上海市奉贤区青溪中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)

这是一份上海市奉贤区青溪中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了＝　 　等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
1．（3分）已知直线y＝kx﹣5（k是常数，k≠0），y随x的增大而增大，那么该直线经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
2．（3分）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范围是（ ）
A．a＝−1B．a＞−1C．a≠−1D．任意实数
3．（3分）事件：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）下列关于向量的运算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是等腰梯形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
6．（3分）在四边形ABCD中，如果AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AC＝BD＝BCB．AB＝AD＝CD
C．OB＝OC，OA＝ODD．OB＝OC，AB＝CD
二.填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）如果直线y＝kx﹣3（k是常数，k≠0）与直线y＝3x平行，那么k＝ ．
8．（2分）已知f（x）＝，那么f（）＝ ．
9．（2分）如果把直线y＝x+1沿y轴向上平移2个单位，那么得到的直线的表达式为 ．
10．（2分）用换元法解方程+＝6时，如果设y＝，那么原方程化成关于y的整式方程是 ．
11．（2分）方程（x﹣1）3＝64的解是 ．
12．（2分）从等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是 ．
13．（2分）一个多边形的内角和等于540度，那么它的边数是 ．
14．（2分）已知菱形周长为20，两对角线之比为4：3，则菱形面积为 ．
15．（2分）已知等腰梯形一个底角是60°，它的两底分别是6和10，那么它的腰长是 ．
16．（2分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 ．
17．（2分）如图，已知平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，AE⊥BE，若AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为 ．
18．（2分）如图，直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，点C在y轴上，点D为平面内
一点，若四边形ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标 ．
三.简答题（本大题共有4题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：．
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）已知：如图，四边形ADCE是平行四边形，B、D、C三点共线，点D是BC中点，＝，＝，
（1）写出与相等的向量： ；
（2）用含有，的式子表示：＝ ；
（3）在图中求作+−．（不要求写出作法，只需写出结论即可．）
22．（6分）古语有“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，自古以来，中华民族对于宇宙的探索从未停歇．在2022年6月5日，神州十四号成功发射，而即将到来的7月，问天实验舱也将发射升空．HYDZ公司的G项目组承担了实验舱某个电子设备的研发工作，在顺利完成一半研发工作时，由于受疫情影响，开发效率被迫减缓为原来的60%，结果最后比原计划多了10天完成任务，问：该电子设备原计划的研发时间为多少天．
四.解答题（本大题共4小题，第23-25题每小题8分，第26题10分，满分34分）
23．（8分）李老师准备网上在线学习，现有甲、乙两家网站供李老师选择，已知甲网站的收费方式是：月使用费7元，包时上网时间25小时，超时费每分钟0.01元；乙网站的月收费方式如图所示．设李老师每月上网的时间为x小时，甲、乙两家网站的月收费金额分别是y1、y2．
（1）请根据图象信息填空：乙网站的月使用费是 元，超时费是每分钟 元；
（2）写出y1与x之间的函数关系；
（3）李老师选择哪家网站在线学习比较合算？
24．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形．
（2）联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）将直线AB向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的表达式．
26．（10分）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是边AD上一点，把△ABP沿BP所在的直线翻折后得到△EBP，直线PE与边BC相交于点F，点E在线段PF上．
（1）如果点F和点C重合，求AP；
（2）设AP＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出定义域；
（3）连接DF，如果△PDF是以PF为腰的等腰三角形，求AP的长．
2021-2022学年上海市奉贤区青溪中学八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
1．（3分）已知直线y＝kx﹣5（k是常数，k≠0），y随x的增大而增大，那么该直线经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
【分析】根据直线y＝kx﹣5（k是常数，k≠0），y随x的增大而增大，可以得到k的正负，再根据一次函数的性质，即可得到直线经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣5（k是常数，k≠0），y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴直线y＝kx﹣5经过第一、三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，根据k、b的正负情况，可以写出一次函数图象经过哪几个象限．
2．（3分）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范围是（ ）
A．a＝−1B．a＞−1C．a≠−1D．任意实数
