新教材高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入微专题进阶课5平面向量与“四心”学案含解析

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第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量与“四心”在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．应用向量相关知识，可以巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质．　重心问题已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝(＋＋)(其中P为平面上任意一点), 则点O是△ABC的(　　)A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心C　解析：由已知得3＝－＋－＋－，所以3＋3＝＋＋，即＋＋＝0，所以点O是△ABC的重心. 如图，△ABC的重心为G，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点．因为所以a＋b＋c－3＝＋＋.而＋＋＝0，所以a＋b＋c－3＝0，所以＝.　垂心问题已知点O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．重心　　B．垂心　　C．外心　　D．内心B　解析：由已知得＝λ，所以·＝λ＝λ＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则点O一定为△ABC的(　　)A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心D　解析：因为2＋2＝2＋2，所以2－2＝2－2，所以(－)·(＋)＝(＋)·(－)，所以·(＋)＝·(－)，所以·(＋－＋)＝0，所以·(＋＋)＝0，所以·＝0，所以⊥.同理可得⊥，⊥.所以O为△ABC的垂心．故选D．　外心问题已知点O是△ABC所在平面上的一点．若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O是△ABC的(　　)A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心A　解析：由已知得(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝0⇔2－2＝2－2＝2－2＝0⇔||＝||＝||. 所以点O是△ABC的外心．在△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，E为△ACD的重心，点F为△ABC的外心．求证：EF⊥CD．证明：建立如图所示的坐标系，设A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，则D，＝，易知△ABC的外心F在y轴上，设为F(0，y)．由||＝||可得(y－b)2＝(－a)2＋y2，所以y＝，即F.连接AE，CE，DE，又由重心公式，得＋＋＝0，则E，所以＝，所以·＝×＋×＝0，所以⊥，即EF⊥CD．　内心问题已知点O是△ABC所在平面上的一点，若＝(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则点O是△ABC的(　　)A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心B　解析：因为＝，所以(a＋b＋c)＝a＋b＋c，即a＋bPO＋c＝a＋b＋c，移项并整理可得a(－)＋b(－)＋c(－)＝0，则a＋b＋c＝0，所以点O是△ABC的内心．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________. 内心　解析：如图所示，＝＋，由已知，＝＋λ.所以＝λ，λ∈[0，＋∞)．设λ＝，λ＝，所以D，E在射线AB和AC上，所以＝＋，所以AP是平行四边形ADPE的对角线．又||＝||，所以四边形ADPE是菱形，所以点P在∠EAD即∠CAB的平分线上．故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．