高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示学案

　平面向量的基本定理及坐标表示

[考试要求]　1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.

3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． (　　)

(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC． (　　)

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的． (　　)

(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材习题衍生

1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)

A．(－2，－1)　　　　　　B．(－2,1)

C．(－1,0)   D．(－1,2)

D　[∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，

∴a＝，b＝，

∴a－b＝＝(－1,2)，故选D．]

2．若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)

A．(2,2)   B．(3，－1)

C．(2,2)或(3，－1)   D．(2,2)或(3,1)

D　[由题意可知＝(3，－3)．

若＝，则P点坐标为(2,2)；

若＝，则P点坐标为(3,1)，故选D．]

3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝        .

－　[由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，

得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．

由ma＋nb与a－2b共线，

得＝，

所以＝－.]

4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为        ．

(1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得]

考点一　平面向量基本定理的应用          

[典例1]　如图，已知在△OCB中点，点A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a和b表示向量，；

(2)若＝λ，求实数λ的值．

[解]　(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，

得＋＝2，

所以＝2－＝2a－b，

＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.

(2)由题意知，∥，故设＝x.

因为＝－＝(2a－b)－λa

＝(2－λ)a－b，＝2a－b.

所以(2－λ)a－b＝x.

因为a与b不共线，由平面向量基本定理，

得解得

故λ＝.

点评：本例(2)在求解中，以D，E，C三点共线为切入点，借助∥及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设＝x＋(1－x)，利用＝＋及同基底下向量表示的唯一性求得λ.

1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)

A．e1与e1＋e2　　　　　 B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2   D．e1＋3e2与6e2＋2e1

D　[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；

选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；

选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；

选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．故选D．]

2．(2020·三明模拟)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是(　　)

A．①②   B．①③

C．②③   D．②④

B　[由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1.

可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，u＋v＞1.

∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B．]

考点二　平面向量的坐标运算               

[典例2]　(1)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，

①求3a＋b－3c；

②求M，N的坐标及向量的坐标．

(1)D　[以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，

c＝(－1，－3)．

∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，

∴

解得λ＝－2，μ＝－.

∴＝4.]

(2)[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

②设O为坐标原点，∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．

∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．

点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．

1．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为(　　)

A．(6,1)   B．(－6，－1)

C．(0，－3)   D．(0,3)

A　[＝(－3，－2)＝，∴＝＋＝－＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A．]

2.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝        .

　[法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)，

∵＝λ＋μ＝，

∴解得

∴λ＋μ＝.

法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，

∴解得∴λ＋μ＝.]

考点三　向量共线的坐标表示             

　利用向量共线求参数

[典例3－1]　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．

[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，

∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，

∵ka－b与a＋2b共线，

∴2(k－2)－(－1)×5＝0，

∴k＝－.

(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，

＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．

∵A，B，C三点共线，

∴∥，

∴8m－3(2m＋1)＝0，

∴m＝.

点评：熟记两向量a，b共线的条件是求解此类问题的关键所在．

　利用向量共线求向量或点的坐标

[典例3－2]　已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为        ．

(3,3)　[法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．

又＝－＝(－2,6)，

由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

解得λ＝，所以＝＝(3,3)，

所以点P的坐标为(3,3)．

法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.

又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，

所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，

所以点P的坐标为(3,3)．]

点评：本例中“AC与OB的交点为P”，实际上变相告知“A，P，C三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．

1．已知向量a＝(1,3)，b＝，若c为单位向量，且c∥(a－2b)，则c＝(　　)

A．或 B．或

C．或 D．或

B　[由题意可知a－2b＝(－3,4)，又c∥(a－2b)，∴c＝λ(－3，4)，即c＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±，即c＝或，故选B．]

2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为        ．

(－3，－6)　[设B(x,2x)，则＝(x－3,2x)．

∵∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3.

∴B(－3，－6)．]

　(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)

A．3    B．2    C．    D．2

A　[如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝＝＝＝3，故选A．]

[评析]　应用等和线解题的步骤

(1)求k＝1的等和线；

(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；

(3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值．

1.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是        ．

[3,4]　[当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3,4]．

]

2.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是        ．

[1,3]　[＝x＋3y，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1,3]．]

3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量＝m＋n(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是(　　)

A．(1,2]　　　　　　　 B．[5,6]

C．[2,5]   D．[3,5]

C　[随着动点圆心Q在线段CD(含端点)上运动，点P的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF的平行线l，使得l与阴影区域有公共点，离BF最近的直线l记为P1G(P1为l与圆C的切点，G为l与直线AB的交点)，离BF最远的直线l记为P2H(P2为l与圆D的切点，H为l与直线AB的交点)．

设＝m＋n，

由等和线结论，m＋n＝＝＝2.

此为m＋n的最小值．

设＝m＋n，

由等和线结论，m＋n＝＝5.

此为m＋n的最大值．

综上可知，m＋n∈[2,5]．]