【分析】根据方程无解，确定出a的范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（3分）事件：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件的意义结合具体的问题情境进行分析即可．
【解答】解：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；都属于随机事件；
（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡是不可能事件；
则随机事件有3个；
故选：C．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）下列关于向量的运算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由三角形法则直接求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、＝+＝，故本选项正确；
B、﹣＝，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是等腰梯形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】根据等腰梯形的概念、菱形和平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是等腰梯形，例如矩形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）在四边形ABCD中，如果AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A．AC＝BD＝BCB．AB＝AD＝CD
C．OB＝OC，OA＝ODD．OB＝OC，AB＝CD
【分析】根据等腰梯形的判定推出即可．
【解答】解：A、AC＝BD＝BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
B、AB＝AD＝CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
D、OB＝OC，AB＝CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
C、∵OB＝OC，OA＝OD，
∴∠OBC＝∠OCB，∠OAD＝∠ODA，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴∠ABO＝∠DCO，AB＝CD，
同理：∠OAB＝∠ODC，
∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定的应用，解此题的关键是求出AD∥BC．
二.填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）如果直线y＝kx﹣3（k是常数，k≠0）与直线y＝3x平行，那么k＝ 3 ．
【分析】两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣3（k是常数，k≠0）与直线y＝3x平行，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等．
8．（2分）已知f（x）＝，那么f（）＝ ．
【分析】将x＝代入计算即可．
【解答】解：当x＝时，f（）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是求函数值，将x的值代入解析式是解题的关键．
9．（2分）如果把直线y＝x+1沿y轴向上平移2个单位，那么得到的直线的表达式为 y＝x+3 ．
【分析】根据一次函数“上加下减”的性质分析即可．
【解答】解：将函数y＝x+1向上平移两个单位，得：
y＝x+1+2＝x+3，
即平移后的直线的表达式为：y＝x+3．
故答案为：y＝x+3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
10．（2分）用换元法解方程+＝6时，如果设y＝，那么原方程化成关于y的整式方程是 y2﹣6y+5＝0 ．
【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可
【解答】解：设y＝，则，
∴原方程可化为：y+＝6，
去分母，得：y2﹣6y+5＝0，
故答案为：y2﹣6y+5＝0．
【点评】本题考查了换元法．换元法解方程一般四步：设元（未知数），换元，解元，还元．
11．（2分）方程（x﹣1）3＝64的解是 5 ．
【分析】根据立方根的意义可得x﹣1＝＝4．解之即可．
【解答】解：∵（x﹣1）3＝64，
∴x﹣1＝＝4．
解得x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了立方根的意义，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作．
12．（2分）从等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是 ．
【分析】根据中心对称图形的定义得出所有的中心对称图形，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：∵等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形共5图形中，
中心对称图形有：平行四边形、矩形、圆共3，
∴5图形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义以及概率公式的应用，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．
13．（2分）一个多边形的内角和等于540度，那么它的边数是 5 ．
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝540°，
解得：n＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，考查方程思想，掌握多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°是解题的关键．
14．（2分）已知菱形周长为20，两对角线之比为4：3，则菱形面积为 24 ．
【分析】根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积．
【解答】解：设两条对角线长分别为4x，3x，
根据勾股定理可得（2x）2+（x）2＝52，
解之得，x＝2，
则两条对角线长分别为8、6，
∴菱形的面积＝8×6÷2＝24．
故答案为24．
【点评】本题考查了菱形的性质，主要要掌握菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．
15．（2分）已知等腰梯形一个底角是60°，它的两底分别是6和10，那么它的腰长是 4 ．
【分析】过D作DE∥AB，交BC于E，得出四边形ABED是平行四边形，推出AB＝DE＝DC，AD＝BE＝6，求出CE，由等腰梯形的性质得到∠C＝∠B＝60°，进而得到△DEC是等边三角形，求出CE＝DC即可求出答案．
