新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案含解析
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这是一份新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案含解析,共10页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动体验等内容,欢迎下载使用。
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、教材概念·结论·性质重现1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).(2)商数关系:tan α=.(1)平方关系的作用:实现同角的正弦值与余弦值之间的转化,利用该公式求值,要注意确定角的终边所在的象限,从而判断三角函数值的符号.(2)商数关系的作用:切化弦,弦切互化.(3)掌握变形公式:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=tan αcos α,sin2α=,cos2α=.2.诱导公式公式一sin(α+k·2π)=sin α,cos(α+k·2π)=cos α,tan(α+k·2π)=tan α,其中k∈Z公式二sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α公式三sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α公式四sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α公式五sin=cos α,cos=sin α公式六sin=cos α,cos=-sin α (1)诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·+α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.若k是奇数,则正、余弦互变;若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·+α(k∈Z)”中,将α看成锐角时,“k·+α(k∈Z)”的终边所在的象限.(2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤:也就是:“负化正,去周期,大化小,全化锐”.二、基本技能·思想·活动体验1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.(1)对任意角α,sin23α+cos23α=1都成立. (√)(2)诱导公式中的角α可以是任意角. (×)(3)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),则cos θ=. (×)(4)已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈,则m<-5或m≥3. (×)2.若tan α=2,则的值为( )A.- B.- C. D.C 解析:===.3.sin 750°=________. 解析:sin 750°=sin(360°×2+30°)=sin 30°=.4.若sin α=,<α<π,则tan α=________.- 解析:因为<α<π,所以cos α=-=-,所以tan α==-.5.化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为________.-sin2α 解析:原式=·(-sin α)·cos α=-sin2α.考点1 同角三角函数基本关系的应用——应用性考向1 知弦求切(2020·福州一模)已知3sin α·tan α+8=0,α∈,则tan α=________.-2 解析:因为3sin α·tan α+8=0,α∈,所以+8=0,整理可得3cos2α-8cos α-3=0,解得cos α=-或cos α=3(舍去).所以sin α==.所以tan α==-2.若本例的条件改为“=2,α∈”.求tan α的值.解:因为=2,所以sin α=2+2cos α.两边平方,得sin2α=4+8cos α+4cos2α,即1-cos2α=4+8cos α+4cos2α,整理得,5cos2α+8cos α+3=0,解得cos α=-1或cos α=-.当cos α=-1时,1+cos α=0,无意义;当cos α=-时,sin α=,所以tan α==-. 本例为已知sin α,cos α,tan α中的一个求另外两个的值.解决此类问题时,直接套用公式sin2α+cos2α=1及tan α=即可,但要注意α的取值范围,即三角函数值的符号.考向2 知切求弦已知=-1,求下列各式的值:(1);(2)sin2α+sin αcos α+2.解:由已知得tan α=.(1)==-.(2)sin2α+sin αcos α+2=+2=+2=+2=.利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切:把正弦、余弦化成正切的结构形式,统一为正切的表达式,进行求值.常见的结构:①sin α,cos α的齐次式(如asin2α+bsin αcos α+ccos2α);②sin α,cos α的齐次分式.(2)切化弦:利用公式tan α=,把式子中的正切化成正弦或余弦.一般单独出现正切、余切时,采用此技巧.考向3 “sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系已知-π<x<0,sin x+cos x=,求sin x-cos x的值.解:由已知,得sin x+cos x=,两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,整理得2sin xcos x=-.因为(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,所以sin x-cos x=±.由-π<x<0知,sin x<0,又sin xcos x=-<0,所以cos x>0.所以sin x-cos x<0.故sin x-cos x=-.本例中若将条件“-π<x<0”改为“0<x<π”,求sin x-cos x的值.解:因为0<x<π,2sin xcos x=-,所以sin x>0,cos x<0,所以sin x-cos x>0,故sin x-cos x=. “sin α±cos α,sin αcos α”关系的应用sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起,即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=.因此在解题时已知一个可求另外两个.1.