2021-2022学年山东省淄博市高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年山东省淄博市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．（       ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先利用诱导公式进行变形，然后结合正弦和角公式即可求出结果.

【详解】

故选：B.

2．下列命题中正确的是（       ）

A．－＝ B．＋＝0

C．0＝ D．＋＋＝

【答案】D

【分析】根据向量的减法运算，可判断A;根据相反向量的和应为零向量可判断B;根据向量的数乘判断C;根据向量的加法判断D.

【详解】起点相同的向量相减，则其结果应是指向被减向量，即－＝，故A错；

，是一对相反向量，它们的和应该为零向量即＋＝，故B错，；

0与向量的数乘应是零向量，即0·＝，故C错；

根据向量的加法法则，’＋＋＝,故D正确，

故选：D.

3．已知，则复数（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复数的除法求得，然后可得．

【详解】由题意，所以．

故选：C．

4．在中，下列各式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用正弦定理、余弦定理以及诱导公式判断四个选项的正误，即可得正确答案.

【详解】对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；

对于选项B：因为，故，故选项B错误；

对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；

对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；

故选：D

5．要得到函数的图象，只需把函数的图象（       ）

A．向左平移个单位 B．向右移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【分析】先用三角恒等变换化简，再用平移法则求解即可

【详解】，

因此要得到函数的图象，

只需把函数的图象向左平移个单位，

故选：C

6．在△ABC中，已知D是AB边上一点， ＝＋λ，则λ＝（       ）

A． B．－ C． D．

【答案】A

【分析】根据D是AB边上一点，得到，再根据＝＋λ求解.

【详解】解：因为D是AB边上一点，

所以 ，

则，即，

又因为＝＋λ，

所以，解得，

故选：A

7．已知两条直线、和平面，若，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用已知条件判断线面、线线的位置关系，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】因为，若，则或，则“”“”；

若，且，则与平行或异面，即“”“”.

所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

8．若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．

【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．

所以外接球的表面积为：．

故选：C

【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．

9．已知平面平面，直线，，直线，且与相交，则和的位置关系不正确的是（       ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能

【答案】C

【分析】通过空间中线面与线线的位置关系，对三种不同情况进行讨论与判断，即可得到答案.

【详解】若与平行，，，与与相交矛盾，所以A错误；

若与相交，由直线，直线，平面平面，可知与都在同一点处与相交，这与矛盾，所以B错误；

因为空间中两条直线的位置关系由平行、相交、异面这三种情况，故与只能异面，所以选项C正确；

综上所述，选项D错误.

故选：C.

二、多选题

10．在中，如下判断正确的是（       ）

A．若，则为等腰三角形 B．若，则

C．若为锐角三角形，则 D．若，则

【答案】BCD

【分析】选项A. 由题意可得或，从而可判断；选项B. 若,则，由正弦定理可判断；选项C. 若为锐角三角形，则，即所以，由 正弦函数的单调性可判断；选项D. 在中,若，由正弦定理可得，从而可判断.

【详解】选项A. 在中, 若,则或

所以或，所以为等腰或直角三角形. 故A 不正确.

选项B. 在中, 若,则，

由正弦定理可得,即，故B正确.

选项C. 若为锐角三角形，则

所以，所以 ,故C正确.

选项D. 在中,若，由正弦定理可得，

即，所以，故D正确.

故选：BCD

11．下列命题正确的是（     ）

A．复数z1，z2的模相等，则z1，z2互为共轭复数

B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数

C．复数z是实数的充要条件是z＝(是z的共轭复数)

D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若(x，y∈R)，则x＋y＝5

【答案】BCD

【分析】由复数的模和共轭复数的概念可判断；

由虚数和共轭复数的概念可判断；

由复数为实数的条件可判断；

由复数的几何意义和坐标表示，解方程可判断.

【详解】：若复数的模相等，比如，

则不是共轭复数，故错误；

：都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数，

反之是共轭复数，可得其和为实数，故正确；

：复数z是实数的充要条件是(是z的共轭复数)，故正确；

：已知复数，

它们对应的点分别是，为坐标原点，

若，

有，解得，则，故正确.

故选：

12．如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（       ）

A．平面平面 B．直线平面

C．直线平面 D．直线平面

【答案】ABC

【分析】由线面平行的判定定理可得平面，平面，进而得出平面平面，故A正确；由中位线可知，进而由线面平行的判定定理，可得平面，故B正确；由，可得平面，故C正确；，所以直线与平面不平行，故D错误.