【解答】解：过D作DE∥AB，交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE，AD＝BE＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣6＝4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C＝∠B＝60°，AB＝DC＝DE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝CE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰梯形性质，平行四边形性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，关键是能把梯形转化成平行四边形和等腰三角形．
16．（2分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 2 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17．（2分）如图，已知平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，AE⊥BE，若AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为 ．
【分析】欲求平行四边形ABCD的周长则求出AD+BC的值即可，根据平行四边形的性质和已知条件即可得到问题答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠CEB＝∠ABE，∠BAE＝∠DEA，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CBA，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝BC，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠ABC+∠EAB＝90°，
∴∠ABC+2∠EAB＝∠ABC+∠DAB，
即∠EAB＝DAB，
∴AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+AD+BC＝2AB+DE+CE＝3AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，证明AE是∠DAB的角平分线是解题的关键也是解题的难点．
18．（2分）如图，直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，点C在y轴上，点D为平面内
一点，若四边形ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标 （2，2）或（2，﹣2） ．
【分析】根据直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，求得OA＝OB＝2，根据勾股定理得到AB＝2，根据菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，
∴A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵四边形ACDB是菱形，
∴AC＝CD＝BD＝AB＝2，
当点C在点A的上面时，
过D作DH⊥y轴于H，
∵AC∥BD，
AC⊥x轴，
∴BD⊥x轴，
∴四边形OBDH是矩形，
∴，
∴CH＝2，
∴DH＝＝2，
∴D（2，2），
当点C在点A的下面时，
同理可得，D（2，﹣2），
故答案为：（2，2）或（2，﹣2）．
【点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
三.简答题（本大题共有4题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：．
【分析】把10移到等号的右边，两边平方，求解，后检验根是否有意义．
【解答】解：，
两边平方，得4（x+5）＝x2﹣20x+100（2分）
整理，得：x2﹣24x+80＝0，解得：x1＝20，x2＝4（2分）
经检验：x2＝4是增根，x1＝20是原方程的解，（1分）
∴原方程的解是x＝20（1分）
【点评】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，注意无理方程要检验根是否有意义，属于基础题．
20．（6分）解方程组：．
【分析】方程组变形为，可得四个方程组：（1），（2），（3），（4），分别解出每个方程组的解，即得原方程组的解．
【解答】解：将方程组变形为：，
方程组相当于以下四个方程组：
（1），（2），（3），（4），
分别解得：，，，，
∴原方程组的解为：，，，．
【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是利用因式分解，把方程组转化为四个一元一次方程组．
21．（6分）已知：如图，四边形ADCE是平行四边形，B、D、C三点共线，点D是BC中点，＝，＝，
（1）写出与相等的向量： ， ；
（2）用含有，的式子表示：＝ + ；
（3）在图中求作+−．（不要求写出作法，只需写出结论即可．）
【分析】（1）利用平行四边形的性质求解；
（2）利用三角形法则求解即可；
（3）延长EC到T，使得CT＝CE，连接DT，AT，即为所求．
【解答】解：（1）∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE∥CD，AE＝CD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∴与相等的向量有：，；
故答案为：，；
（2）＝+＝+＝+，
故答案为：+；
（3）如图，即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
22．（6分）古语有“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，自古以来，中华民族对于宇宙的探索从未停歇．在2022年6月5日，神州十四号成功发射，而即将到来的7月，问天实验舱也将发射升空．HYDZ公司的G项目组承担了实验舱某个电子设备的研发工作，在顺利完成一半研发工作时，由于受疫情影响，开发效率被迫减缓为原来的60%，结果最后比原计划多了10天完成任务，问：该电子设备原计划的研发时间为多少天．
【分析】设该电子设备原计划的研发时间为x天，则实际完成后一半研发工作的时间为（+10）天，根据实际完成后一半研发工作时的工作效率为原计划工作效率的60%，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该电子设备原计划的研发时间为x天，则实际完成后一半研发工作的时间为（+10）天，
