4=4，
∴(4，12)是完美方根数对；
故①正确；
∵91+9=10≠9
∴(9，91)不是完美方根数对；
故②不正确；
若(a，380)是完美方根数对，则380+a=a
即a2=380+a
解得a=20或a=−19
∵a是正整数
则a=20
故③正确；
若(x，y)是完美方根数对，则y+x=x
∴y+x=x2，
即y=x2−x
故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据12+4=4、91+9=10结合完美方根数对的概念可判断①②；由于（a，380）是完美方根数对，则380+a=a，求出a的值，据此判断③；若（x，y）是完美方根数对，则y+x=x，化简可得y与x的关系，据此判断④.
5．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，
故答案为：B．

【分析】根据前几项中“H”的个数与序号的关系可得规律4+2×（n-1），再将n=4代入计算即可。
6．将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（　　）
A．98 B．100 C．102 D．104
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是：2=1×0+2 ；
第2行的第1个数是：4=2×1+2 ；
第3行的第1个数是：8=3×2+2；
…
所以第n行的第1个数是：n(n−1)+2 ，
所以第10行第1个数是：10×9+2=92，
所以第10行第5个数是：92+2×4=100 .
故答案为：B.
【分析】观察可得：第n行有n个偶数，第n行第1个数可表示为n(n-1)+2，据此求出第10行第1个数，进而可得第10行第5个数.
7．一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m 的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m ，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（　　）
A．(840+6π)m2 B．(840+9π)m2 C．840m2 D．876m2
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：如图，

该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为80×3×2+60×3×2+π×32=（840+9π）m2.
故答案为：B.
【分析】抓住关键已知条件：有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，可得到该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为四个小矩形的面积+半径为3m的圆的面积，列式计算即可.
8．按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x4，9x5，……，第n个单项式是（　　）
A．(2n-1) xn B．(2n+1)xn C．(n-1)xn D．(n+1)xn
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： x=(2×1-1)x1，3x²=(2×2-1)x2，5x³=(2×3-1)x3，7x 4=(2×4-1)x4， 9x 5(2×5-1)x5 ，……，
∴第n个单项式是 (2n-1)xn .
故答案为：A.

【分析】根据题意可得：系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1 )表示，字母和字母的指数可用x"表示，依此解答即可.
9．把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1个菱形，第②个图案中有 3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为(　　)
A．15 B．13 C．11 D．9
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第①个图案的菱形个数=1=2×1-1，
第②个图案的菱形个数=3=2×2-1
第③个图案的菱形个数=5=2×3-1
⋮
∴第n个图案的菱形个数=2×n-1，
∴第⑥个图案的菱形个数=2×6-1=11.
故答案为：C.
【分析】根据图案增加菱形的个数，列出前三个图案中菱形的个数，得出第n个图案的菱形个数=2×n-1，代入n=6，即可得出正确结果.
10．对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；定义新运算；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：若原多项式为x-y-z-m-n，“加算操作后”为(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，
①令x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，
∴m+n=0，
∴当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等，
∴①说法符合题意；
②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，
即“加算操作后”的结果=-（x-y-z-m-n）=-x+y+z+m+n，
显然-x+y+z+m+n≠x-y-z+m+n，
∴不存在任何“加算操作后”的结与原多项式的和为0，
∴②说法符合题意；
③由①可知，存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，即为第1种；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第4种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第5种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n，
∴③说法符合题意，
∴①②③说法正确.
故答案为：D.
【分析】①列出加算操作后”的结果与原来多项式相等的式子，即x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等；②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，即二者互为相反数，表示出原多项式的相反数后即为“加算操作后”的结果，与加算操作后”的结果比较，显然不相等；③对原多项式从左往右分别加括号，结合①存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，可得所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．据此逐项分析判断即可得出正确答案.
11．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①企图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③全图案中有13全正方形，第④个图案中有17企正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为(　　)
A．32 B．34 C．37 D．41
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图中有5个正方形，1×4+1；
第2个图中有9个正方形，可以写成：2×4+1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：3×4+1；
第4个图中有17个正方形，可以写成：4×4+1；
……
第n个图中有正方形，可以写成： 4n+1；
当n=9时，代入4n+1得： 4×9+1=37.
故答案为：C.