【详解】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.

对于A，因为E,F分别是的中点,所以.又平面，平面，所以平面.同理, 平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正确；

对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面,平面，所以平面，故B正确；

对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；

对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误.

故选：ABC

【点睛】本题考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题目.

三、填空题

13．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________

【答案】

【分析】根据向量在向量上的投影向量为，由求解.

【详解】解：因为向量在向量上的投影向量为，

所以，

即，

因为，

所以，

故答案为：

14．如图，，则_________

【答案】

【分析】先用表示向量，再利用向量数量积运算求解.

【详解】解：因为，

所以，

即，

所以，

故答案为：

15．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见灯塔在船的南偏西方向，另一灯塔在船的南偏西方向，则这艘船的速度是____________

【答案】海里/小时

【分析】由题意作出图形，可求得，知，利用求得后即可得到航行速度.

【详解】设船的初始位置为，航行半小时后到达位置，两灯塔的位置为，如图所示，

由题意知：，，，，

，，

，；

在中，，

船的速度为（海里/小时）

故答案为：海里/小时.

16．在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量， 且. 则△ABC的面积是_________

【答案】

【分析】先根据向量平行求出，结合余弦定理可得，利用面积公式可求答案.

【详解】因为，；

所以，解得；

，

即，解得；

又，所以，

所以△ABC的面积为.

故答案为：

四、解答题

17．已知 是同一平面内的三个向量，其中.

（1）若，求 ；

（2）若与共线，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．

（2）根据向量共线的条件即可求出．

【详解】（1）因为

（2）由已知：

【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题．

18．（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；

（2）复数的最大和最小值各是多少？（此小题只写出结果）

【答案】（1）；

（2）最大值，最小值.

【分析】（1）把复数根代入方程，结合复数相等可求答案；

（2）根据复数模的几何意义求解.

【详解】（1）因为是方程的一个复数根，

所以，化简得；

所以，解得.

（2）由复数的几何意义知，在复平面内对应点的坐标为；

表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以最大值为，最小值为.

19．已知的最小正周期为，图像关于直线对称.

(1)求函数的解析式；

(2)将的图像上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调递增区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据周期可求，根据对称轴可求，从而可得解析式；

（2）先根据图像变换求出的解析式，然后求出的单调递增区间．

【详解】(1)因为的最小正周期为，

所以；

因为图像关于直线对称，所以，

即，

因为，所以；

所以.

(2)由题意得；

，，即，；

所以的单调递增区间为.

20．已知向量，函数.

（1）若，求函数的减区间；

（2）若，方程有唯一解，求的取值范围.

【答案】（1）和；（2），．

【分析】（1）由数量积的坐标表示求出，并利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得减区间；

（2）由（1）得出在上的单调性与最值，并计算端点处的函数值可得的范围．

【详解】解：因为

（1）令，，则，，

，，

或，

故函数的减区间为和．

（2），，，，，，

方程有唯一解，

，，

∴或，

或．

故的取值范围为，．

21．如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.

(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；

(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.

【答案】(1)存在，

(2)7

【分析】（1）根据平行线的比例性质得出，从而证明，得到线面平行；

（2）根据比例可求的长，结合余弦定理可求的长，然后利用比例关系可得的长.

【详解】(1)存在，；理由如下：

连接并延长，交于，连接.

因为正方形中，，所以;

又因为，所以；

平面，平面，所以平面.

(2)由（1）得，所以；

中，

，

所以；

因为，所以

所以.

22．的内角，，所对边分别为，，.已知.

(1) 求；

(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。

【答案】（1）B=60°；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理，已知条件等式化为角的关系，结合诱导公式和二倍角公式，即可求出结果；

（2）根据面积公式和已知条件面积用表示，再用正弦定理,结合不等式性质，即可求出的范围.

【详解】解：（1）由题设及正弦定理得．

又因为中可得，

,所以，                                 

因为中sinA0，故．       

因为，故，因此B=60°．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．                            

由于△ABC为锐角三角形，

故0°<A<90°，0°<C<90°，   

由（1）知A+C=180°B＝120°，

所以30°<C<90°，故   .                                                         

所以，从而．

因此，△ABC面积的取值范围是．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式，以及利用不等式性质求取值范围，熟练掌握公式是解题的关键，是一道综合题.