已知α∈(0,π),cos α=-,则tan α=( )A. B.- C. D.-D 解析:因为cos α=-且α∈(0,π),所以sin α==,所以tan α==-.故选D.2.已知sin x+cos x=,x∈(0,π),则tan x=( )A.- B. C. D.-D 解析:因为sin x+cos x=,且x∈(0,π),所以1+2sin xcos x=1-,所以2sin xcos x=-<0,所以x为钝角,所以sin x-cos x==,结合已知解得sin x=,cos x=-,则tan x==-.3.(2020·化州二模)已知曲线f (x)=x3在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为α,则的值为________. 解析:由f (x)=x3得f ′(x)=2x2,所以f ′(1)=2,故tan α=2.所以===.考点2 诱导公式的应用——基础性(1)点A(sin 2 021°,cos 2 021°)在直角坐标平面上位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C 解析:sin 2 021°=sin 221°=-sin 41°<0,cos 2 021°=cos 221°=-cos 41°<0.故选C.(2)已知cos=a,则cos+sin的值是________.0 解析:因为cos=cos=-cos=-a,sin=sin =cos=a,所以cos+sin=0.(1)利用诱导公式解题的一般思路.①化绝对值大的角为锐角.②角中含有±的整数倍时,用公式去掉的整数倍.(2)常见的互余和互补的角.互余的角-α与+α;+α与-α;+α与-α互补的角+θ与-θ;+θ与-θ提醒:对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角的终边所在的象限,防止三角函数值的符号及三角函数名称出错. 1.已知sin(π+α)=-,则tan=( )A.2 B.-2 C. D.±2D 解析:因为sin(π+α)=-,所以sin α=,cos α=±,所以tan==±2.故选D.2.(2020·北京卷)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件C 解析:①当存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ时,若k为偶数,则sin α=sin(kπ+β)=sin β;若k为奇数,则sin α=sin(kπ-β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π-β)=sin β,充分性成立;②当sin α=sin β时,α=β+2nπ或α=π-β+2nπ,n∈Z,即α=kπ+(-1)kβ(k=2n)或α=kπ+(-1)kβ(k=2n+1),亦即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性成立.所以,“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的充要条件.故选C.已知3cos x+4sin x=5,求tan x的值.[四字程序]读想算思求tan x的值1.同角的正弦、余弦和正切有什么关系?2.3cos x+4sin x的最大值是多少?3.由已知条件联想点A(cos x,sin x)在哪条直线上1.求sin x和cos x;2.辅助角公式 1.方程思想2.数形结合3.转化与化归 3cos x+4sin x=51.sin2x+cos2x=1,tan x=;2.3cos x+4sin x的最大值为5;3.点A(cos x,sin x)在直线3x+4y=5上1.联立3cos x+4sin x=5与sin2x+cos2x=1;2.3cos x+4sin x=5sin(x+φ)1.tan x可看作直线的斜率.2.将已知条件变为cos x+sin x=1思路参考:解方程组解:由消去cos x,整理得(5sin x-4)2=0.解得sin x=,cos x=.故tan x==.思路参考:注意到3cos x+4sin x的最大值为5,利用辅助角公式推出x与辅助角的关系.解:3cos x+4sin x=5=5sin(x+φ)=5,其中cos φ=,sin φ=.所以tan φ=.所以x+φ=2kπ+(k∈Z).于是tan x=tan==.思路参考:令tan x=t,借助已知条件用t表示sin x和cos x.解:令tan x=t,即tcos x=sin x,代入3cos x+4sin x=5,得3cos x+4tcos x=5,所以cos x=,sin x=.再代入sin2x+cos2x=1,得+=1,解得t=,即tan x=.思路参考:设P(m,n)为角x终边上任意一点,r=,利用三角函数的定义.解:设P(m,n)为角x终边上任意一点,点P到原点O的距离为r,则r=.把sin x=,cos x=代入已知等式得3·+4·=5.即(3m+4n)2=(5r)2=25(m2+n2).整理得(4m-3n)2=0,所以4m=3n.显然m≠0,故tan x==.思路参考:设点A(cos x,sin x)是直线3x+4y=5与单位圆x2+y2=1的切点,而tan x=kOA.解:由3cos x+4sin x=5可知点A(cos x,sin x)在直线3x+4y=5上,同时也在单位圆x2+y2=1上,所以点A为直线3x+4y=5与单位圆的切点.由于直线3x+4y=5的斜率为-,所以OA的斜率为,即tan x=.思路参考:m=(cos x,sin x),n=,证明m∥n.解:因为cos x+sin x=1,不妨令m=(cos x,sin x),n=,可知|m|=1,|n|=1.所以m,n均为单位向量,且m·n=1.由|m||n|≥|m·n|,等号成立的条件为m∥n,则有cos x=sin x,即tan x=.1.本题考查同角三角函数基本关系的应用,基本解题方法是构建方程(组)、数形结合等.在求解过程中,应注意同角三角函数的基本关系本身是恒等式,也可以看作是方程.2.基于课程标准,解答本题一般需要熟练掌握运算求解能力,转化与化归的能力,体现数学运算的核心素养.3.基于高考数学评价体系,本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、辅助角公式、直线与圆、向量等知识,渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法,提升思维的灵活性起到了积极的作用.已知θ是第一象限角,若sin θ-2cos θ=-,求sin θ+cos θ的值.解:因为sin θ-2cos θ=-,所以sin θ=2cos θ-.所以+cos2θ=1.所以5cos2θ-cos θ-=0,即=0.又因为θ为第一象限角,所以cos θ=,所以sin θ=,所以sin θ+cos θ=.
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