【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，....则知每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此得出规律：第n个图中有4n+1个正方形，然后解答即可.
二、填空题
12．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 3a−b=2 ，求代数式 6a−2b−1 的值.”可以这样解： 6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3 .根据阅读材料，解决问题：若 x=2 是关于x的一元一次方程 ax+b=3 的解，则代数式 4a2+4ab+b2+4a+2b−1 的值是　 　.
【答案】14
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵x=2 是关于x的一元一次方程 ax+b=3 的解，
∴2a+b=3 ，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b−1
=(2a+b)2+2(2a+b)−1
=32+2×3−1
=14 .
故答案为：14.
【分析】将x=2代入方程中可得2a+b=3，待求式可变形为(2a+b)2+2(2a+b)-1，然后代入计算即可.
13．若(2x+y−5)2+x+2y+4=0，则x−y的值是　 　.
【答案】9
【知识点】代数式求值；非负数之和为0
【解析】【解答】∵(2x+y−5)2≥0
x+2y+4≥0
(2x+y−5)2+x+2y+4=0
∴2x+y−5=0x+2y+4=0
解得：x=143y=−133
x−y=143−(−133)=273=9
故答案为：9
【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后求出x-y的值.
14．按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 　 　．
【答案】1
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为2=1x+1或2=2x−1
解得x=1（经检验，x=1是原方程的解），或x=32
当x=1>0符合程序判断条件，x=32>0不符合程序判断条件
故答案为：1

【分析】根据流程图，将y=2代入计算判断即可。
15．如图，∠AOB=60°，点P1在射线OA上，且OP1=1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2=P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3=P2K2.按照此规律，线段P2023K2023的长为　 　．
【答案】3(1+3)2022
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵P1K1⊥OA，
∴△OP1K1是直角三角形，
在Rt△OP1K1中，∠AOB=60°，OP1=1，
∴P1P2=P1K1=OP1⋅tan60°=3，
∵P1K1⊥OA，P2K2⊥OA，
∴P1K1∥P2K2，
∴△OP2K2∽△OP1K1，
∴P2K2P1K1=OP2OP1，
∴P2K23=1+31，
∴P2K2=3(1+3)，
同理可得：P3K3=3(1+3)2，P4K4=3(1+3)3，……，
∴PnKn=3(1+3)n−1，
∴P2023K2023=3(1+3)2022，
故答案为：3(1+3)2022．

【分析】先求出P2K2=3(1+3)，P3K3=3(1+3)2，P4K4=3(1+3)3，…可得PnKn=3(1+3)n−1，再将n=2023代入计算即可。
16．定义一种运算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin(45°+30°)=22×32+22×12=6+24，则sin15°的值为　 　．
【答案】6−24
【知识点】特殊角的三角函数值；定义新运算
【解析】【解答】解：sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cos30°−cos45°sin30°
=22×32−22×12
=64−24
=6−24．
故答案为：6−24．