依题意得：60%×＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：该电子设备原计划的研发时间为30天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四.解答题（本大题共4小题，第23-25题每小题8分，第26题10分，满分34分）
23．（8分）李老师准备网上在线学习，现有甲、乙两家网站供李老师选择，已知甲网站的收费方式是：月使用费7元，包时上网时间25小时，超时费每分钟0.01元；乙网站的月收费方式如图所示．设李老师每月上网的时间为x小时，甲、乙两家网站的月收费金额分别是y1、y2．
（1）请根据图象信息填空：乙网站的月使用费是 10 元，超时费是每分钟 0.01 元；
（2）写出y1与x之间的函数关系；
（3）李老师选择哪家网站在线学习比较合算？
【分析】（1）由图象可知乙超时25小时费用多出15元，可按比例求解．
（2）关键题意，甲上网时间与所付费用之间是一次函数关系，且比例系数已知，用待定系数法求解．
（3）可用图象法或分析法求解．
【解答】解：（1）由图象可知；乙网站的月使用费是10元；
当上网时间超过50小时就开始收取超时费：
15÷25÷60＝0.01 （元）
即：超时费每分钟是0.01元．
（2）当0≤x≤25时，y1＝7．
当x＞25时，设y1 与x之间的关系式：y1＝kx+b
其中，k＝0.6，当x＝25时 y1＝7
即：7＝0.6×25+b
解之得b＝﹣8
所以当x＞25时，y1＝0.6x﹣8．
（3）y2＝，
当x＝30时，因为y1＝0.6×30﹣8＝10（元），y2＝10，
所以，当x＝30时，选择哪家都一样
当 x＜30时，y2＝10（元），y1＜0.6×30﹣8＝10（元），故选择甲网站比较合算
当30＜x≤50时，选择乙网站比较合算；
当x＞50时，y1＞y2，选择乙网站比较合算；
故x＜30时，选择甲网站比较合算；
x＝30时，选择哪家都一样；
x＞30时，选择乙网站比较合算．
【点评】本题考查了一次函数的图象及其应用，解题的关键是理解函数图象的意义．
24．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形．
（2）联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用等边三角形的判定和性质以及进行的判定解答即可．
【解答】证明：（1）联结BD．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴AC＝BD，
∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ACB＝∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF＝DE，
∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，
∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵BC垂直平分DF，
BD＝BF，∠BED＝90°，
∵BD＝DF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，
∵AD＝AB，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABF＝90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形
【点评】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大，注意各知识点的融会贯通．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）将直线AB向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的表达式．
【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式求得B的坐标，然后把B的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）设平移后的直线表达式为：y＝x+b，记它与y轴的交点为D，根据CD∥AB可得S△ABD＝S△ABC＝18，然后利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）∵点B（m，2）在的图象上，
∴，∴m＝4．
∴点B（4，2）．
把点B（4，2）代入y＝kx﹣2，
得：4k﹣2＝2，
∴k＝1．
∴直线AB的表达式为：y＝x﹣2．
（2）设平移后的直线表达式为：y＝x+b．
记它与y轴的交点为D，则点D（0，b）．
又 点A（0，﹣2）．
∴AD＝b+2．
联结BD．
∵CD∥AB．
∴S△ABD＝S△ABC＝18．
即：．
∴b＝7．
∴平移后的直线表达式为：y＝x+7．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数图象的平移，理解S△ABD＝S△ABC＝18是关键．
26．（10分）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是边AD上一点，把△ABP沿BP所在的直线翻折后得到△EBP，直线PE与边BC相交于点F，点E在线段PF上．
（1）如果点F和点C重合，求AP；
（2）设AP＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出定义域；
（3）连接DF，如果△PDF是以PF为腰的等腰三角形，求AP的长．
【分析】（1）首先证明PC＝BC，在Rt△PDC中，利用勾股定理求出PD即可解决问题；
（2）首先证明：FB＝FP＝y，推出EF＝PF﹣PE＝y﹣x，在Rt△BEF中，根据BF2＝BE2+EF2，构建关系式即可解决问题；
（3）分两种情形分别构建方程求解即可；
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠D＝90°，
由翻折不变性可知：∠APB＝∠CPB，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC，
∴∠PBC＝∠CPB，
∴CB＝CP＝10，
∴PD＝＝8，
∴PA＝AD﹣PD＝10﹣8＝2．
（2）如图2中，
∵由翻折不变性可知：∠APB＝∠FPB，∠A＝∠PEB＝90°，PA＝PE＝x，AB＝BE＝6，
∵AD∥BC，∠A＝∠PEB＝90°，
∴∠APB＝∠PBC，
∴∠PBF＝∠FPB，
∴FB＝FP＝y，
∴EF＝PF﹣PE＝y﹣x，
在Rt△BEF中，∵BF2＝BE2+EF2，
∴62+（y﹣x）2＝y2，
∴y＝（2≤x＜6）．
（3）①如图3中，当PF＝PD时，
由（2）可知BF＝PF＝PD，
∴x+y＝10，
∴x+＝10，
整理得：3x2﹣20x+36＝0，
Δ＜0，此种情形不存在．
②如图4中，当FP＝FD时，
在Rt△DFC中，DF＝y，CD＝6，CF＝10﹣y，
∴y2＝62+（10﹣y）2，
∴y＝，
∴＝，
解得x＝10（舍弃）或．
∴PA＝，
综上所述，满足条件的PA的值为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．