【分析】根据题干中的定义化简，再利用特殊角的三角函数值求解即可。
17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为　 　.
【答案】6
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6.
故答案为：6.
【分析】由等腰三角形的性质可得AB=AC，当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，此时不能构成三角形，据此解答.
18．将一组数2，2，6，22，…，42，按下列方式进行排列：
2，2，6，22；
10，23，14，4；
…
若2的位置记为(1，2)，14的位置记为(2，3)，则27的位置记为　 　.
【答案】（4，2）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：数字可以化成：
2，4，6，8；
10，12，14，16；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵27=28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2
∴27的位置记为（4，2）.
故答案为：（4，2）.
【分析】观察可发现：被开数为从2开始的偶数，每一行有4个数，27=28，28是第14个偶数，据此解答.
19．按规律排列的单项式：x，−x3，x5，−x7，x9，…，则第20个单项式是　 　.
【答案】−x39
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：x，−x3，x5，−x7，x9，…，
由偶数个单项式的系数为：−1， 所以第20个单项式的系数为−1，
第1个指数为：2×1−1，
第2个指数为：2×2−1，
第3个指数为：2×3−1，
······
指数为2×20−1=39，
所以第20个单项式是：−x39.
故答案为：−x39.
【分析】观察发现：偶数个单项式的系数为-1，指数为(2n-1)，据此不难得到第20个单项式.
20．正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 　 　.
【答案】744
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为27×28=756，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即756−2×6=744，
故答案为：744.
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n(n+1)，求出第27行的最后一个数，据此解答.
三、综合题
21．设 a5 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， a5 表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝　 　；
……
（2）归纳： a52 与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 a52 与100a的差为2525，求a的值．
【答案】（1）3×4×100+25
（2）解：a52=100a（a＋1）＋25，理由如下：
∵a5是一个两位数，a是十位上的数字，
∴a5=10a+5，
∴a52=（10a+5 ）（ 10a+5 ）=100a2+100a+25=100a ( a+1 ) +25.
（3）解：由（2）可知：a52=100a（a＋1）＋25，
∵a52与100a的差为2525，
∴100a（a＋1）＋25-100a=2525，
整理得：a2=25，
∴a=5或-5（舍去，不合题意），
∴a的值为5.
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）∵a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25，a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25，
∴a=3时，352=1225=3×4×100+25.
故答案为：3×4×100+25；
【分析】（1）由a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25，a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25，可得当a=3时，352=1225=3×4×100+25，即可求解；
（2）由a5是一个两位数，a是十位上的数字，得a5=10a+5，则a52=（10a+5 ）（ 10a+5 ），整理化简即可得a52=100a（a＋1）＋25；
（3）由（2）可知：a52=100a（a＋1）＋25，再由a52与100a的差为2525，列出关于a的一元二次方程，解之即可确定符合题意的a值.
22．观察以下等式：
第1个等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2−(2×2)2，
第2个等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2−(3×4)2，
第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2−(4×6)2，
第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2−(5×8)2，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2
（2）解：第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2−[(n+1)⋅2n]2，
证明如下：
等式左边：(2n+1)2=4n2+4n+1，
等式右边：[(n+1)⋅2n+1]2−[(n+1)⋅2n]2
=[(n+1)⋅2n+1+(n+1)⋅2n]⋅[(n+1)⋅2n+1−(n+1)⋅2n]
=[(n+1)⋅4n+1]×1
=4n2+4n+1，
故等式(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2−[(n+1)⋅2n]2成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2，
故答案为：(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2；

【分析】（1）根据题意列出代数式(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2即可；
（2）根据前几项的数据与序号的关系可得(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2−[(n+1)⋅2n]2，再证明即可。
23．如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2)，得到大小两个正方形，
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长
（2）当a=3时，该小正方形的面积是多少？
【答案】（1）解：∵直角三角形较短的直角边 =12×2a=a ，
较长的直角边=2a+3，
∴小正方形的边长=2a+3-a=a+3
（2）解： S小正方形=(a+3)2=a2+6a+9 .
当 a=3 时， S小正方形=(3+3)2=36
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）分别表示出直角三角形的两条直角边长，再用较长的直角边长减去较短的直角边长求出小正方形的边长即可；
（2）先由小正方形边长表示出其面积，化简整理后再把a=3代入求值即可.
24．对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.
又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.
（1）判断 357，441 是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数 A是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数 A其中一个数位上的数字，且 a>b>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 F(A)+G(A)16 为整数，求出满足条件的所有数 A．
【答案】（1）解：∵357÷（3+5+7）=23.8，
∴357不是15的“和倍数”，
∵441÷（4+4+1）=49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）解：设三位数A=abc，
∵A是12的“和倍数”
∴a+b+c=12，
∵a＞b＞c，
∴F（A）=ab，G（A）=cb，
∴F（A）+（GA）16=ab+cb16=10a+10c+2b16，
∴10a+10c+2b16为整数，
∵a+c=12-b，
∴10a+10c+2b16=10（12-b）+2b16=120-8b16=112+8（1-b）16=7+1-b2，
又∵1＜b＜9，
∴当b=3，5，7，9时，10a+10c+2b16为整数，
∴当b=3时，a+c=9，则a=8，c=1（不符合题意，舍去）或a=7，c=2，
∴三位数A=732；
当b=5时，a+c=7，则a=6，c=1（不符合题意，舍去）；
当b=7时，a+c=5（不符合题意，舍去）；
当b=9时，a+c=3（不符合题意，舍去），
综上所述，这个三位数A为732.
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据“和倍数”的定义，即对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，分别判断357和441是否为“和倍数”即可；
（2）设三位数A=abc，根据“和倍数”定义可得a+b+c=12，由a＞b＞c，则F（A）=ab，G（A）=cb，从而得F（A）+（GA）16=ab+cb16=10a+10c+2b16，则10a+10c+2b16为整数，把a+c=12-b代入化简得10a+10c+2b16=7+1-b2，由1＜b＜9，则b=3，5，7，9时，10a+10c+2b16为整数，再分别求出对应的a+c的值，并根据a＞b＞c及三位数A是12的“和倍数”确定符合题意的数值即可.